Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Понятие производной

Пусть функция y = f (x) определена в точке x₀ и некоторой ее окрестности, x – точка из этой окрестности. Введем обозначения: разность x – x₀ обозначим через x и назовем приращением аргумента, а разность f(x) – f(x0) обозначим через y и назовем приращением функции.

Итак, x = x – x₀, y = f(x) – f(x₀). Из равенства x = x – x₀ получаем равенство
x = x₀ + x, тогда y = f(x₀ + x) – f(x₀).

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная обозначается f'(x₀).

Итак,

Пример 1. Найти производную для функции f(x) = x² в точке x₀ = 3.

Решение

Если f'(x₀) существует, то говорят, что функция f (x) дифференцируема в точке x₀. Установим связь между дифференцируемостью функции f (x) в точке x₀ и ее непрерывностью в этой точке. Напомним, что функция f (x) непрерывна в точке x₀, если она определена в точке x₀ и некоторой ее окрестности, и выполняется равенство:

Переформулируем это определение, используя понятия приращения аргумента и приращения функции. Из этого равенства получаем:

Другими словами, функция f (x) непрерывна в точке x₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Теорема. Если функция f(x) дифференцируема в точке x₀, то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Если в точке x₀ функция f (x) непрерывна, то в этой точке функция может и не иметь производной.

 

Основные правила дифференцирования

1. Постоянный множитель c можно выносить за знак производной:

Правило 1 непосредственно вытекает из определения производной функции и свойства пределов функций, согласно которому постоянный множитель можно выносить за знак предела.

2. Если существуют производные u'(x) и v'(x), то производная от суммы (разности) функций u(x) и v(x) равна сумме (разности) производных:

Правило дифференцирования суммы или разности функций также следует из определения производной функции и свойства пределов функций, согласно которому предел суммы (или разности) функций равен сумме (или разности) соответствующих пределов.

3. Если существуют производные u'(x) и v'(x), то выполняются следующие правила дифференцирования произведения функций и частного от их деления:

 

Формулы дифференцирования основных функций

Правила Лопиталя

Пусть функции y=f(x) и y=g(x) удовлетворяют следующим условиям:

1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки a, кроме, может быть, самой точки a;

2) и в этой окрестности;

3) ;

4) существует конечный или бесконечный.

Тогда существует и, причем

Таким образом, вычисление предела отношения двух функций может быть заменено при выполнении условий теоремы вычислением предела отношения производных этих функций.

Замечание 1. Правило Лопиталя распространяется на случай неопределенности типа при .

Замечание 2. Правило Лопиталя распространяется и на случай . Чтобы убедится в этом, достаточно сделать замену и воспользоваться результатом выше приведенной теоремы.

Замечание 3. Иногда правило Лопиталя приходится применять несколько раз (делать несколько шагов), если от неопределенности не удается избавиться на первом шаге. Однако условия теоремы на каждом шаге должны оставаться справедливыми.

Замечание 4. Хотя правило Лопиталя работает только с неопределенностями и , неопределенности других типов могут быть раскрыты с его помощью, если путем преобразований удастся привести изучаемую неопределенность к указанному типу.

 

Понятие экстремума функции

Определение. Точка x₀ называется точкой локального максимума функции f(x), если существует такая окрестность этой точки, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство: .

Определение. Точка x₀ называется точкой локального минимума функции f(x), если существует такая окрестность этой точки, что для всех x из этой окрестности .

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальнымминимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

Точка x₀ называется точкой строгого локального максимума функции y=f(x), если для всех x из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство .

Точка x₀ называется точкой строгого локального минимума функции y=f(x), если для всех x из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство .

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.

Замечание. Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Необходимое условие экстремума

Теорема (Необходимое условие экстремума)

Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке x₀, то ее производная либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю: , называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения ), либо это точки, в которых производная не существует.

Замечание

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Первое достаточное условие экстремума

Теорема (Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции y=f(x) выполнены следующие условия:

1.функция непрерывна в окрестности точки x₀;
2. или не существует;
3.производная при переходе через точку меняет свой знак.
Тогда в точке функция y=f(x) имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку x₀ производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку x₀ производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная при переходе через точку x₀ не меняет знак, то экстремума в точке нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию y=f(x) на экстремум, необходимо:

1.найти производную ;
2.найти критические точки, то есть такие значения x, в которых или не существует;
3.исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
4.найти значение функции в экстремальных точках.

Второе достаточное условие экстремума

Теорема (Второе достаточное условие экстремума)

Пусть для функции y=f(x) выполнены следующие условия:

1.она непрерывна в окрестности точки x₀;
2.первая производная в точке x₀;
3. в точке x₀.

Тогда в точке x₀ достигается экстремум, причем, если , то в точке функция y=f(x) имеет минимум; если , то в точке функция y=f(x) достигает максимум.