Сложение векторов и умножение на число

О КУРСЕ

Современная математика интенсивно проникает в другие науки: во многом этот процесс происходит благодаря разделению математики на ряд самостоятельных областей. Язык математики универсален, что является объективным отражением универсальности законов окружающего нас многообразного мира.
Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества пользуется разнообразными количественными характеристиками, а потому впитала в себя большое число математических методов.
Изучение математики и ее методов в экономике, составляющих основу современной экономической математики, позволит будущему специалисту приобрести необходимые навыки, расширить кругозор, повысить уровень мышления и общую культуру. Все это понадобится ему для ориентации в профессиональной деятельности и успешной работы.

 

ЦЕЛЬ:

Основной целью курса является получение студентами теоретических знаний математического аппарата, необходимого для глубокого усвоения приложений математических методов к описанию современных экономических явлений и процессов.

Задачи изучения дисциплины - получение базовых знаний по дисциплине, необходимые для понимания математических аспектов в экономических дисциплинах и решения практических задач в области экономики, использующих понятийный аппарат и методы математической экономики

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ:

В процессе изучения курса “Математика в экономике” студенты должны:
Знать: о методах математики в экономике;
Уметь: анализировать и практически интерпретировать полученные математические результаты, пользоваться справочными материалами и пособиями, самостоятельно расширяя математические знания, необходимые для решения; составить план решения и реализовать его, используя выбранные математические методы и модели,
Владеть: навыками применения математического аппарата при исследовании различных экономических задач

 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.
Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными.
Вектор - это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление.
Геометрическим вектором называется направленный отрезок, который можно перемещать параллельно ему самому.
Направленный отрезок с началом в точке A и концом в точке B обозначается . Вектор (у него начало в точке В, а конец в точке А) называется противоположным вектору . Векторы обозначаются также строчными латинскими буквами со стрелками, например, . Вектор, равный по длине вектору и противоположно направленный, называется противоположным и обозначается - .

Длиной (или модулем) вектора называется расстояние между точками A и B. Модуль вектора обозначается символом . Вектор нулевой длины называется нулевым и обозначается символом . Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна 1, называется единичным. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора .
Векторы, лежащие на параллельных или совпадающих прямых, называются коллинеарными. Коллинеарные векторы могут быть сонаправлены или противоположно. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаковы направлены и имеют одинаковые длины.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любых коллинеарны, то такие векторы компланарны

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Смешанным произведением векторов называется число, обозначаемое и определяемое равенством

т.е. векторное произведение двух векторов умножается скалярно на третий вектор .

Геометрический смысл смешанного произведения: смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на сторонах, взятому со знаком «+», если тройка векторов — правая, и со знаком «−», если тройка векторов — левая.
Свойства смешанного произведения векторов

1. Условие компланарности векторов: три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

2.

3.

4.

Если координаты векторов заданы, то смешанное произведение можно представить в виде:

СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Декартова система координат определяется некоторой ее точкой O и базисом из двух векторов, параллельных плоскости. Точка O называется началом координат. Прямые, проведенные через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Они лежат в плоскости и называются осями абсцисс и ординат. Каждая ось координат является числовой осью с началом в точке O, положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора.

Координатами точки M называются координаты вектора OM (радиус–вектор точки М)

Если базис ортонормированный, то связанная с ним декартова система координат называется прямоугольной.

На плоскости часто употребляется также полярная система координат

 

Она определяется точкой O, называемой полюсом, и лучом, исходящим из полюса, называемым полярной осью. Полярными координатами ρ и φ точки M называются расстояние ρ от полюса до точки M (ρ = |OM|) и угол φ между полярной осью и вектором OM. Угол φ называется полярным углом, измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки. Полярные координаты точки O: ρ = 0, угол φ не определен. У остальных точек ρ > 0 и угол φ определен с точностью до 2π. Обычно полагают 0 ≤ φ < 2π или − π < φ ≤ π.

Если полюс совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, а полярная ось — с положительной частью оси абсцисс, то декартовы координаты x и y точки M выражаются через ее полярные координаты ρ и φ формулами

x = ρcosφ

y = ρsinφ.

Полярные координаты ρ и φ точки M выражаются через ее декартовы координаты x и y формулами:

 

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

В декартовой системе координат на плоскости каждая прямая определяется уравнением 1–й степени и, обратно, каждое уравнение 1–й степени определяет прямую.

Уравнение вида Ax + By + Cz = 0 называется общим уравнением прямой.

Уравнение y = kx + b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (b — ордината точки пересечения прямой с осью OY). Угловым коэффициентом k прямой называется число k = tgα, где α — угол наклона прямой к оси OX (0 ≤ α < π).

Уравнение прямой называется уравнением прямой в отрезках (a — абсцисса точки пересечения прямой с осью OX, b — ордината точки пересечения прямой с осью OY).

Уравнение прямой, проходящей через две точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2), имеет вид .

Угол между прямыми с угловыми коэффициентами k1 и k2 определяется формулой:

Условие параллельности прямых: k1 = k2

Условие перпендикулярности прямых: k1k2 = −1

 

МАТРИЦЫ

Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов:

Числа a_ij (i = 1, …, m, j = 1, …, n) называются элементами матрицы A. Первый индекс обозначает номер строки, второй — номер столбца, в которых находится данный элемент.
Матрицы можно обозначать также A = (a_ij) (i = 1, …, m, j = 1, …, n).
Элементы a_ii (i = 1, …, min{m, n}) называются диагональными, а их совокупность — главной диагональю матрицы A.
Матрица размера 1×n называется матрицей–строкой, а матрица размера m×1 называется матрицей–столбцом.
При m = n матрица называется квадратной матрицей порядка n.
Квадратная матрица A = (a_ij) называется диагональной, если все ее элементы, кроме диагональных, равны нулю, т.е. a_ij = 0 i≠j.

Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие на главной диагонали, равны единице, а остальные — нулю, т.е. матрица вида

называется единичной матрицей.
Для любой квадратной матрицы A выполняется условие: A•E = E•A = A, где E — единичная матрица того же порядка, что и A.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается О.

В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.

Матрицы A = (a_ij) и B = (b_ij) называются равными, если они одного и того же размера m×n и i = 1, …, m, j = 1, …, n a_ij = b_ij.
Матрица B = (b_ij) размера n×m называется транспонированной по отношению к матрице A = (a_ij) размера m ×n, если i = 1, …, m и j = 1, …, n имеем b_ij = a_ji, т.е.

Транспонированная матрица обозначается символом A^T.
Квадратная матрица A называется симметричной, если A^T = A.

 

Действия над матрицами

Сложение матриц
Суммой матриц A = (a_ij) и B = (b_ij) одного и того же размера m×n называется матрица того же размера C = (c_ij), элементы которой определяются формулой

То, что матрица С является суммой матриц А и В, записывается в виде С=А+В.
Матрица X такая, что X + A = O, называется противоположной матрице A и обозначается символом −A. Пусть A и B — матрицы размера m×n.
Матрица C = A + (−B) называется разностью матриц A и B и записывается в виде C = A −B.
Для любых матриц A, B и C одного и того же размера m×n:

· A + B = B + A;

· (A + B) + C = A + (B + C);

· если O — нулевая матрица размера m×n, то A + O = A; A + (−A) = O.

Умножение матрицы на число
Произведением матрицы A = (a_ij) размера m×n и вещественного числа α называется матрица того же размера C = (c_ij), элементы которой определяется формулой
c_ij = αa_ij (i = 1, …, m, j = 1, …, n)
То, что матрица C является результатом умножения матрицы A на число α, записывается в виде C = αA.
Для любой матрицы A и любых чисел α, β R:

· 1•A = A;

· α(βA) = (αβ)A.

Для любых матриц A и B одного и того же размера и любых чисел α, β R:

· (α + β)A = αA + βA;

· α(A + B) = αA + αB.

Операции сложения и умножения на число называют линейными операциями.

Элементарные преобразования матриц

Элементарными преобразованиями матриц являются:

· перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

· умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;

· прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженные на одно и то же число.

Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований.

Произведение матриц
Произведением матрицы A = (a_ij) размера m×n и матрицы B = (b_ij) размера n×l называется матрица C = (c_ij) = A • B размера m×l, элементы которой определяются формулой:

.
То, что матрица C является произведением матриц A и B, записывается в виде C = A•B.
Заметим, что произведение матриц A и B определено только, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.
Вообще говоря, A•B≠B•A (даже для квадратных матриц одного и того же размера).
Если A•B = B•A, то матрицы называются перестановочными или коммутативными.

· Умножение матриц ассоциативно, т.е. выполняется равенство (A•B)•C = A•(B• C)

· Умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению, т.е. если определено выражение A•(B + C), то A•(B + C) = A•B + A •C.

Возведение матрицы в натуральную степень.
Натуральная степень квадратной матрицы вычисляется по формуле:

 

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Пусть A = (a_ij) (i, j = 1, …, n) — квадратная матрица порядка n.
Определителем (или детерминантом) матрицы A называется число, которое ставится в соответствие этой матрице и может быть вычислено по ее элементам. Обозначается определитель матрицы A символами

Определитель матрицы n×n называется определителем n–го порядка.
Правило вычисления определителей
1. Определителем матрицы 1×1, состоящей из одного числа, будем считать само это число.
2. Определитель матрицы 2-го порядка вычисляется по формуле:

3. Определитель матрицы 3-го порядка

вычисляется по правилу Саррюса: приписать к определителю справа два первых столбца, не меняя их порядка, и составить сумму произведений элементов главной диагонали и элементов, параллельных ей, из которой затем вычесть сумму произведений элементов побочной диагонали и элементов параллельных ей.

Чтобы сформулировать общее правило вычисления определителя, введем понятия дополнительного минора и алгебраического дополнения элемента матрицы:
Дополнительным минором M_ij элемента матрицы n–го порядка a_ij (i, j = 1, …, n) называется определитель матрицы n−1–го порядка, полученной из матрицы A вычеркиванием i–ой строки и j–го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Алгебраическим дополнением A_ij элемента матрицы n–го порядка a_ij (i, j = 1, …, n) называется число (−1)^{i + j} *М_ij, где M_ij — дополнительный минор.
Определитель матрицы A n-го порядка может быть вычислен по любой из формул:
разложение по i–ой строке

или
разложение по j–ому столбцу.

Свойства определителей

1. При транспонировании матрицы величина ее определителя не меняется, т.е.

2. Отсюда следует, что любое утверждение, справедливое для столбцов определителя, справедливо также и для строк.

3. При перестановке двух столбцов (или строк) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

 

РАНГ МАТРИЦЫ

Основные понятия
Минором к-го порядка произвольной матрицы А называется определитель, составленный из элементов матрицы, расположенных на пересечении каких-либо к строк и к столбцов.
Рангом матрицы А (rang A или r(A)) называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.
Базисным минором называется любой из миноров матрицы А, порядок которого равен r (А).

Свойства ранга матрицы

 

1. Если матрица А имеет размеры mxn, то rang A min(m;n);

2. rang A =0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы А равны 0;

3. Если матрица А - квадратная порядка n, то rang A = n тогда и только тогда, когда .

Элементарные преобразования
Элементарные преобразования, не меняющие ранга матрицы:

1. отбрасывание нулевой строки (столбца);

2. умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю;

3. изменение порядка строк (столбцов) матрицы;

4. прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;

5. транспонирование матрицы.

С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду:
где
Ранг ступенчатой матрицы равен r.
Строки (столбцы) матрицы e_1, e₂,…,e_m называются линейно зависимыми, если существуют такие числа не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке: , где 0 = (0,0,…,0). В противном случае строки матрицы называются линейно независимыми.

Теорема о ранге матрицы
Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов.

 

Метод окаймляющих миноров
Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы А состоит в следующем:

1. Найти какой–либо минор М₁ первого порядка (т.е. элемент матрицы), отличный от нуля. Если такого минора нет, то матрица А нулевая и r(A) = 0

2. Вычислять миноры 2-го порядка, содержащие М₁ (окаймляющие М₁) до тех пор, пока не найдется минор М₂, отличный от нуля. Если такого минора нет, то r(A) = 1, если есть, то r(A) 2 и т.д.

3. Вычислять (если они существуют) миноры к-го порядка, окаймляющие минор М_к-1 0. Если таких миноров нет или они все равны нулю, то r(А) = k-1; если есть хотя бы один такой минор М_к 0, то r(A) k, и процесс продолжается.

При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на каждом шаге найти всего один ненулевой минор к-го порядка, причем искать его только среди миноров, содержащих минор М_к-1 0.

 

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Матрица A ^{− 1} называется обратной к квадратной матрице A n –го порядка, если A • A ^{− 1} = A ^{− 1} • A = E, где E — единичная матрица n –ого порядка.
Условие существования обратной матрицы.

Для того, чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е.det A ≠ о. Если det A=0, то матрица А называется вырожденной. Если обратная матрица существует, то она единственная.

Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений
Задана квадратная матрица 3–го порядка

Для вычисления обратной матрицы методом алгебраических дополнений:
1. Вычисляем определитель матрицы A. Если det A ≠ 0, то матрица A имеет обратную.
2. Составляем матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы A

3. Находим транспонированную матрицу:

4. Разделив матрицу ÃТ на определитель, получаем искомую обратную матрицу:

5. Проверяем, что A • A−1 = E, и записываем ответ.
Аналогично вычисляется обратная матрица для невырожденной матрицы любого порядка.

Матричные уравнения

Матричные уравнения простейшего вида с неизвестной матрицей Х записываются следующим образом:

А*Х=В (1)

Х*А=В (2)

А*Х*С=В (3)

В этих уравнениях А, В, С, Х - матрицы таких размеров, что все используемые операции умножения возможны, и с обеих сторон от знаков равенства находятся матрицы одинаковых размеров.

Если в уравнениях (1), (2) матрица А невырожденная, то их решения записываются следующим образом:

Х=А^-1*В,

Х=В*А^-1

Если в уравнении (3) матрицы А и С невырождены, то его решение записывается так:

Х=А^-1*В*С^-1

Производственные показатели

Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели которых приведены в следующей таблице:

вид изделия	количество изделий	расход сырья, кг/изд.	норма времени изготовления, ч/изд.	цена изделия, ден.ед./изд.

 

 

Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени Т и стоимость Р выпускаемой продукции предприятия.
По приведенным данным составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл:

Тогда искомые величины будут представлять собой соответствующие скалярные произведения вектора ассортимента на три других вектора:

Расход сырья

Предприятие выпускает четыре вида изделий с использованием четырех видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы А:

Требуется найти затраты сырья каждого вида при заданном плане выпуска каждого вида изделия: соответственно, 60, 50, 35 и 40 ед.

Решение: Составим вектор-план выпуска продукции:

=(60, 50, 35, 40).

Тогда решение задачи дается вектором затрат, координаты которого и являются величинами затрат сырья по каждому его виду: этот вектор затрат вычисляется как произведение вектора на матрицу А:

Конечный продукт отрасли

Отрасль состоит из n предприятий, выпускающих по одному виду продукции каждое: обозначим объем продукции i-го предприятия через х_i. Каждое из предприятий отрасли для обеспечения своего производства потребляет часть продукции, выпускаемой им самим и другими предприятиями. Пусть а_ij - доля продукции i-го предприятия, потребляемая j-м пред-приятием для обеспечения выпуска своей продукции объема х_j. Найдем величину у_i - количество продукции i-го предприятия, предназначенной для реализации вне данной отрасли (объем конечного продукта). Эта величина легко может быть подсчитана по формуле

Введем в рассмотрение квадратную матрицу порядка n, описывающую внутреннее потребление отрасли

A=(a_ij), i, j = 1, 2,..., n

Тогда вектор конечного продукта является решением матричного уравнения

с использованием единичной матрицы Е получаем

Пример. Пусть вектор выпуска продукции отрасли и матрица внутреннего потребления имеют, соответственно, вид

Получим вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли, состоящей из трех предприятий:

Прогноз выпуска продукции

Пусть C=(c_ij), i=1, 2,..., m, j=1, 2,..., n - матрица затрат сырья m видов при выпуске продукции n видов. Тогда при известных объемах запаса каждого вида сырья, которые образуют соответствующий вектор , вектор-план выпуска продукции определяется из решения системы m уравнений с n неизвестными:

где индекс "т" означает транспонирование вектора-строки в вектор-столбец.

Пример. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех видов. Необходимые характеристики производства представлены следующими данными:

Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

Задачи такого рода типичны при прогнозах и оценках функционирования предприятий, экспертных оценках проектов освоения месторождений полезных ископаемых, а также в планировании микроэкономики предприятий.
Обозначим неизвестные объемы выпуска продукции через х₁, х₂ и х₃. Тогда при условии полного расхода запасов каждого вида сырья можно записать балансовые соотношения, которые образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Решая эту систему уравнений любым способом, находим, что при заданных запасах сырья объемы выпуска продукции составят по каждому виду соответственно (в условных единицах): x₁=150, x₂=250, x₃=100.

Линейная модель торговли

Процесс взаимных закупок товаров анализируется с использованием понятий собственного числа и собственного вектора матрицы. Будем полагать, что бюджеты n стран, которые мы обозначим, соответственно, х₁, х₂, …, х_n, расходуются на покупку товаров. Рассмотрим линейную модель обмена, или модель международной торговли.

Пусть а_ij - доля бюджета х_j, которую j-я страна тратит на закупку товаров у i-й страны. Введем матрицу коэффициентов а_ij:

Тогда, если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне ее (это можно трактовать как торговый бюджет), справедливо равенство

Матрица А с данным свойством, в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли. Для i-й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой

P_i = a_i1x₁+a_i2x₂+…+a_inx_n

Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т.е. x_i ≤ P_i, или x_i ≤ a_i1x₁+a_i2x₂+…+a_inx_n, i=1, 2, …, n.

Докажем, что в условиях не может быть знака неравенства. Действительно, сложим все эти неравенства при i от 1 до n. Группируя слагаемые с величинами бюджетов x_j, получаем:

x₁+x₂+x_n≤x₁(a₁₁+a₂₁+...+a_n1)+x₂(a₁₂+a₂₂+...+a_n2)+x_n(a_1n+a_2n+...+a_nm)

Нетрудно заметить, что в скобках стоят суммы элементов матрицы А по ее столбцам, которые равны единице по условию. Стало быть, мы получили неравенство x₁+x₂+...+x_n≤x₁+x₂+...+x_n, откуда следует, что возможен только знак равенства.

Таким образом, условия принимают вид равенств:

Введем вектор бюджетов , каждая компонента которого характеризует бюджет соответствующей страны. Тогда систему уравнений можно записать в матричной форме:

Это уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы А, отвечающий ее собственному значению равен 1, состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли. Перепишем уравнение в виде, позволяющем определить :

 

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

Понятие функции

Понятие функции в математике — одно из основных. Выражает зависимость одних переменных величин от других.

Определение. Функция — это соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества.

Пусть каждому числу x из множества значений D поставлено в соответствие число y из множества значений E.
«Поставлено в соответствие» — значит, указан определённый способ (правило), по которому для каждого x∈D находят y∈E. (∈ — знак принадлежности. Запись x∈D читают «икс принадлежит дэ»).

Чаще всего этот способ обозначают как y=f(x). Для обозначения функции применяют и другие буквы: y=g(x), s=f(t) и т.д.

Если функция задана соответствием y=f(x), переменная x называется независимой переменной или аргументом, y — зависимой переменной или функцией.

Множество значений D, которые может принимать x, называется областью определения функции.

Множество значений E, которые может принимать y, называется областью значений функции.

Функцию можно задать несколькими способами:
- аналитическим (с помощью формулы),
- графическим,
- табличным,
- описанием с помощью словесной формулировки).

Функции, в которых значения аргумента и значения функции — числа, называются числовыми функциями.

Примеры функций.

1) При движении автомобиля с постоянной скоростью пройденный путь является функцией от времени.
Например, если автомобиль движется с постоянной скоростью 60 км/ч, зависимость пути от времени можно задать формулой s=60t, где s — пройденный путь (в километрах), t — время (в часах).

2) Периметр квадрата является функцией от его стороны.
Зависимость периметра от стороны квадрата можно задать формулой P=4a, где P — периметр, a — длина стороны.

Сложная функция — это функция от функции. Если u — функция от x, то есть u=u(x), а f — функция от u: f=f(u), то функция y=f(u) — сложная.

А u в этом случае называют промежуточным аргументом. Еще часто f называют внешней функцией, а u — внутренней. Лучший способ понять, что такое сложная функция — рассмотреть примеры сложных функций.

1) y=sin x — эта функция «простая». Синус зависит от x. Как только вместо x под знаком синуса появится выражение, зависящее от x, даже самое простое — такая функция называется сложной. То есть y=sin u — сложная функция, есл и u — некоторая функция от x. Примеры сложных функций с синусом:

y=sin (x+1). Эта функция — сложная. Внутренняя функция u здесь равна x+1, а внешняя функция f — это синус. То есть u=x+1, f=sin u.

y=sin (5x-2x³+3). Внутренняя функция u=5x-2x³+3, внешняя функция f=sin u.

y=sin (x/7). Внутренняя функция u=x/7, внешняя функция f=sin u.

2) y=cos x — «простая» функция. y=cos u — сложная функция, если u — некоторая функция, зависящая от x. Примеры сложных функций с внешней функцией — косинусом:

y=cos (4-11x). Внутренняя функция u=4-11x, внешняя функция — косинус: y=cos u.

y=cos (7x³ -4x²). Внутренняя функция u=7x³ -4x², внешняя — y=cos u.

Определение. Пусть дана функция y = f(x). Она имеет обратную, если из зависимости y = f(x) можно переменную x однозначно выразить через переменную y. Выразив x через y, мы получим равенство вида
x = g(y). В этой записи g обозначает функцию, обратную к f.

Дана функция y = f(x). Поставим следующий вопрос: при каком условии существует функция, обратная к функции f?

Самым простым ответом на поставленный вопрос будет такой: по определению функция f имеет обратную, если из соотношения y = f(x) переменную x можно однозначно выразить через y.

Условие существования обратной функции можно выразить геометрически.

Функция y = f(x) имеет обратную, если всякая прямая y = y₀ пересекает график функции y = f(x) не более чем в одной точке (она может совсем не пересекать график, если y₀ не принадлежит области значений функции f).
Это же условие можно сформулировать иначе: уравнение f(x) = y₀ при каждом y₀ имеет не более одного решения.
Условие того, что функция имеет обратную, заведомо выполняется, если функция строго возрастает или строго убывает. Действительно, если f, например, строго возрастает, то при двух различных значениях аргумента она принимает различные значения, так как большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, уравнение f(x) = y₀ для строго монотонной функции имеет не более одного решения.

Если функция g является обратной для функции f, то и функция f является обратной для функции g, потому что равенства y = f(x) и x = g(y) по определению обратной функции равносильны, т. е. может существовать только одна пара чисел x и y, между которыми выполняется как зависимость y = f(x), так и зависимость x = g(y).

В силу симметрии понятия обратной функции пару функций f и g называют взаимно обратными функциями.

 

Производственные функции

Рассмотрим некоторую производственную систему.

Определение. Функция, выражающая зависимость объема производства от величины затраченных ресурсов, называется производственной.

Существует целое семейство производственных функций. Рассмотрим производственную функцию y=f(x), где х – суммарная величина затрат в стоимостном выражении, у – суммарный выпуск в стоимостном выражении. По своему экономическому смыслу, х 0 и у 0. Производственная функция отражает существующую технологию: изменение технологии ведет к изменению производственной функции.

Если предположить, что производственная функция строго возрастает, т.е. любое увеличение затрат ведет к увеличению выпуска, то производственная функция имеет обратную функцию x=f^-1(y), которая определяет величину производственных затрат х, необходимых для выпуска объема у. Эта функция называется функцией затрат. Она будет строго возрастающей.

Кривые спроса и предложения. Точка равновесия
Рассмотрим функцию зависимости спроса D от цены на товар P. Чем меньше цена, тем больше спрос при постоянной покупательной способности населения. Обычно зависимость D от Р имеет вид ниспадающей кривой:

D=kP^a+c, где а < 0.

Рассмотрим функцию предложения S от цены на товар P. Предложение растет с увеличением цены на товар. Зависимость S от Р имеет следующий вид:

S=P^b+d, где b 1.

Параметры c и d - так называемые экзогенные величины; они зависят от ряда причин (благосостояние общества, политическая обстановка и т.п.). Переменные, входящие в формулы, положительны, поэтому графики функций имеют смысл только в первой координатной четверти.

Для экономики представляет интерес условие равновесия, т.е. когда спрос равен предложению. Такое условие задается уравнением

D(P)=S(P)