Свойства линейных операций с векторами

Для любых векторов и любых чисел α, β:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Условие коллинеарности векторов: два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. существует число α ≠ 0 такое, что
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

 

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Скалярным произведением векторов называется число, обозначаемое и равное произведению их модулей и косинуса угла φ между ними, т.е.

Свойства скалярного произведения векторов
Для любых векторов и любых чисел α, β:

Из определения скалярного произведения следует, что угол между ненулевыми векторами определяется формулой

Из формулы (1) следует условие ортогональности векторов: два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Если
координаты перемножаемых векторов
орты координатных осей

 

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Векторным произведением векторов называется вектор который обозначается удовлетворяет следующим трем условиям:

3. Векторы образуют правую тройку, т.е. из конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору виден против часовой стрелки.

Замечание. Это определение однозначно определяет векторное произведение ненулевых векторов. Если хотя бы один из сомножителей — нулевой вектор, то векторное произведение считается равным нулевому вектору.
Из определения векторного произведения следует, что для любого вектора
Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.
Свойства векторного произведения векторов
Для любых векторов и любых чисел α, β:

Условие коллинеарности векторов: два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т.е.

(нулевой вектор можно считать коллинеарным любому вектору).
Если заданы координаты перемножаемых векторов, то векторное произведение можно представить в виде:

 

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Смешанным произведением векторов называется число, обозначаемое и определяемое равенством

т.е. векторное произведение двух векторов умножается скалярно на третий вектор .

Геометрический смысл смешанного произведения: смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на сторонах, взятому со знаком «+», если тройка векторов — правая, и со знаком «−», если тройка векторов — левая.
Свойства смешанного произведения векторов

1. Условие компланарности векторов: три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

2.

3.

4.

Если координаты векторов заданы, то смешанное произведение можно представить в виде:

СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Декартова система координат определяется некоторой ее точкой O и базисом из двух векторов, параллельных плоскости. Точка O называется началом координат. Прямые, проведенные через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Они лежат в плоскости и называются осями абсцисс и ординат. Каждая ось координат является числовой осью с началом в точке O, положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора.

Координатами точки M называются координаты вектора OM (радиус–вектор точки М)

Если базис ортонормированный, то связанная с ним декартова система координат называется прямоугольной.

На плоскости часто употребляется также полярная система координат

 

Она определяется точкой O, называемой полюсом, и лучом, исходящим из полюса, называемым полярной осью. Полярными координатами ρ и φ точки M называются расстояние ρ от полюса до точки M (ρ = |OM|) и угол φ между полярной осью и вектором OM. Угол φ называется полярным углом, измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки. Полярные координаты точки O: ρ = 0, угол φ не определен. У остальных точек ρ > 0 и угол φ определен с точностью до 2π. Обычно полагают 0 ≤ φ < 2π или − π < φ ≤ π.

Если полюс совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, а полярная ось — с положительной частью оси абсцисс, то декартовы координаты x и y точки M выражаются через ее полярные координаты ρ и φ формулами

x = ρcosφ

y = ρsinφ.

Полярные координаты ρ и φ точки M выражаются через ее декартовы координаты x и y формулами:

 

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

В декартовой системе координат на плоскости каждая прямая определяется уравнением 1–й степени и, обратно, каждое уравнение 1–й степени определяет прямую.

Уравнение вида Ax + By + Cz = 0 называется общим уравнением прямой.

Уравнение y = kx + b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (b — ордината точки пересечения прямой с осью OY). Угловым коэффициентом k прямой называется число k = tgα, где α — угол наклона прямой к оси OX (0 ≤ α < π).

Уравнение прямой называется уравнением прямой в отрезках (a — абсцисса точки пересечения прямой с осью OX, b — ордината точки пересечения прямой с осью OY).

Уравнение прямой, проходящей через две точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2), имеет вид .

Угол между прямыми с угловыми коэффициентами k1 и k2 определяется формулой:

Условие параллельности прямых: k1 = k2

Условие перпендикулярности прямых: k1k2 = −1

 

МАТРИЦЫ

Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов:

Числа a_ij (i = 1, …, m, j = 1, …, n) называются элементами матрицы A. Первый индекс обозначает номер строки, второй — номер столбца, в которых находится данный элемент.
Матрицы можно обозначать также A = (a_ij) (i = 1, …, m, j = 1, …, n).
Элементы a_ii (i = 1, …, min{m, n}) называются диагональными, а их совокупность — главной диагональю матрицы A.
Матрица размера 1×n называется матрицей–строкой, а матрица размера m×1 называется матрицей–столбцом.
При m = n матрица называется квадратной матрицей порядка n.
Квадратная матрица A = (a_ij) называется диагональной, если все ее элементы, кроме диагональных, равны нулю, т.е. a_ij = 0 i≠j.

Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие на главной диагонали, равны единице, а остальные — нулю, т.е. матрица вида

называется единичной матрицей.
Для любой квадратной матрицы A выполняется условие: A•E = E•A = A, где E — единичная матрица того же порядка, что и A.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается О.

В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.

Матрицы A = (a_ij) и B = (b_ij) называются равными, если они одного и того же размера m×n и i = 1, …, m, j = 1, …, n a_ij = b_ij.
Матрица B = (b_ij) размера n×m называется транспонированной по отношению к матрице A = (a_ij) размера m ×n, если i = 1, …, m и j = 1, …, n имеем b_ij = a_ji, т.е.

Транспонированная матрица обозначается символом A^T.
Квадратная матрица A называется симметричной, если A^T = A.

 

Действия над матрицами

Сложение матриц
Суммой матриц A = (a_ij) и B = (b_ij) одного и того же размера m×n называется матрица того же размера C = (c_ij), элементы которой определяются формулой

То, что матрица С является суммой матриц А и В, записывается в виде С=А+В.
Матрица X такая, что X + A = O, называется противоположной матрице A и обозначается символом −A. Пусть A и B — матрицы размера m×n.
Матрица C = A + (−B) называется разностью матриц A и B и записывается в виде C = A −B.
Для любых матриц A, B и C одного и того же размера m×n:

· A + B = B + A;

· (A + B) + C = A + (B + C);

· если O — нулевая матрица размера m×n, то A + O = A; A + (−A) = O.

Умножение матрицы на число
Произведением матрицы A = (a_ij) размера m×n и вещественного числа α называется матрица того же размера C = (c_ij), элементы которой определяется формулой
c_ij = αa_ij (i = 1, …, m, j = 1, …, n)
То, что матрица C является результатом умножения матрицы A на число α, записывается в виде C = αA.
Для любой матрицы A и любых чисел α, β R:

· 1•A = A;

· α(βA) = (αβ)A.

Для любых матриц A и B одного и того же размера и любых чисел α, β R:

· (α + β)A = αA + βA;

· α(A + B) = αA + αB.

Операции сложения и умножения на число называют линейными операциями.

Элементарные преобразования матриц

Элементарными преобразованиями матриц являются:

· перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

· умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;

· прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженные на одно и то же число.

Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований.

Произведение матриц
Произведением матрицы A = (a_ij) размера m×n и матрицы B = (b_ij) размера n×l называется матрица C = (c_ij) = A • B размера m×l, элементы которой определяются формулой:

.
То, что матрица C является произведением матриц A и B, записывается в виде C = A•B.
Заметим, что произведение матриц A и B определено только, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.
Вообще говоря, A•B≠B•A (даже для квадратных матриц одного и того же размера).
Если A•B = B•A, то матрицы называются перестановочными или коммутативными.

· Умножение матриц ассоциативно, т.е. выполняется равенство (A•B)•C = A•(B• C)

· Умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению, т.е. если определено выражение A•(B + C), то A•(B + C) = A•B + A •C.

Возведение матрицы в натуральную степень.
Натуральная степень квадратной матрицы вычисляется по формуле:

 

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Пусть A = (a_ij) (i, j = 1, …, n) — квадратная матрица порядка n.
Определителем (или детерминантом) матрицы A называется число, которое ставится в соответствие этой матрице и может быть вычислено по ее элементам. Обозначается определитель матрицы A символами

Определитель матрицы n×n называется определителем n–го порядка.
Правило вычисления определителей
1. Определителем матрицы 1×1, состоящей из одного числа, будем считать само это число.
2. Определитель матрицы 2-го порядка вычисляется по формуле:

3. Определитель матрицы 3-го порядка

вычисляется по правилу Саррюса: приписать к определителю справа два первых столбца, не меняя их порядка, и составить сумму произведений элементов главной диагонали и элементов, параллельных ей, из которой затем вычесть сумму произведений элементов побочной диагонали и элементов параллельных ей.

Чтобы сформулировать общее правило вычисления определителя, введем понятия дополнительного минора и алгебраического дополнения элемента матрицы:
Дополнительным минором M_ij элемента матрицы n–го порядка a_ij (i, j = 1, …, n) называется определитель матрицы n−1–го порядка, полученной из матрицы A вычеркиванием i–ой строки и j–го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Алгебраическим дополнением A_ij элемента матрицы n–го порядка a_ij (i, j = 1, …, n) называется число (−1)^{i + j} *М_ij, где M_ij — дополнительный минор.
Определитель матрицы A n-го порядка может быть вычислен по любой из формул:
разложение по i–ой строке

или
разложение по j–ому столбцу.

Свойства определителей

1. При транспонировании матрицы величина ее определителя не меняется, т.е.

2. Отсюда следует, что любое утверждение, справедливое для столбцов определителя, справедливо также и для строк.

3. При перестановке двух столбцов (или строк) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

 

РАНГ МАТРИЦЫ

Основные понятия
Минором к-го порядка произвольной матрицы А называется определитель, составленный из элементов матрицы, расположенных на пересечении каких-либо к строк и к столбцов.
Рангом матрицы А (rang A или r(A)) называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.
Базисным минором называется любой из миноров матрицы А, порядок которого равен r (А).

Свойства ранга матрицы

 

1. Если матрица А имеет размеры mxn, то rang A min(m;n);

2. rang A =0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы А равны 0;

3. Если матрица А - квадратная порядка n, то rang A = n тогда и только тогда, когда .

Элементарные преобразования
Элементарные преобразования, не меняющие ранга матрицы:

1. отбрасывание нулевой строки (столбца);

2. умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю;

3. изменение порядка строк (столбцов) матрицы;

4. прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;

5. транспонирование матрицы.

С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду:
где
Ранг ступенчатой матрицы равен r.
Строки (столбцы) матрицы e_1, e₂,…,e_m называются линейно зависимыми, если существуют такие числа не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке: , где 0 = (0,0,…,0). В противном случае строки матрицы называются линейно независимыми.

Теорема о ранге матрицы
Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов.

 

Метод окаймляющих миноров
Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы А состоит в следующем:

1. Найти какой–либо минор М₁ первого порядка (т.е. элемент матрицы), отличный от нуля. Если такого минора нет, то матрица А нулевая и r(A) = 0

2. Вычислять миноры 2-го порядка, содержащие М₁ (окаймляющие М₁) до тех пор, пока не найдется минор М₂, отличный от нуля. Если такого минора нет, то r(A) = 1, если есть, то r(A) 2 и т.д.

3. Вычислять (если они существуют) миноры к-го порядка, окаймляющие минор М_к-1 0. Если таких миноров нет или они все равны нулю, то r(А) = k-1; если есть хотя бы один такой минор М_к 0, то r(A) k, и процесс продолжается.

При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на каждом шаге найти всего один ненулевой минор к-го порядка, причем искать его только среди миноров, содержащих минор М_к-1 0.

 

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Матрица A ^{− 1} называется обратной к квадратной матрице A n –го порядка, если A • A ^{− 1} = A ^{− 1} • A = E, где E — единичная матрица n –ого порядка.
Условие существования обратной матрицы.

Для того, чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е.det A ≠ о. Если det A=0, то матрица А называется вырожденной. Если обратная матрица существует, то она единственная.

Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений
Задана квадратная матрица 3–го порядка

Для вычисления обратной матрицы методом алгебраических дополнений:
1. Вычисляем определитель матрицы A. Если det A ≠ 0, то матрица A имеет обратную.
2. Составляем матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы A

3. Находим транспонированную матрицу:

4. Разделив матрицу ÃТ на определитель, получаем искомую обратную матрицу:

5. Проверяем, что A • A−1 = E, и записываем ответ.
Аналогично вычисляется обратная матрица для невырожденной матрицы любого порядка.

Матричные уравнения

Матричные уравнения простейшего вида с неизвестной матрицей Х записываются следующим образом:

А*Х=В (1)

Х*А=В (2)

А*Х*С=В (3)

В этих уравнениях А, В, С, Х - матрицы таких размеров, что все используемые операции умножения возможны, и с обеих сторон от знаков равенства находятся матрицы одинаковых размеров.

Если в уравнениях (1), (2) матрица А невырожденная, то их решения записываются следующим образом:

Х=А^-1*В,

Х=В*А^-1

Если в уравнении (3) матрицы А и С невырождены, то его решение записывается так:

Х=А^-1*В*С^-1