Математика: операционные навыки

Не имей сто рублей, а имей сто друзей!
Ну, или 98 рублей и двух друзей…

Вспомним: дырками тут являются любые непонятые слова или знаки, а также, любые неотработанные до конца навыки. Всё это создаёт массу непонятых слов и нарушение постепенности.

О непонятых словах скажу только две вещи.

1. Определения учебников ничего не дают — так как сами состоят из непонятных слов.

2. Многие знаки или слова в математике являются навыками.

Пример: a, b, c, d или «переменная». Видеть в букве цифру или число — конкретный навык. Для его наработки нужно сделать минимум 50-70 примеров, где требуется перевести число в переменную и наоборот, заменить одно другим или выразить то через это.

Всё началось с того, что я, нахватавшись основ обучения Хаббарда, решил посмотреть, насколько хорошо понимают математику мои шести-восьмиклассники — отличники и хорошисты. И, ничтоже сумняшеся, брякнул:

«А, нарисуйте-ка мне тринадцать восьмых!» И — влип конкретно.

Оказалось, что тринадцать восьмых не может нарисовать даже учительница. А мои отличники не рисуют и две третьих!

Слова «дробь», «числитель», «знаменатель» и иже с ними оказались абсолютно не понятыми. И стал я копать вглубь, назад: где же первые дырки?

Дал тест на таблицу умножения — по три секунды на пример. И оказалось, что умножают мои детки только на 2, 3 и 5. Остальное — натужно вспоминают или соображают.

Большинство первых математических слов типа «число», «мера», умножение», «деление» — по нулям. Глуши моторы, господа танкисты — приплыли!

И я начал с начала. Самое начало — 1+1. Навык первичного сложения, в пределах пяти. Потом — вычитание в пределах пяти. Потом — в пределах десятка.

Только после отработки этих навыков можно переходить к первичному умножению, а потом — к делению.

Интересно, что, из-за особенностей нашей психики, сложение и умножение гораздо понятнее, чем вычитание и деление (которые ассоциируются с потерей). Это установил Саша Зудин, работая с учениками.

Я проверил: действительно, примеров на умножение и сложение в учебниках, в среднем, вдвое, а то и втрое больше, чем примеров на вычитание и деление!

Итак, навыки. Сложение внутри десятка — одно. За пределами десятка — отдельный навык. Точнее, целая группа навыков.

Можно складывать, прибавляя по единичке. Можно — дробя на части, удобные для сложения: 6+7=6+4+3, то есть, 10+3.

Складывать с девяткой или восьмёркой, уменьшая разряд единиц на 1 или 2 — свой навык. Сложение чётных с чётными — тоже свой навык. Нечётных с нечётными — свой.

Дальше идут двузначные числа — внутри сотни, потом за пределами. Трёхзначные. И везде — свои группы навыков.

Это — только сложение. С другими действиями — так же или ещё богаче. А ещё есть иные числа: дроби простые и десятичные, положительные и отрицательные. Есть переменные. И есть все эти действия внутри них, и есть действия между ними — в любом сочетании.

Только в одной арифметике я насчитал около 90 первичных навыков. И самые важные — в самом начале.

Если не доработать всего один — обучение вязнет, а потом пропускаются другие навыки, и оно исчезает.

Вот так оно и существует в школах — в исчезнувшем виде. Вымирает, как динозавр, едва вылупившись в началке.

В общем, все эти дырки я решил попытаться залатать. Сначала я прояснил некоторые важные слова.

Потом мы восстановили таблицу умножения. Это — большой этап. Контрольный лист, а то и два-три, на каждую цифру. Лист вмещал до сотни простых примеров — по полтора десятка на каждый множитель таблицы.

Для примера возьмём — умножение на четыре.

1. Масса «4». В начале листа — «нарисуй и покажи «четыре» десятью способами»: палочками, точками, фигурами, предметами, на пальцах, звуком, действиями.

2. Умножение четырёх на 2: 4*2=, 2*4= — раз по десять.

3. Нарисовать и показать это произведение.

4. Затем, умножение с другими действиями: (2*4)+5=, 7+(4*2)= десяток на сложение, по десятку с вычитанием, делением и умножением: (4*2)-9=, (2*4)*3=, (4*2):1= — и т.д., с разными цифрами.

5. Умножение четырёх на три — весь тот же цикл, что и на 2.

6. Умножение четырёх на 4, 5 и остальные цифры — те же циклы заданий.

7. Конец листа: тест. Тридцать примеров умножения четырёх на любые цифры и разных цифр на четыре, вразброс и на время. На каждый пример — не больше двух секунд. Если один лист не дал результата — он полностью отрабатывается ещё раз.

Это — создание навыка умножения четырёх и на четыре. Так же отрабатываются умножения на остальные цифры, с учётом особых навыков, если они есть (например, умножение на 9 — известное правило).

Важно то, что сложность примеров растёт очень постепенно: навык появляется раньше, чем меняется тип задания.

Именно огромное количество примеров облегчает работу — по листу катишься без заторов и ям. Решать много, но всё — легко! Вот так и нарабатывается навык — без провалов и срывов.

Конечно, пока народ привык и увидел смысл в решении листов, я использовал разные стимулы. В том числе и прямые — я платил за выполнение листа. И им — не дармовые карманные, и мне (то есть, им же) — лишний навык. Тут всё справедливо — ведь я платил не за старание, а за результат!

…После этой серии листов у моих ребят определённо появилась таблица умножения — в виде калькулятора в голове. Фу-х. Дальше стало легче — появился навык определять навыки и писать для их отработки контрольные листы!

Потом, были действия. Потом, сюда включились отрицательные числа. Оказалось — полное отсутствие массы. Пришлось рисовать числовые прямые до одурения.

Например, классный навык: 80 простых примеров на сложение и вычитание разных чисел по обе стороны нуля — с обязательным рисованием действия на числовой прямой.

Потом дело дошло и до простых дробей. Вот Таська решает примеры с дробями — и показывает всю кучу препятствий в учёбе: злится, кочевряжится, ноет и грамотно вынуждает маму всё решить, чтобы осталось только записать ответы. «Тасик, нарисуй две третьих!»

Рисует круг, делит радиально на три части, две штрихует. Но меня уже не проведёшь. «Умница! А теперь нарисуй три вторых». Ну конечно! Рисует три круга… Ясно: дроби для неё — терра инкогнита. А ведь, стоят четвёрки! Тут работы — на месяц, не меньше.

Сначала мы долго и по-разному рисовали 3/9, 17/4 или 9/16. Потом — наоборот, писали нарисованные дроби. После этого — и не раньше — стало возможным отрабатывать действия с дробями.

Сначала — взаимодействие дробей с простыми числами. Навык того, что простое число — это а/1. Затем уже — дроби между собой.

На каждое действие — пара листов, примеры плавно переходят от, например, ½ + ½ до 3/7 + 17/5.

Вычитание и деление — тщательнее, чем сложение и умножение. Отдельный лист — действия с нулём.

Общие множители — тоже своя тема. На каждый простой общий множитель — отдельный лист: множитель надо привыкнуть видеть, определять, а это — свой навык.

Потом — действия с дробями по обе стороны от нуля. И постепенно — введение остальных действий.

В конце концов, ребята легко решали листы «отрицательная дробная степень простых дробей» или «действия с общими множителями разного знака».

Ага. Сторонники развивающего обучения уже давно морщатся так, что мне аж на мониторе видно. А зря.

Я ведь, вовсе не против навыков решения проблем и навыков поисков новых решений. Но и навыки саморазвития развиваются тренировкой! Но, дело даже не в этом.

Элементарные операционные навыки — это чёткие схемы, контуры ума. Они должны работать, обслуживать, а не требовать внимания.

Если они есть, они сами начинают взаимодействовать между собой, рождая кучу вариантов решений.

А вот, если их нет — никакое саморазвитие невозможно. Изобретательный ум — надстройка, операционные навыки — базис. Так что, одно другому не помеха.

…После наработки азов, мой народ почувствовал себя увереннее. Старшие сами стали иногда сообщать о трудностях — и пара листов помогала их оставить за кормой.

Усекли: решить лист намного приятнее, чем выслушивать объяснения, жаловаться и ругаться — и без толку.

Младшенькая, люто и фатально ненавидевшая математику, была, естественно, под более бдительным контролем. На неё обрушилось больше всего заданий.

В результате, попав к сильному педагогу, она вдруг обнаружила себя вполне способной к математике — и окончила школу очень успешно.

Братцы! Это — совершенно новое родительское качество: ты можешь реально помочь в учёбе.

Прямо-таки чувство полёта! Не висеть над душой, не заставлять и нудить, не жаловаться на учителей, не объяснять до полного офонарения — а дать пару простых тестов, определить пропущенный навык, молча написать пару листов — и человечек, без трудностей, работает, и обнаруживает, что теперь умеет это, да ещё получает свои заслуженные рубли на мороженное. Попробуйте — не пожалеете!

 

Математика: решение задач

Задачи — это математика в реальной жизни. Это — конкретная логика. Собственно, к решению реальных задач и должен, по-моему, сводиться смысл изучения математики.

Однако, тут мы видим знакомый симптом: их доля в учебниках уменьшается к старшим классам.

Чем более сложна школьная математика, тем она более абстрактна и безлика. Посему, задачами пришлось заниматься мало. Но, кое-какие выводы сделать мы успели.

1. Нельзя решать задачу, пока не отработаны все нужные для её решения навыки. Вы не научите решать задачи с пропорцией ученика, который не понял всё о дробях и не умеет их умножать и делить.

Прежде всего, он должен свободно рисовать и рассчитывать саму пропорцию — это отдельный приём, отдельный навык. Задача — это, как бы, приведение примера из жизни.

Вспомним: в учебном цикле контрольного листа это следует всегда после полного понимания и отработки навыка. Нельзя привести пример того, чего не понял или не можешь.

2. Продукт освоения определённых задач — не просто решение задач, а умение составлять задачи этого типа. Определённо, если не можешь составить задачу — значит, не понимаешь её до конца.

3. Поскольку задачи — кусочки жизни, то главный способ работы с ними — масса. Собственно, смысл работы с задачей — представить её, увидеть, понять, как процесс. Решение — второстепенно.

Решение — естественный побочный продукт хорошего видения процесса. Видеть задачу в массе — значит, видеть и решение.

Посему, любую задачу нужно, прежде всего, рисовать, а многие — показывать на предметах.

Рисовать задачи — самый ценный навык в их решении. Довольно быстро он переходит с бумаги в ум. Человек начинает видеть процесс в уме — и решение видно так же хорошо.

4. Обычно задачи расцениваются более, как средство контроля. Напротив! Это — средство развития. Решение разных задач — лучший способ закрепить навыки.

Но, сама методика решения — тоже навык. Разные типы задач имеют свою методику решения. И, прежде, чем давать задачу на контроль, нужно обучить решению именно таких задач.

Если мы говорим о настоящем обучении — с массой, пониманием и тренировкой — то это никак не повредит сообразительности. А вот, когда мы требуем то, чему не научили — от сообразительности часто вообще ничего не остаётся.

5. Задача — это не арифметика или алгебра, а логический процесс. Смысл — увидеть и понять логику задачи. Затем, увидеть последовательность действий. Когда процесс решения понят, задачу можно считать решённой.

Дальше идёт чисто механическая, обслуживающая работа — решение действий. Это, всего лишь, вычисления. Не надо их путать с самой задачей.

В принципе, для них существуют компьютеры. Решение действий — вовсе не то, на что должно тратиться время и внимание! Вычислять надо автоматически, легко.

Мы часто не понимаем этого и «помогаем решать задачу», позволяя человечку корпеть над вычислениями. Это — грубое нарушение постепенности!

Если действия решаются медленно и с трудом — значит, вам не до задач! Значит, надо вернуться в началку, найти дырки и отработать, наконец, это деление в столбик или умножение на минус три пятых!

Сейчас вряд ли можно утверждать, что все должны вычислять всё в уме. На партах лежат калькуляторы. Не могу уверенно сказать, что это плохо.

Но, думаю, что, для задач школьного уровня, компьютер должен быть создан в голове. Посему, будем исходить из требований конкретной школы. В уме ли, на калькуляторе — вычисления не должны сильно отвлекать от логического решения задач.

Итак, вот каким может быть тренировочный цикл для задач.

1. Прочтение и прояснение всех слов в условии задачи.

2. Создание массы условия и процесса, происходящего в задаче. Видение и понимание всего процесса.

3. Выработка последовательности действий для решения, если необходимо — с массой.

4. Вычисление действий и получение ответа. Думаете, это результат? Задачи — да. Обучения — далеко нет!

5. Решение этой же задачи столько раз, сколько нужно до состояния «без задержек» — свободно и бегло. Обычно, хватает 2-3 раз.

6. Решение ещё 3-5 задач того же типа — до свободной беглости. Если беглость не получается — ищите пробелы раньше!

7. Придумывание трёх задач такого типа — с их быстрым решением.

Вот теперь, получен учебный продукт — умение работать с такими задачами. Теперь, человечек решает задачи не то, что без отвращения — с упоением! Он парит над ними, управляет, властвует!

Товарищи учителя, вы именно так щёлкаете задачи, которые задаёте ученикам? Нет?.. Так научитесь их решать вместе с ними — и вы увидите, чем отличается учебный результат от текучки!

Ясно: на задачи других типов будет уходить всё меньше времени и сил — выработался навык логического решения задач.

И, чем больше типов задач добавляется в копилку достигнутых учебных результатов, тем обширнее и универсальнее этот навык — навык решения проблем и изобретения логических выходов.

Недоработанные навыки и пропущенные слова порождают другие пробелы и дырки, тормозят друг друга, размножаются, и в уме вырастает глупость и неспособность.

Навыки, отработанные до результата, имеют обратное магическое свойство. Они поддерживают и расширяют друг друга.

Вычислительные навыки помогают логическим. В уме создаётся прогрессивно растущая сумма развитых навыков решения. Другими словами — интеллект.

Вот такая вот, братцы, альтернативочка!

Что же происходит в реальной жизни? В реальной жизни — компьютерная игрушка «Дэнди»: сделал не так — и потерял «жизнь».

«Папа, да, знаю я эти дроби! Да, знаю я, как тут делить!» Знаешь — а сидишь и соображаешь по полминуты. А задержалась дольше десяти секунд — потеряла «жизнь»!

Ты знаешь — но не умеешь, солнышко моё. Ну, попробуй, пройди эту игру. Хило?.. Так что, вот тебе ещё лист, и учись проходить без потерь!

А что происходит в школе? А в школе мы ставим пятёрки… за что бы вы думали? За правильный ответ! Чтобы его получить, не нужно вообще никакого умения. К чему же мы готовим своих детей, братцы?..