Свойства гиперболических функций

1. Так как функции и определены и непрерывны на промежутке , то по теореме о непрерывности суммы, разности и частного непрерывных функций следует, что гиперболические функции , , , также определены и непрерывны на промежутке (за исключением точки для ).

2. Так как

,

то функция – четная, а значит, график функции симметричен относительно оси .

3. Так как

,

то функция – нечетная, а значит, график функции симметричен относительно начала координат.

4. Так как

,

то функция – нечетная, а значит, график функции симметричен относительно начала координат.

5. Так как

,

то функция – нечетная, а значит, график функции симметричен относительно начала координат.

6. На промежутке функция возрастает от 1 до , так как

а) ; б) .

7. На промежутке функция убывает от 1 до 0, так как

а) ; б) .

8. На промежутке функция возрастает от 2 до , так как а) ; б) .

x

y

y = ch x

Рис. 7.

9. Тогда функция возрастает от 1 до на промежутке . Но , значит, функция возрастает от 1 до на промежутке (рис.7).

 

10. На промежутке функция возрастает от 0 до , так как а) ; б) .

Рис. 8.

y

x

y = sh x

11. Тогда функция возрастает от 0 до на промежутке . Но , значит, функция возрастает от 0 до на промежутке (рис.8).

 

12. На промежутке функция возрастает от 0 до 1, так как а) ; б)

.

13. Но , значит, функция возрастает от 0 до 1 на промежутке (рис.9).

x

y

-1

y = th x

Рис. 9.

 

14. На промежутке функция убывает от до 1, так как а) ; б) .

Рис. 10.

x

y

-1

y = cth x

15. Но , значит, функция убывает от до 1 на промежутке (рис.10).

 

 

16. Заметим, что из всех гиперболических функций только одна функция гиперболического тангенса является ограниченной: .

17. Кривая носит название цепной линии. Это название кривая получила из-за того, что цепь или канат, закреплённые с двух концов, принимают под действием собственного веса такую форму прогиба.

9. Непрерывные и равномерно непрерывные функции на

Определение №2. Функция называется непрерывной на отрезке ,если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Определение №3. Функция , определенная на отрезке ,называется равномерно непрерывной на нем, если можно найти такое , что для любых и , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство:

.

Примеры:

1. Функция равномерно непрерывна на всей числовой прямой. Достаточно взять , так как и , следовательно, .

2. Функция на непрерывна, но не является равномерно непрерывной. Докажем это.

Доказательство:

1. Возьмем из точки и .

2. Тогда

.

3. Очевидно, что при каждом определенном значении из полуинтервала имеем

.

4. Поэтому в любой точке по заданному можно найти такое , что будет верно неравенство:

,

если только .

5. Это доказывает непрерывность в каждой точке из .

6. Возьмем теперь из точки и .

7. Тогда

.

8. Очевидно, что если значение , как угодно мало, но уже выбрано, то

при величина неограниченно возрастает.

9. Поэтому для , каким бы малым ни было, всегда можно найти на полуинтервале настолько близкие к 0 точки и , что

будет и тем не менее окажется, что

.

10. Это доказывает, что функция неравномерно непрерывна на полуинтервале .

Равномерная непрерывность функции на промежутке означает, что в любом месте этого промежутка одна и та же разность значений аргументов и обеспечивает заданную выбором разницу соответствующих значений функций и .

Понятие равномерной непрерывности функции относится к наиболее сложным и трудным для усвоения понятиям математического анализа.

A

B

x

y

a

b

δ

ε

Рис. 11.

Поясним равномерную непрерывность функции на следующей модели. Представим себе, что график заданной непрерывной функции есть некоторая тонкая, но жесткая стальная нить. Задача состоим в том, чтобы изготовить такую муфту длины с цилиндрическим отверстием диаметра (Рис.11), которая могла бы свободно передвигаться вдоль этой стальной нити от точки до точки , сохраняя при этом положение, при котором ее ось параллельна оси . Очевидно, что длина такой фунты будет зависеть только от величины диаметра ее отверстия : чем меньше диаметр отверстия , тем короче должна быть муфта, тем меньше должно быть . Если для заданной кривой такую муфту можно изготовить с любым сколь угодно малым наперед заданным диаметром , то функция равномерно непрерывна на . Действительно, в этом случае для любой пары точек и , удовлетворяющих неравенству , будет выполняться неравенство .

Пытаясь построить такую модель для функции , легко убедиться, что она является равномерно непрерывной на .

Пытаясь построить такую модель для функции , легко убедиться, что она на не является равномерно непрерывной, так как по графику этой функции приблизить муфту в крайнее левое положение невозможно какой бы малой длины мы ее не изготовили (Рис.12) [2].

Рис. 12.

x

y

ε

δ

 

 

Тем более интересна следующая теорема, которая показывает, что если функция непрерывна на отрезке, то она обладает свойством равномерной непрерывности.

Теорема Кантора

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то она равномерно непрерывна на этом отрезке.

Доказательство:

1. Доказательство проведем методом от противного.

2. Допустим, что функция , непрерывная на отрезке , не является равномерно непрерывной на этом отрезке.

3. Это означает, что не для любого можно найти такое , чтобы из неравенства всегда выполнялось неравенство .

4. Поэтому существует такое , что каким бы малым мы ни выбирали, всегда найдутся такие точки и , что хотя и будет выполняться неравенство , тем не менее окажется, что

.

5. Возьмем последовательность значений , сходящуюся к нулю:

, , .

6. Для найдутся на отрезке такие точки и , что вслед за неравенством будет выполняться .

Для найдутся на отрезке такие точки и , что вслед за неравенством будет выполняться .

………………………………………………………………………………….

Для найдутся на отрезке такие точки и , что вслед за неравенством будет выполняться .

…………………………………………………………………………………

Этот процесс продолжаем бесконечно.

7. В результате из отрезка выделяются две ограниченные последовательности:

8. Рассмотрим последовательность . Она ограничена, так как содержится на отрезке. По теореме Больцано-Вейерштрасса из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

9. Пусть это будет подпоследовательность , сходящаяся к , т.е.

.

Причем, очевидно, что .

10. По условию теоремы функция непрерывна на отрезке . Следовательно, она будет непрерывна и в точке , т.е.

.

11. В соответствии с определением непрерывности функции в точке на языке последовательностей: соответствующая последовательность значений функции тоже будет сходится к :

.

12. Из неравенства видно, что при и другая подпоследовательность , выделенная из ограниченной последовательности , тоже будет сходиться к при :

.

Действительно:

или

.

Так как если , то и .

13. Тогда соответствующая последовательность значений функции

тоже будет сходиться к при :

.

14. Равенства п. 11 и п. 13 можно переписать в виде таких неравенств при следующих условиях :

: ;

: .

15. Тогда для всех при одновременно будут выполняться неравенства:

и

.

16. По свойству модуля разности двух действительных чисел:

, получим:

или

для .

17. Но по самому выбору точек и предполагалось, что

.

18. Полученное противоречие показывает, что наше допущение, что функция на отрезке не является равномерно непрерывной, неверно.

Следовательно, функция , непрерывная на отрезке , равномерно непрерывна на нем [2].

ч.т.д.

Замечание. То, что в условии берется отрезок, является существенным. Так, например, функция непрерывна на интервале , но не является равномерно непрерывной на интервале .

Колебание функции

1. Из первой теоремы Вейерштрасса следует, что если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

2. Обозначим через и .

Определение №4. Колебанием функции на промежутке называется разность ( – разность между наибольшим и наименьшим значениями функции).