Функция арифметического корня

Рассмотрим функцию при некотором натуральном n. Она непрерывна и строго возрастает на промежутке .

По следствию из второй теоремы Больцано-Коши множество значений функции , рассматриваемой на промежутке X= , представляет некоторый промежуток Y. Так как наименьшее значение функции на промежутке X равно 0 (оно получается при x=0), то 0 и будет левым концом промежутка Y. С другой стороны, при , т. е. справа промежуток Y не ограничен. Следовательно, Y= . Тогда по теореме о существовании обратной функции для непрерывной и монотонной на некотором промежутке функции на существует обратная функция . Меняя обозначения, можно записать эту функцию и как

. (3)

Эта функция также непрерывна и строго возрастает на промежутке .

График функции получается из графика функции , отражением относительно прямой y = x в первом координатном угле (рис.5).

Этот график, как и график функции , проходит через начало координат. Кроме того, поскольку , то и [2].

Для любых натуральных значений и при верно равенство

. (4)

В самом деле, в силу свойств степеней с натуральным показателем

.

При справедливо равенство

. (5)

Чтобы доказать это равенство, достаточно заметить что - е степени обеих частей равны , причем обе части равенства (5) неотрицательны.

Если , а - четное число, обе части равенства (5) определены, но равенство уже может не иметь места. Дело в том, что при нечетном и четном в области имеем , но . Поэтому вместо равенства (5) следует писать в этом случае

(6)

в такой форме оно верно для любых k, m из множества натуральных чисел.

Вместо пишут также . Отметим некоторые свойства арифметического корня.

1. В соответствии с определением арифметического корня для всех верны равенства и .

2. при .

3. при .

4. [2]

Докажем последнее равенство. Действительно, в соответствии с определением арифметического корня корнем -ой степени из числа называется такое число, -ая степень которого равна , т. е. , если .

Пусть левая часть доказываемого равенства представляет собой корень -ой степени из числа .

Обозначим правую часть этого же равенства за . Если возведем в степень и получим в результате , то данное свойство будет доказано.

Возведем правую часть равенства, т. е. в - ую степень

.

На основании первого свойства арифметического корня выражение в прямоугольных скобках есть , т. е. , следовательно, , значит, есть корень - ой степени из .

Остается доказать, что так как по условию арифметического корня , то - в целой степени , где .

5. , где [2].

Действительно, уже доказано, докажем . Рассмотрим , тогда .

Если , то можно переписать следующим образом, воспользовавшись правилом возведения в степень при целых показателях, можно записать , т. е. является , т.е. , но , значит, .