Степенная функция с натуральным показателем

Степенной функцией с натуральным показателем n называют функцию

, где n Î N, x Î R. (1)

Определение этой функции общеизвестно y=x для n>1

Из самого ее определения следует, что при любом натуральном k:

и

Функция определена на всей числовой оси[9].

Пусть - нечетно, т. е. , k N, тогда функция - нечетная.

Если , то , а потому график функции проходит через начало координат(рис.1) [4].

Исследуем функцию на монотонность.

Вначале проведем это исследование на полусегменте [9].

Пусть имеем:

Так как , то , а так как и , то и , следовательно, , т. е. функция (1) монотонно возрастает на полусегменте [4].

Поскольку функция нечетная, то на полусегменте монотонно возрастает, так как если , то .

Функция непрерывна на всей числовой оси, как непрерывных функций .

По теореме о бесконечно больших функциях получаем, что и [2].

б) Пусть - четное, т. е. , .

Тогда функция - четная функция. Очевидно так же, что при четном не принимает отрицательных значений.

Если , то , следовательно, график функции проходит через начало координат (рис.2).

Эта функция строго возрастает при , так как при . А на полуоси функция строго убывает, так как если , то .

Функция непрерывна на всей числовой прямой, как произведение непрерывных функций , непрерывность которых уже доказана [4].

По теоремам о бесконечно больших функциях получаем, что , .

 

П. 2. Степенная функция с целым отрицательным показателем

 

Определение: Степенной функцией с целым отрицательным показателем называют функцию , где . (2)

Функцию определена при x≠0.

Для выражение не определяют, так что областью определения функции (2) является совокупность двух интервалов [9].

а) Пусть - нечетное, m=2k- 1, k N.

Функция непрерывна на всей числовой прямой, исключая точку x=0.

Как и в случае натурального показателя нечетна. Так как при положительных x и из неравенства следует неравенство , то на интервале функция (2) монотонно убывает. Отсюда в свою очередь следует, что в интервале функция строго убывает, т.е. функция строго убывает на области определения, при этом , и [4].

б) Пусть m - чётное, m = 2k, k N.

 

Тогда функция непрерывна на всей области определения, исключая точку 0.

Функция четна, т. е. она неотрицательна для всех из своей области определения.

При положительных и из неравенства следует что на интервале функция монотонно убывает. А в интервале функция монотонно возрастает, так как из следует неравенство .

При этом и , [2].

Модуль

Тема №5

Непрерывность основных

Элементарных функций. Равномерная непрерывность функции на множестве

Лекция №19

1. Функция арифметического корня .

2. Свойства арифметического корня.

3. Функция корня при n - нечетном.

4. Степенная функция во множестве действительных чисел.

5. Степенно – показательная функция.

6. Некоторые пределы, связанные с показательными и логарифмическими функциями.

7. Обратные тригонометрические функции.