Уравнение плоскопараллельного движения твердого тела

 

При плоскопараллельном движении рис. 3.1 любое сечение тела , параллельное плоскости П, должно оставаться параллельным плоскости П в процессе всего движения. В сечение выберем произвольную точку и проведем через неё прямую, перпендикулярную к плоскостям и П. В процессе плоскопараллельного движения тела эта прямая остается параллельной самой себе, следовательно, она движется поступательно. Тогда все точки тела, лежащие на этой прямой, например, будут иметь одинаковые скорости, ускорения и траектории. Следовательно, достаточно знать движение точки в сечения , чтобы знать движение любой точки тела, лежащей на рассматриваемой прямой. Аналогично можно взять любую другую точку сечения , например, точку и получить тот же вывод. Отсюда следует, что плоскопараллельное движение тела будет известно, если будет известно движение фигуры .

Вывод: Изучение плоскопараллельного движения твердого тела сводится к изучению движения произвольного сечения тела, параллельного плоскости П.

Движение любой плоской фигуры в неподвижной системе координат на плоскости, при известных форме и размерах фигуры , определяется по движению произвольного отрезка известной длины и ориентации по отношению к фигуре (рис.3.2).Точку А на Ф назовем полюсом, второй конец отрезка обозначим точкой . Положение отрезка на плоскости (следовательно, и положение фигуры) будет в каждый момент времени определено, если знать координаты полюса и угол , который отрезок образует с осью . Положение точки можно определить по известной длине отрезка .

 

Рис.3.3

С фигурой свяжем две системы координат и . Оси и в процессе движения остаются параллельными неподвижным осям , т.е. оси системы координат при движении фигуры Ф движутся поступательно. Движение фигуры Ф в системе координат есть движение вращательное относительно подвижной оси , проходящей через точку перпендикулярно плоскости чертежа (на рисунке не показана). Система координат жестко связана с фигурой и движется вместе с ней. Если фигура Ф в процессе движения поворачивается, то повернется и система координат . Поворот фигуры, происходящий в процессе ее движения относительно точки , можно теперь определить углом поворота между осями и (рис.3.2) или, что то же самое, между осями и . Окончательно, движение отрезка определяется уравнениями:

 

, , (3.1)

 

Эти же уравнения определяют движение плоской фигуры Ф, а по движению фигуры Ф определяется движение и самого тела.