Теорема о геометрическом сложении векторов ускорений.

 

3.11. Теорема.Вектор ускорения произвольной точки В плоской фигуры в плоско - параллельном движении равен геометрической сумме вектора ускорения точки А, принятой за полюс, и вектора ускорения , которое точка В приобретает при вращении плоской фигуры относительно полюса А (рис.3.19):

(3.24)

 

Доказательство: По теореме о сложении векторов скоростей (3.7) вектор скорости произвольной точки плоской фигуры . Продифференцируем последнее равенство по времени и получим:

= + .

Здесь - вектор ускорения точки В. - вектор ускорения полюса А. - вектор ускорения точки В, которое оно приобретает от вращения фигуры (другими словами, отрезка АВ) относительно полюса А. Окончательно, вектор ускорения точки В вычисляется по формуле . Что и требовалось доказать.

Геометрическая интерпретация формулы (3.24) для одного из возможных вариантов движения фигуры представлена на рис. 3.17.

В общем случае полюс А может двигаться по любой траектории – прямолинейной или криволинейной. Отрезок АВ вращается, поэтому траектория точки В – кривая линия. Следовательно, вектор всегда можно представить в виде суммы его касательной и нормальной составляющих , что бывает удобно в практических расчетах (рис.3.18, рис.3.19). При этом (3.24) принимает вид:

 

+ (3.25)

 

Величины векторов вычисляются по формулам теории вращательного движения относительно неподвижной оси:

, , (3.26)

 

Где - угловая скорость и угловое ускорение плоской фигуры соответственно. С учетом (3.26) имеем:

. (3.27)

Здесь и m – модуль и угол отклонения вектора от отрезка соответственно.

Вектор , независимо от направления вращения фигуры (рис. 3.18, рис. 3.19), направлен от точки В к мгновенной оси вращения, проходящей через точку А. Другими словами, вектор всегда направлен от точки В к точке А, принятой за полюс.

Направление вектора (рис. 3.18, рис. 3.19) соответствует направлению дуговой стрелки углового ускорения и не зависит от направления вращения фигуры, то есть не зависит от направления дуговой стрелки .

Если точка А, которую решено принять за полюс, движется по известной криволинейной траектории, то и вектор можно разложить на касательную и нормальную составляющие , а формула (3.25) примет вид:

(3.28)

 

И последнее, если и точка В движется по известной криволинейной траектории, то формулу (3.25) можно будет записать в самом общем виде:

 

(3.29)

 

Уравнения (3.24) - (3.29) позволяют вычислить вектор ускорения произвольной точки В плоской фигуры. При этом предполагается, что все другие векторы, входящие в эти уравнения, или известны заранее, или могут быть вычислены по исходным данным задачи. Но совершенно очевидно, что эти уравнения справедливы и для случая, когда вектор известен. В этом случае они позволяют найти любой другой один вектор по известным остальным векторам (из одного уравнения можно найти одно неизвестное).

 

2. Метод проекций для определения ускорений

С методом проекций мы уже сталкивались при обсуждении методов определения скоростей. С математической стороны здесь все делается так же, но применительно к другим механическим уравнениям. Введем на плоскости некоторую прямоугольную систему координат . Начало координат О, и направление осей выбираются произвольно. Спроецировав любое из уравнений (3.24)-(3.29) на эти оси, получают соответствующие уравнения метода проекций. Например, векторное уравнение (3.29) заменится двумя скалярными уравнениями:

 

, . (3.30)

 

Все входящие в эти уравнения величины – это проекции соответствующих векторов. Из системы уравнений (3.30) могут быть определены любые две входящие в них величины. Остальные величины должны быть известны заранее. Если, например, из системы (3.30) определены проекции вектора ускорения точки В - , то модуль вектора ускорения находится по формуле:

= . (3.31)

Направление вектора в принятой системе координат можно установить по проекциям . Выбор осей координат не влияет на конечный результат, но может существенно облегчить или затруднить вычисления

Пример 3.11. Стержень движется в плоскости. В данный момент времени точки имеет ускорение , угловая скорость стержня , угловое ускорение . Направление угловой скорости и углового ускорения показаны дуговыми стрелками на рисунке 1 к примеру. Определить величину ускорения точки стержня, если длина его , а модуль вектора ускорения .

 

Решение. Стержень в данный момент времени вращается замедленно, так как и имеют противоположные направления. За полюс примем точку , ускорение которой известно. Это единственная причина для выбора полюса в точке . По (3.25) + . Это уравнение позволяет определиться с направлением соответствующих векторов ускорений на плоскости в данный момент времени. Направление вектора дано в условии примера. Направление вектора определено по направлению . Вектор нормального ускорения всегда направлен к выбранному полюсу. Модули двух последних векторов вычисляются по формулам (3.17). , . по условию примера. Далее воспользуемся методом проекций. Введем оси координат, показанные на рисунке 2 к примеру, и спроецируем векторное уравнение (3.25) на эти оси. Получим:

, , (*)

где , = , , , , . Удачный выбор осей координат существенно облегчил нахождение проекций, многие из них равны нулю. Окончательно из (*) получим , , Ответ: