Мгновенный центр ускорений (МЦУ). Определение ускорений точки плоской фигуры с использованием мгновенного центра ускорений

3.12. Мгновенным центром ускорений плоской фигуры называется точка в плоскости движения фигуры, ускорение которой равно нулю ( ).

Слово «мгновенный» указывает на то, что при плоскопараллельном движении плоской фигуры положение этой точки в общем случае меняется с течением времени и может быть определено для конкретного момента времени. Так же было и с мгновенным центром скоростей. Пусть положение МЦУ известно. Примем её за полюс. Тогда ускорение произвольной точки плоской фигуры вычисляется по формулам (3.24) и (3.25), которые теперь принимают вид: Отсюда так как . Вывод: При плоскопараллельном движении и известном МЦУ вектор полного ускорения любой точки плоской фигуры определяется как вектор ускорения этой точки во вращательном движении плоской фигуры относительно МЦУ ().

Величины векторов вычисляются по формулам (3.26).

, . (3.32)

Здесь - угловая скорость и угловое ускорение плоской фигуры соответственно, - расстояние от мгновенного центра ускорений до точки , ускорение которой в данный момент хотим определить. А формулы (3.27) будут иметь вид:

. (3.33)

(3.34)

m – угол отклонения вектора от отрезка соответственно.

Как определить мгновенный центр ускорений (МЦУ)? Рассмотрим два частных случая.

Первый случай. Известен вектор ускорения некоторой точки плоской фигуры (известны его модуль и направление в точке ), а так же угловая скорость и угловое ускорение самой фигуры. Для определения нужно:

1. Изобразить вектор в точке . 2. Вычислить угол по формуле (3.33). 3. Мысленно повернуть вектор на угол в направлении дуговой стрелки и провести в направлении повернутого вектора луч . 4. Вычислить длину отрезка по формуле (3.34). Это дает . 5. Отложить от точки на луче отрезок длиной и найти точку .

Докажем, что . Выберем точку за полюс и вычислим ускорение точки . По имеем формуле (3.25) , где

. Модуль вектора = = . Но по построению . Тогда = = . Далее, прямая отклонена от вектора на угол в сторону по построению. Вектор отклонен от направления на тот же угол, найденный из (3.33), по свойствам вращательного движения. Следовательно, , что показано на рис.3.20. Тогда . Что и требовалось доказать.

Второй случай. Пусть известны только направления векторов ускорений двух точек плоской фигуры (модули не известны), угловая скорость и угловое ускорение самой фигуры. Для определения нужно:

1. Вычислить угол по второй из формул (3.33). 2. Мысленно повернуть векторы и в точках их приложения на угол в направлении дуговой стрелки и провести в направлении повернутых векторов лучи и . 3. Точка пересечения этих лучей определит положение мгновенного центра ускорений (рис. 3.21). Доказательство основано на том, что точка должна лежать на двух построенных прямых и одновременно, так как обе они построены по обсужденной в первом случае методике. Но две не параллельные прямые на плоскости имеют только одну общую точку – точку пересечения. Что доказывает, высказанное утверждение о положении точки . Отсюда следует и единственность этой точки.

Сравнивая ускорения разных точек плоской фигуры, вычисленные по (3.33), находим, что они пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра ускорений.

(3.35)

 

3.13. Если мгновенный центр ускорений известен, известны угловая скорость и угловое ускорение , то ускорение точки находится по следующему правилу:

1. Находится расстояние от точки до точки . 2. Модуль вектора ускорения точки плоской фигуры определяется по первой из формул (3.33). 3. Вычисляется угол по второй из формул (3.33). 4. Приложив вектор в точке он сначала мысленно направляется к точке , а затем поворачивается на угол от отрезка в сторону дуговой стрелки (то есть в сторону своей составляющей ) (рис. 3.20).