Положение мцс для некоторых частных случаев движения

1) Качение катка по плоскости без скольжения (без проскальзывания или, еще говорят, без «буксовки»).

Мгновенный центр скоростей находится в точке , где каток касается плоскости. Действительно, точки плоскости не подвижны. Каток катится без скольжения. Следовательно, в точке касания скорости тел (катка и плоскости) должны быть одинаковыми и равными нулю. Если известна скорость точки , то угловая скорость катка вычисляется по формуле:

, где - радиус катка. . Оказывается, что мгновенная скорость песчинки, прилипшей к колесу автомобиля в точке , в два раза больше скорости точки оси , которую мы видим на спидометре своего автомобиля. Вектор скорости точки , лежащей на конце горизонтального диаметра, направлен к точке , так как известно, что угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, - прямой. Тогда, .

Рис.3.14

Рис.3.13

2) Векторы скоростей двух точек плоской фигуры и параллельны, направлены в одну сторону, но точки не лежат на общем перпендикуляре, восстановленном к одному из векторов скоростей (рис. 3.15). Мгновенный центр скоростей находится в бесконечности и угловая скорость фигуры равна нулю.

(3.16)

Действительно, по (3.14) , . При этом и - конечные величины. Параллельные прямые и пересекаются в бесконечности. Тогда по (3.15), (МЦС не существует). Это означает, что тело в данный момент времени совершает мгновенно поступательное движение, векторы скоростей всех точек тела параллельны и равны по модулю.

Пример 3.7. Кривошипно-шатунный механизм приводится в движение вращением кривошипа с угловой скоростью . Точка одновременно принадлежит шатуну и кривошипу . Кривошип вращается относительно неподвижной оси (на рис. не показана), проходящей через точку , перпендикулярно плоскости рисунка. Следовательно, вектор скорости точки направлен перпендикулярно к оси кривошипа в сторону вращения кривошипа. Вектор в данный момент времени параллелен оси . По величине он равен .

В точке в механизме - ползун, который позволяет точке двигаться только вдоль своей оси . Следовательно, вектор скорости точки параллелен вектору и оба вектора направлены в одну сторону. МЦС шатуна находится в бесконечности. Следовательно, шатун движется мгновенно поступательно и все его точки движутся с одинаковыми по величине и направлению скоростями. Замечание. Сравните этот пример с примером 3.6 и убедитесь в том, что в другие моменты времени шатун вращается.

 

Пример 3.8. В эпициклическом механизме кривошип длиной вращается с угловой скоростью и приводит в движение колесо радиусом . Колесо находится во внешнем зацеплении без проскальзывания с колесом , вращающимся с угловой скоростью . Колесо и ползун соединены шарнирно шатуном . Определить скорости точек механизма и угловую скорость колеса , угловую скорость шатуна .

Решение. . Так как в точке касания колеса и не проскальзывают относительно друг друга, то линейные скорости точек и первого, и второго колес равны. . Вектор линейной скорости точки найдем по известному вращению колеса . По величине . Вектор направлен в сторону вращения колеса и перпендикулярен радиусу второго колеса, который в данный момент времени совпадает по направлению с кривошипом . Скорости двух точек одного и того же тела (колеса 1) оказались равными и по величине, и по направлению. Следовательно, колесо 1 совершает мгновенно поступательное движение, то есть не вращается и . Шатун в данном его положении движется поступательно и . Это было показано в предыдущем примере. Окончательно, векторы скоростей всех точек параллельны и равны по величине .

 

3) Векторы скоростей и двух точек плоской фигуры параллельны, не равны друг другу по модулю, а сами точки лежат на общем перпендикуляре к векторам скоростей (рис. 3.16). МЦС (точка р) находится на пересечении прямой АВ и прямой, проходящей через концы векторов скоростей.

При этом угловая скорость плоской фигуры вычисляется по формуле:

 

(3.17)

Доказательство основано на применении соотношения (3.15).

Пример 3.9. Третий частный случай иллюстрируется движением механизма, положение которого в некоторый момент времени показано на рис. к примеру. Механизм состоит из двух колес 1 и 2, плотно прижатых друг к другу (это могут быть и зубчатые колеса) и кривошипа , вращающегося относительно точки и шарнирно (подшипник) соединенного с колесом 2 в точке . Кривошип и колесо 1 «сидят» на одной оси, но друг с другом не соединяются. Механизм приводится в движение независимыми вращениями колеса 1 и кривошипа . В данный момент времени угловые скорости их равны и соответственно и направлены так, как показано на рисунке к примеру 3.5. Таким образом, колесо и кривошип совершают при работе механизма вращательное движение относительно неподвижной оси, а колесо совершает плоскопараллельное движение. Так как кривошип совершает вращательное движение относительно неподвижной оси, проходящей через точку перпендикулярно к плоскости рисунка (на рис. ось не показана), то вектор линейной скорости точки кривошипа и точки колеса 2 перпендикулярен к оси кривошипа и направлен в сторону его вращения (по криволинейной стрелке ). Векторы линейной скорости в точке касания колес совпадают. Рассматривая вращение колеса 1 видим, что направлен перпендикулярно к радиусу вращающегося колеса 1 в сторону его вращения. Следовательно, II . Пусть при этом , как показано на рисунке. Тогда мгновенный центр скоростей колеса 2 оказывается в точке . Колесо 2 совершает мгновенное вращение относительно точки с мгновенной угловой скоростью . При этом по формулам (3.14) . Отсюда , где . Решая совместно два последних уравнения, получим:

. (3.18)

Угловая скорость второго колеса по (3.15) будет равна:

(3.19)

Направление совпадает с направлениями и , что показано на рисунке. Это означает, что второе колесо «катится» без скольжения по первому, обегая его по часовой стрелке, так как при вращательных движениях тел направление векторов линейных скоростей точек тела и угловая скорость вращения самого тела всегда согласованы и «направлены в одну сторону».

Пусть теперь модули векторов скоростей таковы, что . Это может быть, если и . Тогда мгновенный центр скоростей будет в точке, показанной на рис.2 к примеру 3.9. По аналогии с предыдущим случаем получим:

, (3.20)

. (3.21)

Как и раньше, направление угловой скорости определяется по направлению векторов линейных скоростей .

 

4) Векторы скоростей и двух точек плоской фигуры параллельны, не равны по модулю и направлены в разные стороны. Точки лежат на общем перпендикуляре АВ к векторам скоростей (рис. 3.17). МЦС (точка р) находится на пересечении прямой АВ и прямой, проходящей через концы векторов скоростей.

При этом угловая скорость плоской фигуры вычисляется по формуле:

 

(3.22)

Доказательство основано на применении соотношения (3.15).

Пример 3.10. Две параллельные рейки движутся в разные стороны с постоянными скоростями . Между рейками зажат диск радиуса , катящийся по рейкам без скольжения. Найти угловую скорость диска и числовое значение скорости его центра , если .

Решение: Так как диск катится без скольжения, то в точках касания и диска с рейками соответствующие скорости равны. А именно, , . Так как рейки параллельны, то параллельны и вектора скоростей и точек и диска, а сами точки лежат на общем перпендикуляре к векторам скоростей этих точек. Следовательно, мгновенный центр скоростей лежит на вертикальном диаметре диска между точками и , как показано на рис. 2 к примеру 3.10. Из пропорциональности точек плоской фигуры их расстояниям до мгновенного центра скоростей (3.16) имеем:

и

Решая совместно последние два уравнения, находим расстояние от точки до мгновенного центра скоростей : . Угловая скорость диска при его вращении относительно мгновенного центра скоростей вычисляется по (3.15): . Или

(3.23)

Учитывая, что , видим совпадение (3.23) и (3.22).

Чтобы определить величину линейной скорости центра диска, вычислим расстояние .

.

Так как точка - мгновенный центр скоростей диска, величина скорости центра диска вычисляется по формуле (3.15).

= =

Направление вектора определяется по направлению вращения диска, то есть по направлению , и показано на рис.2 к примеру 3.10.