Методика розв’язання задач така ж сама, як попередньому випадку

Приклад. Знайти рівняння коливань тіла масою = 0,6 кг, яке прикріплене до двох послідовно з’єднаних пружин жорсткістю = 150 Н/м та = 100 Н/м (рис. 5.4) якщо сила опору , а початкові умови = 0,2 м, = 2 м/с.

При послідовному з’єднанні пружин сумарне зміщення вантажу (розтягнення двох пружин) є сумою їх розтягнень (окремих зміщень від початкового положення)

,

тому

,

і, оскільки

,

то для визначення ефективної жорсткості системи пружин отримуємо

= 150·100/250 = 60 Н/м.

Під дією сили тяжіння пружини будуть деформуватися, а величина статичної деформації може бути знайдена з умови

,

звідки

= 0,6·10/60 = 0,1 м.

Відносно цього положення, яке в подальшому вважаємо початком відліку х – координати, будуть здійснюватися коливання. В нашому випадку кругова частота становить

= = 10 рад/с.

а значення величини

= 0,5 с^-1.

Оскільки виконується умова < , то

,

де

= 9,99 рад/с,

що дозволяє визначити період коливань

= 0,629 с,

і ми отримуємо рівняння згасаючих коливань у вигляді

.

Знайдемо величини та з початкових умов. Спочатку знайдемо вираз для швидкості (взявши похідну від зміщення)

,

після чого скористуємось початковими умовами і отримаємо:

= 0,2 = ,

= 2,0 = .

Розв’язуючи цю систему рівнянь відносно і , отримаємо:

= 0,76 рад. та = 0,3 м.

Знайдені значення та задовольняють початковим умовам

= 0,2 м = ,

= 2,0 м/с = ,

Таким чином, остаточно рівняння коливань приймає вигляд

м.

Графік цих коливань приведено на рис. 5.5.

Дослідимо максимальні відхилення , які відповідають моментам часу , , і переконаємося, що

= … = = 0,73

тобто утворюють геометричну прогресію зі знаменником 0,73.

Відповідь: м.

в) Змушені коливання з одним ступенем свободи

Якщо на матеріальну точку масою , крім квазіупружної сили та сили в’язкого тертя , діє збурювальна (зовнішня) сила, яка змінюється за гармонічним законом

, (5.22)

(де – амплітуда збурювальної сили, – її частота), то рух, який буде здійснювати точка, називається змушеними коливаннями.

Складемо диференціальне рівняння руху такого тіла масою

, (5.23)

де , а і такі ж самі, як і раніше (дивись формулу (5.10)).

Розв’язок неоднорідного диференціального рівняння (5.23), як відомо з теорії диференціальних рівнянь, має вигляд

, (5.24)

де – загальний розв’язок однорідного рівняння (5.23) нам вже відомий (дивись формулу (5.16)), отож

, (5.25)

а – будь-який частковий розв’язок неоднорідного рівняння (5.23).

З плином часу амплітуда руху, зумовленого вільними коливаннями при наявності сил тертя, згідно (5.16) зменшується практично до нуля, і рух тіла буде визначатися лише зовнішньою силою (5.22). Час установлення режиму вимушених коливань визначається величиною коефіцієнта демпферування і через проміжок часу можна розглядати лише усталені змушені коливання для яких початкові умови вже не мають ніякого значення.

Отож, частковий розв’язок рівняння (5.23) знаходять у вигляді

, (5.26)

де сталі та отримують після підстановки функції (5.26) та її похідних в рівняння (5.23) та певних алгебраїчних перетворень:

, (5.27)

. (5.28)

Таким чином, амплітуда і фаза змушених коливань при наявності тертя визначаються як властивостями зовнішньої сили (частотою та її амплітудою), так і характеристиками осцилятора (його масою , жорсткістю та коефіцієнтом демпфірування ) і не залежать від початкових умов.

Величина , яка входить до розв’язку (5.26) зветься зсувом фаз і визначає різницю між фазою коливань і фазою зовнішньої сили (5.22) в даний момент часу.

Залежність амплітуди змушених коливань від частоти зовнішньої сили називається амплітудно-частотною характеристикою , а залежність зсуву фаз від частоти зовнішньої сили – фазово-частотною характеристикою .

При = 0 (зовнішня сила стала за величиною) значенню амплітуди відповідає статичне зміщення

. (5.29)

Якщо , то 0 за законом згідно формулі (5.27).

Максимальна величина амплітуди відповідає так званій резонансній частоті яка може бути знайдена з умови мінімуму знаменника формули (5.27)

. (5.30)

Таким чином, при > на залежності існує максимум, який називається резонансною амплітудою. Підставляючи отримані вирази в (5.27), отримаємо вираз для амплітуди при резонансі

. (5.31)

Звернемо увагу на те, що, взагалі < , але при << резонансна частота практично співпадає з частотою власних коливань. Так, вже при
= 0,1 , = 0,995 .

Відмітимо, що при зростанні одночасно зменшуються як резонансна частота, так і амплітуда коливань при резонансі.

Що стосується зсуву фаз, то з формули (5.28) випливає, що незалежно від коефіцієнта демпферування при резонансі зсув фаз .

Аналізувати амплітудно-частотну криву зручно в безрозмірних значеннях амплітуди , частоти та параметра згасання . Тоді з формул (5.27) та (5.29) отримуємо вираз для відносної (безрозмірної) амплітуди

. (5.32)

Резонансу відповідає значення безрозмірної частоти

, (5.33)

при якій відносна амплітуда досягає значення

. (5.34)

Зауважимо, що, оскільки 1 для < 0,1 , то і в реальних ситуаціях резонансна амплітуда коливань може у десятки разів перевищувати статичне зміщення.

Контрольні запитання

1. Сформулюйте умови виникнення змушених коливань.

2. Запишіть диференціальне рівняння змушених коливань. Що необхідно знати для однозначного розв’язку такого рівняння?

3. Запишіть розв’язок диференціального рівняння змушених коливань.

4. Чим визначаються період змушених коливань?

5. Як впливають початкові умови на амплітуду і фазу змушених коливань?

6. Як впливає сила тертя на амплітуду і фазу змушених коливання?

7. За яким законом змінюється амплітуда змушених коливань? Від яких факторів залежить амплітуда змушених коливань?

8. Намалюйте графік залежності амплітуди змушених коливань від частоти збурювальної сили (амплітудно-частотну характеристику змушених коливань) для різних значень сили тертя (коефіцієнта згасання).

9. Намалюйте графік амплітудно-фазової характеристики змушених коливань (графік залежності зсуву фаз між змушеними коливаннями та зовнішньої силою від частоти сили) для різних значень сили тертя (коефіцієнта згасання).

10. Який випадок змушених коливань називається резонансом?

Приклад. Тіло масою = 0,5 кг знаходиться на похилій площині, яка утворює кут 60° з горизонтом (рис. 5.6), воно прикріплено до двох пружин жорсткістю = 60Н/м та = 140 Н/м на і здійснює коливання під дією збурю вальної сили при наявності сили опору Н.

1) Записати диференціальне рівняння змушених коливань, знайти значення резонансної частоти, статичне зміщення та амплітуду змушених коливань при резонансі.

2) Побудувати амплітудно-резонансну криву в безрозмірних частотах в інтервалі (0; 2,0) для відносної (безрозмірної) амплітуди .

Розв’язання. Як і раніше, перш за все, знайдемо ефективний коефіцієнт жорсткості двох пружин. В даному прикладі пружини закріплені послідовно, але, на відміну від попереднього прикладу, стискування однієї пружини силою супроводжується розтягом другої пружини з такою ж силою, тому = 200 Н/м.

Запишемо диференціальне рівняння вимушених коливань с урахуванням сил тертя

,

та визначимо сталі, які входять до цього рівняння:

= 20 рад/с,

= 0,8/(2·0,5) = 0,8 рад/с,

= 14/0,5 = 28 м/с².

Всі ці величини є необхідними для подальших розрахунків. Так, резонансну частоту коливань визначимо за формулою (5.30)

= = 19,9 рад/с,

амплітуду коливань в резонансі обчислимо, користуючись (5.31)

= 0,88 м,

а статичне зміщення – за формулою (5.29)

= 28/400 = 0,07 м.

Ця залежність наведена на рис. 5.7.

 

Для побудови амплітудно-резонансних кривих в безрозмірних частотах скористуємось виразом (5.32)

..

За допомогою ПЕОМ обчислюємо значення , та будуємо відповідний графік (рис. 5.8).

Відповідь: = 19,9 рад/с, = 0,07 м, = 0,88 м.

Задача ДТ.5. Дослідження одномірних вільних,
згасаючих та змушених коливань

Тіло масою закріплено до двох недеформованих пружин жорсткістю і (рис. 1 - 6).

1) Знайти положення рівноваги, відносно якого мають місце коливання.

2) Записати диференціальне рівняння вільних незгасаючих коливань, скласти характеристичне рівняння та розв’язати його для заданих початкових умов , . Визначити початкову фазу , частоту , та амплітуду таких коливань. Побудувати графік коливань протягом трьох періодів.

3) Записати диференціальне рівняння згасаючих коливань при наявності сили опору , та розв’язати його для тих самих початкових умов. Визначити початкову фазу , частоту , початкову амплітуду і декремент згасання. Користуючись ПЕОМ побудувати графік згасаючих коливань протягом трьох періодів та визначити з графіка декремент згасання.

4) Записати диференціальне рівняння змушених коливань для зовнішньої сили з урахуванням сили опору . Записати загальний розв’язок цього рівняння. Записати вираз для амплітуди та фази змушених коливань. Визначити статичне зміщення, резонансну частоту і амплітуду коливань в резонансі.

5) Перейти до безрозмірної частоти та, користуючись ПЕОМ, побудувати амплітудно-резонансну криву в інтервалі .

Необхідні дані наведені в таблиці ДТ.5.

На рис. 1 та 4 точка закріплення діліть відстань між пружинами у відношенні обернено пропорційному їх жорсткостям.

Тіло здійснює коливання вздовж вертикалі (рис. 1 та 2) чи вздовж похилої площини (рис. 3 – 6).

 

	2	3
	5

 

Таблиця ДТ.5 – вихідні дані для задачі ДТ.5

№	Рис.	, Н/м	, Н/м	, кг	, м	, м/с	, кг/с	, Н
					0,1		0,4
					-0,3		0.24
					0,3	-2,5	0,32
					-0,2	3,5	1,6
					0,5	-4	0,32
					-0,1	-6	1,8
					-0,3		0,48
					0,1		1,2
					-0,2	-9	1,8
					0,2		1,4
					-0,3	-2	2,4
					0,2	-7	0.44
					-0,3		0,6
					-0,3	4,5	1,12
					0,4		0,64
					-0,2	-3
					0,3	-4	0,2
					-0,5		0,7
				5,5	0,3		2,4
					-0,4	-6,5	0,4

Закінчення таблиці ДТ.5.

№	Рис.	, Н/м	, Н/м	, кг	, м	, м/с	, кг/с	, Н
					0,1	-6	1,2
					-0,4	3,5
					0,3	-5,5	0,28
					0,2	7,5	1,6
					-0,3	-2	0,72
					0,2	4,5	2,2
					-0,1	-5	0,64
					0,2	-2,5	0,8
					-0,3	8,5	1,6
					0,2	-9,5	0,44