Методика розв’язання задач для сталих сил.

1) Визначаємо всі сили, що діють на точку.

2) Записуємо диференціальне рівняння руху точки під дією сил, головний вектор яких позначимо

.

3) Вибираємо систему координат, зручну для умов задачі, та записуємо диференціальні рівняння в проекціях на осі. У випадку декартових координат маємо:

,

,

.

4) Якщо точка рухається по колу, то доцільно користуватися циліндричною або полярною системою координат з початком у центрі кола.

5) Послідовно інтегруємо диференціальні рівняння, визначаючи сталі інтегрування з початкових умов і отримуємо рівняння руху точки.

6) З отриманого закону руху визначаємо величини, які необхідно знайти.

Приклад. Тіло рухається з точки похилої площини маючи початкову швидкість = 12 м/с. Кут нахилу площини до горизонту = 30º, коефіцієнт тертя ковзання = 0,1. Через = 0,5 с тіло покидає похилу площину і падає на горизонтальну площину в точці (рис. 2.1).

Визначити довжину похилої площини, швидкість точки в кінці похилої площини, а також координати () точки падіння, швидкість тіла в момент падіння тіла на горизонтальну площину та кут падіння .

Опором повітря та розмірами тіла нехтувати.

Розв’язання. Розглянемо рух тіла по похилій площині. На нього діють сили: вага , нормальнареакція та сила тертя ковзання . Диференціальне рівняння руху тіла на першій ділянці має вигляд

. (1)

Задача двомірна, оскільки рух як на першій, так і на другій ділянці відбувається в площині рисунка. Розташуємо початок декартової системи координат в точці , спрямувавши вісь вздовж площини (рис. 2.1), і з рівняння (1) отримуємо відповідні скалярні рівняння, які визначають рух тіла по похилій площині:

, (2)

, (3)

отже . Оскільки , перепишемо (2) з врахуванням (3) в наступному вигляді

, (4)

де

= 6,0 м/с.

Інтегруючи двічі диференціальне рівняння (4), отримуємо:

,

.

Для визначення сталих інтегрування , та скористуємося початковими умовами:

(0) = 0,

,

і отримуємо:

= ,

= 0.

Тоді, остаточно, для координати тіла та його швидкості на першому етапі руху маємо:

, (5)

. (6)

Ці рівняння дозволяють визначити швидкість тіла в момент часу , коли тіло покидає похилу площину та довжину похилої площини:

= = –6·0,5 + 12 = 9 м/с, (7)

м. (8)

Далі розглянемо рух тіла від точки до точки падіння . На цій ділянці діє лише сила тяжіння тому диференціальне рівняння руху має вигляд

. (9)

Розташуємо початок нової декартової системи координат в точці (дивись рис. 2.1), спрямувавши вісі відповідно горизонтально та вертикально вгору, і тоді отримуємо наступні диференціальні рівняння руху точки на другій ділянці:

, (10)

, (11)

отже:

,

.

Початкові умови на цій ділянці наступні:

, = 7,8 м/с,

та

= 0, = 4,5 м/с.

Двічі інтегруємо диференціальні рівняння (10) і послідовно отримаємо:

= , ,

та

, .

Запишемо отримані рівняння для моменту часу = 0 і знайдемо з них сталі інтегрування:

= 7,8 м/с, = 0 м

та

= 4,5 м/с, = 0 м.

Таким чином, рівняння для визначення координат та компонентшвидкості тіла на другій ділянці руху набувають вигляду:

м/с, (12)

м,(13)

та

м/с, (14)

м. (15)

Координату точки падіння тіла на площину визначимо з умови (дивись рис. 2.1)

= –2,6 м.

Тоді рівняння (15) приймає вигляд

,

що дозволяє визначити час Т, протягом якого тіло рухається на ділянці . Розв’язок дає = 1,3 с, = – 0,4 с. Фізичний зміст має лише корінь = 1,3 с, який дозволяє визначити - координату точки падіння тіла

м. (16)

Тоді з (12) та (14) знаходимо компоненти швидкості тіла в момент падіння:

= 7,8 м/с,

м/с,

що дозволяє визначити модуль швидкості в точці падіння

м/с (17)

та кут з горизонтом (дивись рис. 2.1)

,

що дає = 46º.

Відповідь: = 5,25 м, м/с, м, м, м/с,
= 46º.

Задача ДТ.2. Визначення параметрів закону руху
матеріальної точки, на яку діють сталі сили, шляхом інтегрування диференціальних рівнянь

Варіанти 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28: Мотоцикл під дією сталої сили піднімається с по ділянці довжиною , яка складає з горизонтом кут (рис. 2.2). Мотоцикл має в точці швидкість . В точці він досягає швидкості , перелітає через рів шириною і через с приземляється в точці , маючи швидкість . Маса мотоцикла з мотоциклістом .

При розв’язку задачі мотоцикл з мотоциклістом вважати матеріальною точкою, нехтувати тертям кочення та силою опору повітря. Згідно з варіантом знайти невідомі параметри.

Варіант № 1. Дано: = 30°; = 400 кг; =3,2 кН; = 0; = 40 м;
= 15 м. Знайти та .

Варіант № 4. Дано: = 20°; 0; = 40 м; = 0; = 15 м/с;
= 20 м. Знайти та .

Варіант № 7. Дано: = 25°; = 0; = 2,6 кН; = 50 м; = 7 м;
= 18 м. Знайти та .

Варіант № 10. Дано: = 30°; = 0; = 40 м; = 14,5 м/с; = 8 м. Знайти та .

Варіант № 13. Дано: = 35°; = 400 кг; = 0; = 7,0 с; = 13 м;
= 5 м. Знайти та .

Варіант № 16. Дано: = 25°; 0; = 0; = 4,0 с; = 19 м/с;
= 40 м. Знайти та .

Варіант № 19. Дано: = 20°; = 400 кг; = 4,0 кН; = 45 м;
= 25 м/с; = 8 м. Знайти та .

Варіант № 22. Дано: = 25°; = 300 кг; = 0; = 20 с; = 16 м;
= 7 м. Знайти та .

Варіант № 25. Дано: = 30°; = 350 кг; = 2,6 кН; = 0; = 45 м;
= 12 м. Знайти та .

Варіант № 28. Дано: = 30°; = 400 кг; = 0; = 3,0 кН; = 43 м;
= 7 м. Знайти та .

Варіанти 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29: Тіло рухається з точки по ділянці довжиною , яка складає з горизонтом кут . Його початкова швидкість , а коефіцієнт тертя ковзання на ділянці дорівнює (рис. 2.3). Через с в точці воно покидає похилу площину зі швидкістю і падає на горизонтальну площину в точці , маючи швидкість , перебуваючи в повітрі с.

При розв’язку задачі тіло вважати матеріальною точкою масою та нехтувати силою опору повітря. Згідно з варіантом знайти невідомі параметри.

Варіант № 2. Дано: = 0;
= 30°; = 0,2; = 6 м; = 4,5 м. Знайти та .

Варіант № 5. Дано: = 25°; = 0,15; = 1,3 м/с; = 1,5 с; = 14,5 м. Знайти та .

Варіант № 8. Дано: = 0; = 0; = 9,81 м; = 2 с; = 20 м. Знайти та .

Варіант № 11. Дано: = 0; = 45°; = 10 м; = 2 с. Знайти та рівняння траєкторії на ділянці .

Варіант № 14. Дано: = 1,0; = 30°; = 0,1; = 10 м; = 11,7 м. Знайти та .

Варіант № 17. Дано: = 30°; = 0,15; = 1,3 м/с; = 2,0 с; =
= 14,7 м. Знайти та .

Варіант № 20. Дано: = 0; = 45°; = 10 м; = 2 с: = 10 м.. Знайти та .

Варіант № 23. Дано: = 0; = 0; = 5,5 м; = 1,5 с; = 1,2 с. Знайти та .

Варіант № 26. Дано: = 0; = 30°; = 0,2; = 10 м; = 12 м. Знайти та .

Варіант № 29. Дано: = 0; = 30°; = 0,15; = 16 м; = 16 м. Знайти та .

 

Варіанти 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30: Лижник, опускаючись з вершини трампліна та підходить до точки його ділянки зі швидкістю (рис. 2.4). Коефіцієнт тертя ковзання на ділянці дорівнює , а кут нахилу ділянки до горизонту . Лижник від до рухається с і в точці зі швидкістю він покидає ділянку трампліна. Через с лижник приземляється зі швидкість в точці гори, яка складає кут з горизонтом.

При розв’язку задачі тіло вважати матеріальною точкою масою та нехтувати силою опору повітря. Згідно з варіантом знайти невідомі параметри.

Варіант № 3. Дано: = 20°; = 0,1; = 16 м/с; = 5 м; = 45°. Знайти та .

Варіант № 6. Дано: = 15°; = 0,15; = 0,2 с; = 10 м;
= 30°. Знайти та .

Варіант № 9. Дано: = 16,5 м/с; = 0,1; = 0,3 с; = 15 м/с;
= 45°. Знайти та .

Варіант № 12. Дано: = 15°; = 0; = 12 м/с; = 50 м; = 60°. Знайти та рівняння траєкторії лижника на ділянці .

Варіант № 15. Дано: = 15°; = 0,3 с; = 0,1; = 42 м; = 30°. Знайти та .

Варіант № 18. Дано: = 20°; = 0,1; = 0,2 с; = 25 м; = 30°. Знайти та .

Варіант № 21. Дано: = 15°; = 0,1; = 16 м/с; = 5 м; = 45°. Знайти та .

Варіант № 24. Дано: = 16 м/с; = 0,15; = 0,3 с; = 15 м/с;
= 30°. Знайти та .

Варіант № 27. Дано: = 15°; = 8 м; = 0,1; = 30 м; = 60°. Знайти та .

Варіант № 30. Дано: =15°; = 0; = 15 м/с; = 35 м; = 45°. Знайти та .

§ 3. Обернена задача динаміки. Визначення закону руху
матеріальної точки, на яку діють змінні сили