Приклад 2. Розрахунок сил інерції.

Точка рухається вздовж обруча за законом (см), а рівняння обертального руху обруча (рад). Знайти значення сил інерції, що діють на точку М у заданий момент часу = 2 c (рис. 4.6), якщо радіус обруча R = 30 см, а маса точки = 0,5 кг.

Розв’язання. Нерухому систему відліку жорстко зв’яжемо з поверхнею Землі і вважаємо її інерціальною. Введемо рухому декартову систему координат , спрямувавши вісь вздовж осі обертання догори а вісь до нас (рис. 4.7).

Оскільки рухома система здійснює обертальний рух навколо фіксованої осі, то для переносної сили інерції маємо

.

Для обчислення записаних величин, знаходимо положення точки М на обручі

см,

отже точка М знаходиться у верхній частині обруча, а кут = (рис. 4.7)

Для визначення величин відцентрової та обертальної сил інерції, знайдемо кутову швидкість та кутове прискорення обертального руху обруча за формулами:

,

,

які для = 2 c дають:

= – 5 рад/с, = – 12 рад/с².

Оскільки 26 см, то для модулів відцентрової та обертальної сил інерції знаходимо:

= 3,25 Н,

= 1,56 Н,

а напрями сил інерції: відцентрової (вздовж осі ) та обертальної (проти напряму осі х) зображаємо на рис. 4.7.

Оскільки точка рухається по обручу, який здійснює обертальний рух, то виникає сила інерції Коріоліса

= .

Модуль відносної швидкості знайдемо, якщо візьмемо похідну від за часом

,

що в заданий момент часу t ₁= 2 c дає = 0,071 м/c, а напрям відносної швидкості співпадає з дотичною до траєкторії відносного руху механізму в точці М (рис. 4.7).

Модуль сили інерції Коріоліса знаходимо з виразу

.

Кут між та становить 150°, отже

ï ï = 2 · 0,5 · 5 · 0,071 · 0,5 = 0,18 Н.

Напрям вектора сили інерції Коріоліса визначається за правилом векторного добутку векторів , тому вектор перпендикулярний до векторів кутової переносної швидкості та відносної лінійної швидкості і спрямований перпендикулярно площині рисунку (рис.4.7) до нас (вздовж осі х).

Відповідь: = 3,25 Н і спрямована вздовж осі ; =1,56 Н і спрямована проти напряму осі ; = 0,18 Н і спрямована вздовж осі .

Задача ДТ.4. Знаходження сил інерції

Точка , маса якої , рухається відносно тіла (рис. 1 – 16) згідно рівняння: . В початковий момент часу точка М знаходилась у точці О, а положення точки М на рисунку задає додатній напрям відносного переміщення точки. Рівняння переносного руху тіла: .

Визначити сили інерції та зобразити їх на рисунку. Записати рівняння відносного руху точки .

Дані наведені в таблиці ДТ.4.

1	2
7
	12
	14
15	16

 

Таблиця ДТ.4 – вихідні дані для задачі ДТ.4

№	Рис.	, см	, кг	, рад	, с	, см	, см	, °
			0,5		3/4		-	-
			1,0			-	-
			1,5					-
			2,0					-
			0,5			-
			1,0			-	-
			1,5		1/2		-	-
			2,0				-	-
			0,5		2/3	-
			1,0		1/2	-	-
			1,5		1/2			-
			2,0				-	-
			0,5			-		-
			1,0			-
			1,5				-	-
			2,0				-	-
			0,5		5/3		-	-
			1,0			-	-
			1,5					-
			2,0		1/2			-
			0,5			-
			1,0		1/4	-	-
			1,5				-	-
			2,0				-	-
			0,5		1/4	-
			1,0		3/2	-	-

 

Закінчення таблиці ДТ.4

№	Рис.	, см	, кг	, рад	, с	, см	, см	, °
			1,5					-
			2,0				-	-
			0,5			-		-
			1,0			-

 

Механічні коливання

а) Вільні незгасаючі коливання з одним ступенем свободи

Малі коливання, які здійснює матеріальна точка масою під дією лише квазіупружної сили називаються вільними (власними) незгасаючими. Такі одномірні коливання, наприклад, вздовж осі , описуються диференціальним рівнянням

,

з початковими умовами: = 0: та , чи

= 0, (5.1)

де – кругова частота коливань, – коефіцієнт жорсткості пружини, а відлік осі починається в точці, яка відповідає положенню рівноваги.

Зауважимо, що дія сталої сили на точку, яка здійснює коливання, змінює лише положення рівноваги, тобто точку, відносно якої здійснюються коливання, але не змінює рівняння коливань. Тому дія на точку сталої сили не впливає на результат розв’язку рівняння.

Характеристичне рівняння для однорідного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами (5.1) має вигляд

= 0. (5.2)

Корені цього рівняння чисто уявні (, ), тому загальний розв’язок рівняння (5.1) набуває вигляду

,

в якому та – сталі інтегрування.

Це рівняння, за допомогою перетворень Ейлера зводиться до вигляду

, (5.3)

в якому сталі коефіцієнти та визначаються з початкових умов як:

, .

Рівняння (5.3), в свою чергу, зводиться до однієї гармонічної функції

. (5.4)

Коливання, які здійснюються за законом (5.3) чи (5.4) називаються гармонічними, але закон (5.4) аналізувати значно легше, ніж (5.3). Величина вказує найбільше відхилення точки від положення рівноваги і називається амплітудою коливань, величина ­– фазою коливань, а – початковою фазою коливань.

Сталі інтегрування та знаходять з початкових умов:

, (5.5)

. (5.6)

Звернемо увагу, що при визначенні початкової фази

, ( = 0; 1), (5.7)

і необхідно знайти значення при яких задовольняються початкові умови.

Контрольні запитання

1. Сформулюйте умови виникнення коливань.

2. Як спрямована сила, що викликає гармонічні коливання? Чи існують в природі такі сили? Наведіть приклади.

3. Запишіть диференціальне рівняння коливального руху. Що необхідно знати для однозначного розв’язку такого рівняння?

4. Як отримати розв’язок такого рівняння?

5. Запишіть розв’язок диференціального рівняння коливального руху. Що таке період та амплітуда коливань?

6. Від чого залежить період (частота) коливань та амплітуда коливань?

7. Як впливає стала сила, що діє на матеріальну точку, на її коливання?

Методика розв’язання задач

1. Визначити ефективний коефіцієнт жорсткості пружин.

2. Визначити положення рівноваги тіла.

3. Записати диференціальне рівняння руху та скласти відповідне характеристичне рівняння.

4. Розв’язати характеристичне рівняння та проаналізувати його корені.

5. Скористатися перетворенням Ейлера та визначити гармонічну функцію.

6. Знайти сталі інтегрування, користуючись початковими умовами.

Приклад. Тіло масою = 0,5 кг прикріплено до двох з’єднаних паралельно недеформованих пружинах жорсткістю = 60Н/м та = 140 Н/м (рис. 5.1) і знаходиться на похилій площині під кутом 45º до горизонту. Точка закріплення тіла ділить відстань між пружинами у відношенні обернено пропорційно жорсткостям пружин. Знайти: 1) положення рівноваги, відносно якого мають місце коливання; 2) записати диференціальне рівняння вільних незгасаючих коливань та розв’язати його для початкових умов = 0,1 м,
= – 2,0 м/с; 3) визначити частоту , початкову фазу та амплітуду таких коливань. Побудувати графік коливань.

Розв’язання. Перш за все, знайдемо ефективний коефіцієнт жорсткості . При паралельному з’єднанні пружин (коли точка закріплення ділить відстань між пружинами у відношенні обернено пропорційно їх жорсткостям) величина деформації кожної пружини однакова , а сумарна сила розтягу двох пружин є сумою сил деформації кожної пружини

,

тому ефективна жорсткість системи дорівнює сумі жорсткостей пружин

= 200 Н/м.

Проведемо вісь вздовж похилої площини з початком у точці закріплення тіла (рис. 5.1). Положення рівноваги визначимо з умови рівності сили пружності і проекції сили тяжіння на похилу площину 45º, тобто з рівняння

45º,

звідки отримаємо

= 0,018 м = 1,8 см..

Відносно цього положення, яке в подальшому вважаємо початком відліку х – координати,. будуть здійснюватися коливання.

Запишемо диференціальне рівняння вільних незгасаючих коливань відносно нового положення рівноваги

, (1)

або

.

Кругова частота коливань визначається жорсткістю системи пружин та масою тіла, і в нашому прикладі

= 20 рад/с.

Розв’язок диференціального рівняння коливань запишемо в вигляді

= , (2)

що для швидкості точки дає

. (3)

Підставимо початкові умови в ці вирази та отримаємо рівняння для визначення амплітуди та початкової фази коливань:

, . (4)

Якщо піднести ці вирази до другого ступеня та скласти, то можна отримати вираз для амплітуди, а якщо поділити – то вираз для початкової фази:

= = 0,14 м, (5)

= 0,1·20/(– 2,0) = –1.

З останнього рівняння отримаємо

(–1) = – рад. (6)

Підстановка знайдених значень = 0,14 і = – в (2) та (3) при
= 0 не відповідає початковим умовам та . Тому, з урахуванням властивостей тангенса, треба додати до знайденого значення початкової фази - період тангенса. Тоді

= 2,356 рад.

Тепер початкові умови зараз задовольняються:

= 0,1 м = ,

= –2,0 м/с =
= ,

і розв’язок рівняння вільних незгасаючих коливань остаточно приймає вигляд

м.

Графік коливань представлений на рис. 5.2.

Відповідь: = 0,018 м,
= 20 рад/с, рад,
= 0,14 м, м.

б) Вільні згасаючі коливання з одним ступенем свободи

Розглянемо одномірний рух тіла вздовж вісі у в’язкому середовищі (рідині або газі). При незначних швидкостях руху тіла сила опору пропорційна швидкості, тобто

, (5.8)

тут – коефіцієнт опору середовища. Тоді диференціальне рівняння згасаючих коливань буде мати вигляд

, (5.9)

в якому:

, . (5.10)

Коефіцієнт називається відносним коефіцієнтом демпферування коливань. Зауважимо, що розмірності та однакові (с^–1), що дозволяє порівнювати їх між собою. Диференціальному рівнянню другого порядку (5.9) відповідає характеристичне рівняння

, (5.11)

корені якого мають вигляд

. (5.12)

Співвідношення між коефіцієнтом демпфірування та власною круговою частотою коливань визначають характер руху тіла. Розглянемо випадок
< , який відповідає незначним силам тертя в порівнянні з середнім значенням пружної сили. Тоді корені характеристичного рівняння будуть комплексними

, (5.13)

де

, (5.14)

визначає кругову частоту коливань. Дійсна частина коренів (5.13) від’ємна, тому загальний розв’язок рівняння (5.9) буде мати вигляд

, (5.15)

де та – сталі інтегрування. За допомогою перетворень Ейлера (5.15) можна звести до вигляду

. (5.16)

Початкові амплітуда та фаза визначаються початковими умовами і ми знаходимо їх аналогічно тому, як для вільних коливань:

, (5.17)

, = 0; 1. (5.18)

Коливання, що відбуваються за законом (5.16) називаються згасаючими, бо присутність коефіцієнта при амплітуді коливань зумовлює поступове зменшення максимального відхилення тіла від положення рівноваги з плином часу і до зникнення коливань. Отже рух точки можна розглядати як гармонічне коливання з круговою частотою та амплітудою , яка змінюється за законом

. (5.19)

Таким чином, після кожного періоду часу , послідовні відхилення від положення рівноваги створюють геометричну прогресію зі знаменником , який називається декрементом згасання, а величина

(5.20)

називається логарифмічним декрементом згасаючих коливань.

В випадку > корені характеристичного рівняння (5.11) та будуть дійсними та від’ємними, а точка буде здійснювати аперіодичний згасаючий рух за законом

, (5.21)

в якому сталі та визначаються початковими умовами. Графіки залежності зміщення при > для різних комбінацій початкових умов приведені на рис. 5.3.

Зауважимо, що явище аперіодичного руху використовується в демпферних пристроях.

Контрольні запитання

1. Сформулюйте умови виникнення згасаючих коливань.

2. Запишіть диференціальне рівняння вільних згасаючих коливань. Що необхідно знати для однозначного розв’язку такого рівняння?

3. Як отримати розв’язок такого рівняння?

4. Запишіть розв’язок диференціального рівняння вільних згасаючих коливань.

5. Що таке амплітуда коливань? За яким законом змінюється амплітуда коливань? Що визначає декремент згасання?

6. Від чого залежить період (частота) коливань? Як впливає сили тертя на частоту (період) коливань?

7. Коли виникають аперіодичні коливання? Яке застосування таких процесів Ви знаєте?