Методика розв’язання прямої задачі динаміки

РОЗДІЛ ІІІ. ДИНАМІКА

Динаміка є частиною теоретичної механіки, в якій вивчається рух тіл як результат їх взаємодії. Основи динаміки були закладені Ньютоном, який узагальнив накопичені до нього досліди по руху тіл і сформулював три основні закони механіки, які відомі з курсу фізики.

Динаміку розділяють на дві частини: динаміку матеріальної точки, де вивчають рух тіла, розмірами якого можна нехтувати в конкретній задачі та динаміку механічної системи – сукупності матеріальних точок, положення та рух кожної з яких залежить від положення та руху усіх останніх.

ЧАСТИНА І. ДИНАМІКА ТОЧКИ

Пряма задача динаміки

Пряма (перша) задача динаміки – визначити рівнодійну сил , що діють на матеріальну точку, якщо відома її маса та закон руху.

1. Якщо закон руху матеріальної точки задано векторним способом

, (1.1)

який еквівалентний трьом скалярним рівнянням:

, , , (1.2)

то задача розв’язується однозначно шляхом подвійного диференціювання рівнянь руху.

Дійсно, швидкість визначиться як перша похідна закону руху за часом , а прискорення – як друга похідна . Тоді для визначення сили отримаємо

. (1.3)

2. Якщо закон руху матеріальної точки масою задано у натуральній формі , то задача розв’язується однозначно шляхом диференціювання закону руху.

Дійсно, визначивши та , можна знайти проекції рівнодійної сили , що діють на точку (рис. 1.1), на натуральні вісі (дотичну , головну нормаль та бінормаль ) з наступних рівнянь:

, (1.4)

,

(тут - радіус кривизни траєкторії).

З останнього рівняння випливає, що сила , під дією якої рухається матеріальна точка, лежить в стичній площині, яка дотична до траєкторії точки. Модуль сили та її напрям (кут з дотичною до траєкторії руху – рис. 1.1) знаходимо з формул:

, (1.5)

. (1.6)

Контрольні запитання

1. Сформулюйте перший закон Ньютона. Наведіть приклади.

2. Які системи відліку називаються інерціальними?

3. Сформулюйте принцип відносності Галілея.

4. Яка фізична величина є мірою інертності тіла?

5. Якою фізичною величиною характеризується зміна стану спокою або руху тіла зі сталою швидкістю?

6. Сформулюйте другий закон Ньютона.

7. Сформулюйте третій закон Ньютона.

8. Сформулюйте першу задачу динаміки. Як вона розв’язується коли закон руху матеріальної точки задано векторним (координатним) способом?

9. Як розв’язується перша задача динаміки коли рівняння руху матеріальної точки задано у натуральній формі?

Методика розв’язання задач

1. Визначити з умов задачі яке з тіл є переносником, а яке рухається по ньому.

2. Умовно зупинити рух переносника та визначити особливості траєкторії відносного руху, положення рухомого тіла та його швидкість в даний момент часу.

3. Умовно зупинити відносний рух тіла в заданий момент часу та визначити особливості траєкторії переносного руху, прискорення тієї точки переносника, в якій знаходиться рухоме тіло в даний момент часу, та відповідні складові сил інерції.

4. Якщо ≠ 0 та ≠ 0, визначити силу інерції Коріоліса.

5. За правилами складання векторів визначити силу інерції.

6. Записати рівняння відносного руху точки та знайти його розв’язок.

Приклад 1. Горизонтальна трубка починає обертатися навколо вертикальної осі (рис. 4.3) за законом (рад). Одночасно механізм М масою = 0,2 кг починає рух вздовж трубки за законом відносного руху
= ОМ = (см). Вважаючи механізм матеріальною точкою, визначити сили інерції, які діють на нього на момент часу = 2 c та зобразити їх на рисунку. Записати рівняння відносного руху матеріальної точки М.

В цей момент двигун механізму відключають, а момент зовнішніх сил забезпечує рівномірне обертання системи (трубка та механізм) з досягнутим значенням кутової швидкості. Знайти закон руху механізму по трубі, нехтуючи силами тертя.

Розв’язання. Рівняння відносного руху механізму

, (1)

в якому - сила тяги механізму. В даному випадку сили інерції, що діють на механізм в неінерціальній системі, зумовлені як обертальним рухом трубки, так і відносним рухом точки по ньому. Таким чином, при визначенні сил інерції спочатку враховуємо дві складові, які пов’язані з обертанням трубки

, (2)

та силу інерції Коріоліса

. (3)

Отже рівняння (1) приймає вигляд

. (4)

Для знаходження сил інерції, згідно рівнянням (3) та (4), нам треба визначити положення механізму (тобто знайти ), його відносну швидкість , кутову швидкість та кутове прискорення обертання трубки .

Знайдемо положення механізму М в трубці в даний момент часу, підставляючи цей час в рівняння його відносного руху

= ОМ = 4·2² = 16 см.

Таким чином, вектор відносного положення механізму М спрямований вздовж трубки та має модуль 16 см (рис. 4.4 а – вид на горизонтальну площину, рис. 4.4 б - вид на фронтальну площину).

Знайдемо відносну швидкість механізму М як першу похідну від рівняння відносного руху за часом

= = .

Для моменту часу = 2 с отримаємо v_r = 16 см/с і зображаємо на рис. 4.4 а, б.

Кутову швидкість обертального руху диску знайдемо як першу похідну кута повороту диска за часом

= ,

і, підставляючи = 2 с, отримуємо

= 3·2² – 8·2 = – 4 рад/с.

Від’ємне значення кутової швидкості означає, що обертання трубки здійснюється за рухом стрілки годинника і вектор кутової швидкості напрямлений від нас перпендикулярно площині рисунка, що зображено на рис 4.4 а, б.

Кутове прискорення обертального (переносного) руху ε _е знайдемо як похідну по часу від кутової швидкості

= ,

що, після підстановки вказаного моменту часу, дає

= 4 рад/с².

Додатне значення кутового прискорення вказує, що вектор кутового прискорення диску напрямлений до нас перпендикулярно площині рисунка (див. рис. 4.4), тобто швидкість обертання на даний момент часу сповільнюється.

Визначаємо модулі всіх сил інерції. Оскільки , , та , послідовно знайдемо модуль обертальної сили інерції

= 0,2·4·0,16 = 0,128 Н, (5)

модуль відцентрової сили

= 0,2·4²·0,16 = 0,512 Н, (6)

та модуль сили інерції Коріоліса

= 2·0,2·4·0,16·1 = 0,256 Н. (7)

Напрями всіх сил інерції визначимо за правилами визначення напряму вектора при векторному добутку складових та вкажемо їх на рис. 4.4.

Запишемо тепер рівняння (4), яке описує відносний рух механізму у наступні моменти часу. Оскільки на механізм сила тяги перестала діяти, тобто = 0, а рух точки здійснюється лише вздовж прямої , то рівняння (4) відносного руху в проекції на вісь (рис. 4.5) набуває вигляду

.

Розв’язуємо дане диференціальне рівняння де кутова швидкість стала і дорівнює = 4 рад/с з початковими умовами для нового початку відліку часу (t = 0 c): = 16 см та = 16 см/с.

Складаємо характеристичне рівняння:

= 0.

Корені цього рівняння будуть , тому загальний розв’язок рівняння буде мати вигляд

.

Сталі інтегрування та знаходимо з початкових умов: спочатку визначимо швидкість точки

,

тоді отримуємо маємо систему рівнянь:

,

,

звідки знаходимо:

, ,

що з врахуванням умов задачі дає:

= 0,1 м, = 0,06 м.

Отже

м.

Відповідь: у момент часу = 2 с: = 0,128 Н, = 0,512 Н,
= 0,256 Н; після цього (з новим відліком часу) точка рухається за законом м.

Механічні коливання

а) Вільні незгасаючі коливання з одним ступенем свободи

Малі коливання, які здійснює матеріальна точка масою під дією лише квазіупружної сили називаються вільними (власними) незгасаючими. Такі одномірні коливання, наприклад, вздовж осі , описуються диференціальним рівнянням

,

з початковими умовами: = 0: та , чи

= 0, (5.1)

де – кругова частота коливань, – коефіцієнт жорсткості пружини, а відлік осі починається в точці, яка відповідає положенню рівноваги.

Зауважимо, що дія сталої сили на точку, яка здійснює коливання, змінює лише положення рівноваги, тобто точку, відносно якої здійснюються коливання, але не змінює рівняння коливань. Тому дія на точку сталої сили не впливає на результат розв’язку рівняння.

Характеристичне рівняння для однорідного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами (5.1) має вигляд

= 0. (5.2)

Корені цього рівняння чисто уявні (, ), тому загальний розв’язок рівняння (5.1) набуває вигляду

,

в якому та – сталі інтегрування.

Це рівняння, за допомогою перетворень Ейлера зводиться до вигляду

, (5.3)

в якому сталі коефіцієнти та визначаються з початкових умов як:

, .

Рівняння (5.3), в свою чергу, зводиться до однієї гармонічної функції

. (5.4)

Коливання, які здійснюються за законом (5.3) чи (5.4) називаються гармонічними, але закон (5.4) аналізувати значно легше, ніж (5.3). Величина вказує найбільше відхилення точки від положення рівноваги і називається амплітудою коливань, величина ­– фазою коливань, а – початковою фазою коливань.

Сталі інтегрування та знаходять з початкових умов:

, (5.5)

. (5.6)

Звернемо увагу, що при визначенні початкової фази

, ( = 0; 1), (5.7)

і необхідно знайти значення при яких задовольняються початкові умови.

Контрольні запитання

1. Сформулюйте умови виникнення коливань.

2. Як спрямована сила, що викликає гармонічні коливання? Чи існують в природі такі сили? Наведіть приклади.

3. Запишіть диференціальне рівняння коливального руху. Що необхідно знати для однозначного розв’язку такого рівняння?

4. Як отримати розв’язок такого рівняння?

5. Запишіть розв’язок диференціального рівняння коливального руху. Що таке період та амплітуда коливань?

6. Від чого залежить період (частота) коливань та амплітуда коливань?

7. Як впливає стала сила, що діє на матеріальну точку, на її коливання?

Методика розв’язання задач

1. Визначити ефективний коефіцієнт жорсткості пружин.

2. Визначити положення рівноваги тіла.

3. Записати диференціальне рівняння руху та скласти відповідне характеристичне рівняння.

4. Розв’язати характеристичне рівняння та проаналізувати його корені.

5. Скористатися перетворенням Ейлера та визначити гармонічну функцію.

6. Знайти сталі інтегрування, користуючись початковими умовами.

Приклад. Тіло масою = 0,5 кг прикріплено до двох з’єднаних паралельно недеформованих пружинах жорсткістю = 60Н/м та = 140 Н/м (рис. 5.1) і знаходиться на похилій площині під кутом 45º до горизонту. Точка закріплення тіла ділить відстань між пружинами у відношенні обернено пропорційно жорсткостям пружин. Знайти: 1) положення рівноваги, відносно якого мають місце коливання; 2) записати диференціальне рівняння вільних незгасаючих коливань та розв’язати його для початкових умов = 0,1 м,
= – 2,0 м/с; 3) визначити частоту , початкову фазу та амплітуду таких коливань. Побудувати графік коливань.

Розв’язання. Перш за все, знайдемо ефективний коефіцієнт жорсткості . При паралельному з’єднанні пружин (коли точка закріплення ділить відстань між пружинами у відношенні обернено пропорційно їх жорсткостям) величина деформації кожної пружини однакова , а сумарна сила розтягу двох пружин є сумою сил деформації кожної пружини

,

тому ефективна жорсткість системи дорівнює сумі жорсткостей пружин

= 200 Н/м.

Проведемо вісь вздовж похилої площини з початком у точці закріплення тіла (рис. 5.1). Положення рівноваги визначимо з умови рівності сили пружності і проекції сили тяжіння на похилу площину 45º, тобто з рівняння

45º,

звідки отримаємо

= 0,018 м = 1,8 см..

Відносно цього положення, яке в подальшому вважаємо початком відліку х – координати,. будуть здійснюватися коливання.

Запишемо диференціальне рівняння вільних незгасаючих коливань відносно нового положення рівноваги

, (1)

або

.

Кругова частота коливань визначається жорсткістю системи пружин та масою тіла, і в нашому прикладі

= 20 рад/с.

Розв’язок диференціального рівняння коливань запишемо в вигляді

= , (2)

що для швидкості точки дає

. (3)

Підставимо початкові умови в ці вирази та отримаємо рівняння для визначення амплітуди та початкової фази коливань:

, . (4)

Якщо піднести ці вирази до другого ступеня та скласти, то можна отримати вираз для амплітуди, а якщо поділити – то вираз для початкової фази:

= = 0,14 м, (5)

= 0,1·20/(– 2,0) = –1.

З останнього рівняння отримаємо

(–1) = – рад. (6)

Підстановка знайдених значень = 0,14 і = – в (2) та (3) при
= 0 не відповідає початковим умовам та . Тому, з урахуванням властивостей тангенса, треба додати до знайденого значення початкової фази - період тангенса. Тоді

= 2,356 рад.

Тепер початкові умови зараз задовольняються:

= 0,1 м = ,

= –2,0 м/с =
= ,

і розв’язок рівняння вільних незгасаючих коливань остаточно приймає вигляд

м.

Графік коливань представлений на рис. 5.2.

Відповідь: = 0,018 м,
= 20 рад/с, рад,
= 0,14 м, м.

б) Вільні згасаючі коливання з одним ступенем свободи

Розглянемо одномірний рух тіла вздовж вісі у в’язкому середовищі (рідині або газі). При незначних швидкостях руху тіла сила опору пропорційна швидкості, тобто

, (5.8)

тут – коефіцієнт опору середовища. Тоді диференціальне рівняння згасаючих коливань буде мати вигляд

, (5.9)

в якому:

, . (5.10)

Коефіцієнт називається відносним коефіцієнтом демпферування коливань. Зауважимо, що розмірності та однакові (с^–1), що дозволяє порівнювати їх між собою. Диференціальному рівнянню другого порядку (5.9) відповідає характеристичне рівняння

, (5.11)

корені якого мають вигляд

. (5.12)

Співвідношення між коефіцієнтом демпфірування та власною круговою частотою коливань визначають характер руху тіла. Розглянемо випадок
< , який відповідає незначним силам тертя в порівнянні з середнім значенням пружної сили. Тоді корені характеристичного рівняння будуть комплексними

, (5.13)

де

, (5.14)

визначає кругову частоту коливань. Дійсна частина коренів (5.13) від’ємна, тому загальний розв’язок рівняння (5.9) буде мати вигляд

, (5.15)

де та – сталі інтегрування. За допомогою перетворень Ейлера (5.15) можна звести до вигляду

. (5.16)

Початкові амплітуда та фаза визначаються початковими умовами і ми знаходимо їх аналогічно тому, як для вільних коливань:

, (5.17)

, = 0; 1. (5.18)

Коливання, що відбуваються за законом (5.16) називаються згасаючими, бо присутність коефіцієнта при амплітуді коливань зумовлює поступове зменшення максимального відхилення тіла від положення рівноваги з плином часу і до зникнення коливань. Отже рух точки можна розглядати як гармонічне коливання з круговою частотою та амплітудою , яка змінюється за законом

. (5.19)

Таким чином, після кожного періоду часу , послідовні відхилення від положення рівноваги створюють геометричну прогресію зі знаменником , який називається декрементом згасання, а величина

(5.20)

називається логарифмічним декрементом згасаючих коливань.

В випадку > корені характеристичного рівняння (5.11) та будуть дійсними та від’ємними, а точка буде здійснювати аперіодичний згасаючий рух за законом

, (5.21)

в якому сталі та визначаються початковими умовами. Графіки залежності зміщення при > для різних комбінацій початкових умов приведені на рис. 5.3.

Зауважимо, що явище аперіодичного руху використовується в демпферних пристроях.

Контрольні запитання

1. Сформулюйте умови виникнення згасаючих коливань.

2. Запишіть диференціальне рівняння вільних згасаючих коливань. Що необхідно знати для однозначного розв’язку такого рівняння?

3. Як отримати розв’язок такого рівняння?

4. Запишіть розв’язок диференціального рівняння вільних згасаючих коливань.

5. Що таке амплітуда коливань? За яким законом змінюється амплітуда коливань? Що визначає декремент згасання?

6. Від чого залежить період (частота) коливань? Як впливає сили тертя на частоту (період) коливань?

7. Коли виникають аперіодичні коливання? Яке застосування таких процесів Ви знаєте?

РОЗДІЛ ІІІ. ДИНАМІКА

Динаміка є частиною теоретичної механіки, в якій вивчається рух тіл як результат їх взаємодії. Основи динаміки були закладені Ньютоном, який узагальнив накопичені до нього досліди по руху тіл і сформулював три основні закони механіки, які відомі з курсу фізики.

Динаміку розділяють на дві частини: динаміку матеріальної точки, де вивчають рух тіла, розмірами якого можна нехтувати в конкретній задачі та динаміку механічної системи – сукупності матеріальних точок, положення та рух кожної з яких залежить від положення та руху усіх останніх.

ЧАСТИНА І. ДИНАМІКА ТОЧКИ

Пряма задача динаміки

Пряма (перша) задача динаміки – визначити рівнодійну сил , що діють на матеріальну точку, якщо відома її маса та закон руху.

1. Якщо закон руху матеріальної точки задано векторним способом

, (1.1)

який еквівалентний трьом скалярним рівнянням:

, , , (1.2)

то задача розв’язується однозначно шляхом подвійного диференціювання рівнянь руху.

Дійсно, швидкість визначиться як перша похідна закону руху за часом , а прискорення – як друга похідна . Тоді для визначення сили отримаємо

. (1.3)

2. Якщо закон руху матеріальної точки масою задано у натуральній формі , то задача розв’язується однозначно шляхом диференціювання закону руху.

Дійсно, визначивши та , можна знайти проекції рівнодійної сили , що діють на точку (рис. 1.1), на натуральні вісі (дотичну , головну нормаль та бінормаль ) з наступних рівнянь:

, (1.4)

,

(тут - радіус кривизни траєкторії).

З останнього рівняння випливає, що сила , під дією якої рухається матеріальна точка, лежить в стичній площині, яка дотична до траєкторії точки. Модуль сили та її напрям (кут з дотичною до траєкторії руху – рис. 1.1) знаходимо з формул:

, (1.5)

. (1.6)

Контрольні запитання

1. Сформулюйте перший закон Ньютона. Наведіть приклади.

2. Які системи відліку називаються інерціальними?

3. Сформулюйте принцип відносності Галілея.

4. Яка фізична величина є мірою інертності тіла?

5. Якою фізичною величиною характеризується зміна стану спокою або руху тіла зі сталою швидкістю?

6. Сформулюйте другий закон Ньютона.

7. Сформулюйте третій закон Ньютона.

8. Сформулюйте першу задачу динаміки. Як вона розв’язується коли закон руху матеріальної точки задано векторним (координатним) способом?

9. Як розв’язується перша задача динаміки коли рівняння руху матеріальної точки задано у натуральній формі?

Методика розв’язання прямої задачі динаміки

1) Послідовно знаходимо першу та другу похідні закону руху за часом.

2) Використовуємо другий закон Ньютона і знаходимо силу за відомою масою точки.

Приклад 1. Визначення сили, коли заданий закон руху матеріальної точки.

Тіла масою 1 кг піднімається по похилій площині (рис. 1.2) під дією сили за законом (м). Знайти вираз для сили, яка забезпечує рух, якщо = 20°, = 30°, коефіцієнт тертя = 0,2. Визначити значення сили у момент часу = 2 с.

Розв’язання. До тіла прикладені зовнішня сила , вага , сила тертя та нормальна реакція (рис. 1.3). Нормальна реакція спрямована перпендикулярно похилій площині, а сила тертя в сторону протилежну руху тіла.

Запишемо диференціальне рівняння руху тіла

.

Введемо декартову систему координат, спрямувавши вісь паралельно похилій площині в напрямі руху, вісь – перпендикулярно до неї.

Спроектуємо попереднє векторне рівняння руху на декартові вісі:

, (1)

. (2)

З останнього рівняння знаходимо

, (3)

що дозволяє визначити силу тертя

. (4)

Знаходимо послідовно першу та другу похідну від закону руху

,

і підставляємо у диференціальне рівняння руху (1).

Тоді отримуємо з врахуванням (4)

.

З останнього знаходимо вираз для сили на будь-який момент часу

. (5)

Підставляючи дані задачі, знаходимо величину сили у момент часу
= 2 с.

Н.

Відповідь: = 8,3 Н.