Краевые задачи для эллиптических уравнений.

Рассмотрим ограниченную связную область с граничной поверхностью , охватывающей область . Пусть . В области зададим эллиптическое уравнение 2 порядка с достаточно гладкими коэффициентами: , (1) где .Пусть искомая функция на границе принимает заданные значения, то есть

,где - заданная функция на поверхности

Задача Дирихле( первая краевая задача ) в области , (2) ,(3) где – ограниченная область.

Требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (2) в области и граничному условию (3) на граничной поверхности .

Внутренняя задача Дирихле. вобласти , (4) , (5) где – ограниченная область. Решение называется классическим решением задачи (4.19), (4.20). ■

Теорема 1. Если решение задачи Дирихле (4), (5) существует, тогда оно единственно в пространстве

Доказательство. Пусть существуют два решения Образуем функцию Очевидно, что выполнены условия: в области , . (6)

Так как функция гармоническая в области , то для нее выполнен принцип максимума и минимума. Учитывая (6), получаем , . Следует в , значит ■

Теорема 2. Решение задачи Дирихле (4), (5), в предположении его существования в пространстве , непрерывно зависит от граничных функций .

Теорема Шаудера. Пусть в уравнении (1) коэффициенты , граничная поверхность , граничная функция . Пусть выполнено неравенство (2):

, тогда существует единственное решение задачи (1), (2) . ■

Из приведённых теорем следует, что в пространствах и задача Дирихле (1), (2) для уравнения Пуассона поставлена корректно.

Рассмотрим область \ , внешнюю по отношению к ограниченной области . Для бесконечной области поставим задачу Дирихле для уравнения Пуассона. Наложим условие при .

Внешняя задача Дирихле в . в области , (7) ,(8) при (9)

Требуется найти функцию , удовлетворяющую уравнению (7) в области , граничному условию (8) и равномерно стремится к нулю на бесконечности. Если опустить условие на бесконечности (9), тогда задача может иметь неединственное решение. Для внешней задачи Дирихле на плоскости условие (9) необходимо заменить на условие ограниченности решения в области .

Задача Неймана для уравнения Пуассона. Рассмотрим ограниченную область с границей . Для области поставим краевую задачу для уравнения Пуассона, когда на поверхности задана производная функции .

Внутренняя задача Неймана( вторая краевая задача ). в , ,(10) , ,(11) где - внешняя единичная нормаль к поверхности в точке .Требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (10) в области и граничному условию (11) на граничной поверхности области .

Теорема 3. Пусть функция является решением задачи (10), (11), тогда , (12)- является необходимым условием разрешимости задачи Неймана (10), (11).

Доказательство. Воспользуемся первой формулой Грина, рассмотрев в качестве функции решение задачи (10), (11) и положив . В результате

Учитывая равенства (10), (11), получаем соотношение (12). ■

Теорема 4. Если существует решение внутренней задачи Неймана (10), (11), тогда оно единственно с точностью до постоянного слагаемого.

Внешняя задача Неймана в . в области , (14) , (15) при . (16)

Теорема5. Если существует решение внешней задачи Неймана (12)-(14), тогда оно единственно в пространстве .