Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Классические решения простейших ДУ-ий с частными производнымиСтр 1 из 7Следующая ⇒
Классические решения простейших ДУ-ий с частными производными 1. Общее решение простейшего гиперболического уравнения на плоскости. Рассмотрим гиперболическое ДУ-ие. (1)., где функция Найдём её общее решение. Проинтегрируем уравнение (1) по x. В рез-те получаем, что , где С(у)-произвольная непрерывная функция переменной у. Далее интегрируя получаем ДУ по у, получаем, что . И теперь с учётом произвольности функции С(у) окончательно получаем общее решение ДУ (1) в виде (2), где и есть произвольно непрерывно дифференцируемые функции. На основании формулы (2) приходим у выводу, что ДУ (частный случай - при - ДУ-ия (1)) (3) имеет общее решение (4). ДУ-ие , (5), приводится к ДУ-ию (вида (3)) заменой , . Поэтому его общее решение определяет соотношением (6) 2. Нахождение решений уравнения Лапласа на плоскости. Полагая в ДУ-ии параметр а=i, где есть мнимая единица, получаем уравнение Лапласа (7). Пусть f(x) есть произвольная функция комплексного переменного z=x+iy на области . Выделим у неё действительную и мнимую части: f(z)=u(x,y)+iv(x,y). Известно, что ф-ции u(x,y) и v(x,y) удовлетворяют системе Коши Римана , а также каждая из них удовлетворяет уравнению Лапласа (7). Это даёт способ нахождения частных решений данного ДУ-ия. Пример 1. Рассмотрим аналитическую функцию комплексного переменного . Запишем комплексное число в виде , где . Тогда . В рез-те получаем такие решения уравнения Лапласа: , . Умножив функцию на числовой множитель , получим решение (8). Оно называется фундаментальным решением уравнения Лапласа (7). Непосредственными вычислениями проверяем, что уравнение Лапласа в трёхмерном случае (9) имеет решение . Оно также называется фундаментальным решением уравнения Лапласа (9).
Привидение к каноническому виду ДУ частных производных 2-го порядка Рассм. ДУ (1),где ф-ция f опр. на обл-ти , . Приведем его к канон.виду с помощью невырожд. линейной замены незав-ых переменных. Произведём замену: (2), где матр. явл. транспонир.по отношению к матр преобр-ия . Сначала выч-им производн: , , . После подст-ки в (1) получаем: , где .Поэтому кажд коэфф совпадает с соотв-им коэфф квадр формы. А это значит, что если квадр форма с пом.-ю преобр , то ДУ 7.1с пом-ю преобр 7.2 прив к канон виду: Прив примеры ДУ в канон виде при n=3:
1)Эллиптич ур-ия 2)Гиперб ур-ия: 3)Парабол ур-ия Примеры некорректно поставленных задач Коши 1)Зад. Коши для гиперб. ур-ния с нач. усл. на хар-ке. Рассм. зад. Коши: на (1) (2) где . Предпол., что зад. Коши (1), (2) имеем реш. , облад. непрер. смешанной произв. в области . Т.к. линия принадлежит области, то ДУ (1) должно выполн. на линии, т.е. . Учитывая второе условие (2), получ. необх. Усл. разрешимости зад. Коши (1), (2) . (3) Если усл. (3) не вып., то зад. (1), (2) не имеет решение. Построим реш. зад. Коши (1), (2), предполагая, что усл. (3) выполнено. Воспольз. общим реш. (5.2) ДУ (1), где ф-ции определим из начальных условий. Из 1-го нач. усл. получим, что . Положим . Тогда второго нач. усл. получ., что . Учитывая усл. разрешимости (3), получим соотношение . Т.о. произв. ф-ция удовл. усл. , . Общий вид такой функции , где произвольная функция , Т.о., получено реш. зад. Коши (1), (2) в виде: , к-рое не единственно в силу произвольности функции . В итоге приходипм к выводу, что задача Коши (1), (2) поставлена некорректно, т.к. не вып. 1-е или 2-е усл. корректности из опр. (10.2). 2)Зад. Коши для параболического уравн. с нач. усл. на хар-ке. Рассмотрим задачу Коши на , (4) , , (5) Предпол., что классич. реш. зад. (4), (5) сущ. для обл. . Т.к. линия принадл. данной обл., то ДУ (4) должно выпол. и на линии, т.е. . Третья смешанная задача. в области , (10) , , (11) , . (12) При постановке краевой задачи (10)-(12) на входящие в них функции должны быть наложены такие ограничения: , , , . Задача Штурма-Лиувилля Рассмотр. краевую задачу для обыкновенных ДУ 2-ого порядка: , , (1) , , (2) где - искомая функция, -числовой параметр, , , , . Очевидно, что задача (1), (2) всегда имеет тривиальное (нулевое) решение, то есть . Задача Штурма-Лиувилля состоит в том, чnобы найти такие числа , для которых существуют нетривиальные решения краевой задачи (1), (2). Числа называются собственными значениями, а соответствующие нетривиальные функции наз. собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля. Таким образом, задача (1), (2) сводится к отысканию всех собственных значений и всех собственных функций. Введем вспомогательный линейный оператор , называемый дифференциальным оператором Штурма-Лиувилля. Совокупность всех собственных значений называется спектром дифференциального оператора с граничными условиями (2). Задача (3.30), (3.31) содержит задачи трех родов:
первого рода: , , , ;второго рода: , , , ; третьего рода: , , . Теорема 1. Для задачи (1), (2) существует бесконечная последовательность собственных значений и соответствующая последовательность собственных функций , такая, что , , (4) , . Теорема 2. Каждому собственному значению соответствует только одна собственная функция с точностью до постоянного множителя. Теорема 3. Для собственных функций ,соответствующих различным собственным значениям задачи (1), (2), выполнены условия ортогональности с весом на отрезке : , где - символ Кронекера, - норма ф-ции . Теорема 4. Собственные значения задачи (1), (2) вещественны. Теорема 5. Все собственные значения задачи (1), (2) неотрицательны, то есть . Теорема 6. Собственное значение может иметь только задачу 2-ого рода . Классические решения простейших ДУ-ий с частными производными 1. Общее решение простейшего гиперболического уравнения на плоскости. Рассмотрим гиперболическое ДУ-ие. (1)., где функция Найдём её общее решение. Проинтегрируем уравнение (1) по x. В рез-те получаем, что , где С(у)-произвольная непрерывная функция переменной у. Далее интегрируя получаем ДУ по у, получаем, что . И теперь с учётом произвольности функции С(у) окончательно получаем общее решение ДУ (1) в виде (2), где и есть произвольно непрерывно дифференцируемые функции. На основании формулы (2) приходим у выводу, что ДУ (частный случай - при - ДУ-ия (1)) (3) имеет общее решение (4). ДУ-ие , (5), приводится к ДУ-ию (вида (3)) заменой , . Поэтому его общее решение определяет соотношением (6) 2. Нахождение решений уравнения Лапласа на плоскости. Полагая в ДУ-ии параметр а=i, где есть мнимая единица, получаем уравнение Лапласа (7). Пусть f(x) есть произвольная функция комплексного переменного z=x+iy на области . Выделим у неё действительную и мнимую части: f(z)=u(x,y)+iv(x,y). Известно, что ф-ции u(x,y) и v(x,y) удовлетворяют системе Коши Римана , а также каждая из них удовлетворяет уравнению Лапласа (7). Это даёт способ нахождения частных решений данного ДУ-ия. Пример 1. Рассмотрим аналитическую функцию комплексного переменного . Запишем комплексное число в виде , где . Тогда . В рез-те получаем такие решения уравнения Лапласа: , . Умножив функцию на числовой множитель , получим решение (8). Оно называется фундаментальным решением уравнения Лапласа (7). Непосредственными вычислениями проверяем, что уравнение Лапласа в трёхмерном случае (9) имеет решение . Оно также называется фундаментальным решением уравнения Лапласа (9).
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 199; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.93.59.171 (0.045 с.) |