Постановка смешанных задач для уравнения теплопроводности.

На плоскости R² c координатами X,t выделим область D= (0<x<l)X(0<t<+∞). На этой области рассм. ур. теплопроводности.

(19.1)Где u=u(x,t) есть искомая функция. Ур.(19.1) наз. также одномерным ур. теплопроводности. Первая смешанная задача для ур. теплопроводности имеет вид

(19.2)

(19.3)

, (19.4)

При данных функциях f,ϕ,µ₁,µ₂ требуется найти функцию найти функцию u которая удовлетворяет ДУ (19.2) начальному усл. (19.3) и граничными усл.(19.4)

Условие согласования в данном случае имеет вид

,

Задача (19.2)-(19.4) описывает процесс распрост. тепла в тонком стержне длины l, располож. вдоль отрезка (0<x<l). Функция u(x,t) задает температуру стержня в сечении x в момент времени t. Граничные условия (19.4) означают, что в торцах стержня x=0, x=l поддерживается заданная температура µ₁(t),µ₂(t) соответственно. Функция ϕ(x) в начальном условии (19.3) задает температуру стержня в каждом сечении X в начальный момент времени t=0. Вторая смешанная задача для ур. теплопроводности имеет вид

(19.5)

(19.6)

(19.7)

,

Условия (19.7)наз. граничными условиями 2-го рода. Условия соглас. в данном случае имеет вид:

Граничные условия(19.7) означают, что в торцах стержня x=0, x=l задан тепловой поток. Третья смешанная задача для ур. теплопроводности имеет вид

(19.8)

(19.9)

, (19.10)

Условие согласования имеет вид

,

Граничные условия(19.10) моделируют теплообмен стержня через торцы x=0, x=l с окружающей средой.

 

Решение методом разделения переменных первой смешанной задачи для однор. ур. теплопроводности.

Рассм. 1-ую смешанную задачу для однородного ур.

теплопроводности с однородными граничными условиями

(20.1)

(20.2)

, , (20.3)

Условия согласования в данном случае имеют вид ϕ(0)= ϕ(t)=0. Для решения задачи (20.1)- (20.3) применим метод разделения переменных. Будем искать решения ур.(20.1) в виде

(20.4)

Подставим выражение (20.4) в ур. (20.1) и разделив получим соотношения , где λ – постоянное разделение. В результате получим 2 обыкновенных ДУ.

(20.5)

(20.6)

Потребуем чтобы решения(20.4) удовлетв. граничным условиям (20.3).Подставив(20.4) в (20.3) получим

, (20.7) Таким обр. нами получена задача Штурма-Лиувиля (20.6), (20.7) совпад. с задачей Штурма-Лиувиля. Вычислим теперь T_n(t) положив в ДУ (20.5) λ=λ_n, в результате получим ДУ

Общее решение данного ДУ имеет вид , ,где А_n есть произв. постоянная. В результате мы получим бесконечную последовательность частных решений вида (20.4) ур. (20.1) удовлетв. граничным условиям (20.3)

(20.8)

Из этих решений составим общее решение в виде ряда

(20.9)

Вычислим А_n удовлетворяя начальному условию(20.2). Имеем

получаем, что , (20.10). Таким образом мы получим общее решение первой смешанной задачи (20.1)- (20.3) для ур. теплопроводности ряда (20.9) коэф. которого находятся по формулам(20.10).