Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Свойства гармонических функций
Свойство 1. Пусть u(x, y, z) - гармоническая функция в области D, тогда функция u любое число непрерывно дифференцируема по координатам x, y, z в области D, то есть . Доказательство. Не нарушая общности, можно считать, что . Воспользуемся интегральной формулой Грина и получим (1) где - внутренняя точка области D. докажем дифференцируемость ф-ции (1) в окрестности любой точки . Пусть - замкнутая шаровая область радиуса , описанная вокруг точки , . В подынтегральном выражении (1) ф-ция любое число раз непрерывно дифференцируема по координатам точки , т к , а расстояние . => всевозможные производные явл непрерывными ф-циями на мн-ве точек и . На основании соотвествующей теоремы из мат анализа выражение (1) дифференцируемо и имеет место формула . Из произвольности следует, что . Св-во 2. Теорема о нормальной производной. Пусть любя ф-ция и явл гармонической в обл D, тогда (2) Доказательство. Воспользуемся первой формулой Грина, где произвольная функция . Положим =1, тогда = 0; из условия теоремы. В результате формула Грина преобразуется к виду (2). ш Рассмотрим произвольную точку . Опишем вокруг точки М сферу радиуса а, такую, что замкнутый шар сферы целиком содержится внутри области D. Выведем формулу, выражающую значение гармонической функции в центре сферы, то есть в точке М, через значения на сфере Свойство 4.3. Теорема о среднем. Пусть - гармоническая функция в области D, тогда для и сферы. , , имеет место формула (3) Где = - площадь сферы. Доказательство. Рассмотрим интегральную формулу Грина для сферы , в качестве точки М центр сферы: Т к , то = а, = . В результате Учитывая соотношение (2) для поверхности Г= , получаем требуемую формулу (3). Свойство 4. Принцин максимума и минимума. Пусть и удовлетворяет в области D уравнению Лапласа . Тогда функция u достигает своего максимального и минимального значений на границе Г, то есть Доказательство. От противного. Пусть максимум функции и достигается в некоторой внутренней точке , то есть (4) Опишем вокруг точки сферу радиуса а, которая вместе со своим шаром принадлежит области D (см. рис.1)
Для сферы имеет место формула (3) из теоремы о среднем: или (5) где функция . в силу неравенства (4). Покажем, что =0 для . От противного, пусть существует точка такая, что w(Po) > 0. Функция w(P) непрерывная, поэтому существует окрестность U0 точки Р0, то есть , для которой w(Po) > 0 при . Поэтому
> 0 что противоречит условию (5). Таким образом, при . Так как радиус а произвольный, то будем его увеличивать до касания сферы с границей в точке Р*. В результате и(Р*) = и(м0), то есть максимум достигается в точке Р* на границе Г. Для минимума доказательство проводится аналогично. Следствие 1. Пусть функции и являются гармоническими в D. Если для , то для . Следствие 2. Пусть функции и являются гармоническими в D. Если , то Следствие 3. Пусть функции и являются гармоническими в D. Если , то . Следствие 4. Пусть функция и является гармонической в облает D. Если , для , то для .
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 206; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.205.159.48 (0.018 с.) |