Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
З-ча Коши для ур-ний с ч. п. ⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7
В обл. G Rn рассм. д.у. с ч.п. 2-го порядка (1) с достаточно гладкими коэфф. В прос-ве Rn зададим незамкнутую без самопересеч. пов-ть Г0, опред. ур-ем g(x)=0 (2) где g C2(G), и кроме того, grad g(x)≠0, x G. Обозначим через Г=Г0∩G, часть поверхн. расположена внутри обл. G. Будем предполагать, что обл. G представлена в виде G=G+∩Г∩G-, где G+∩G-= , а подобл. G+ и G- не имеют общ. точек с поверхностью Г. На поверхн. Г зададим два усл. на неизвест. ф-цию (3), где ϕ0(х) и ϕ1(х) есть задан. на пов-ти Г, n=(n1,…,nn) есть ед. нормаль к пов-ти Г, - произв. по направл. нормами n, котор. опред. выр-ние: (4). Усл. (3) наз. нач. усл. З-ча Коши для д.у. (1) сост. в след.: найти ф-цию u C2(G), удовл. на G д.у. (1) и нач. усл. (3). При этом ф-ция u, уд-я требов., наз. классич. реш. з-чи Коши. Можно пок-ть, что для всех произв. ф-ций ϕ0 и ϕ1такое реш. сущ. В прост. случае, когда пов-ть Г2 яв-ся пл-ю х11= , постановка з-чи (1),(3) упр-ся: L(u)=f(x) на обл. G, , (5), где x’=(x1,…,xn-1). Возможны и др. разновидности з-чи Коши: L(u)=f(x) на обл. G+, , (6). Преобр. з-чи Коши (1), (3). Для этого зафикс. т. х0 Г. Т.к. grad g=(gx1,…,gxn)≠0, на пов. Г, то одна из ч.п. gx≠0 в этой т. Для опр-ти будем полагать, что gxn(х0)≠0. На осн. теоремы о неявной ф-ции приходим к выводу, что сущ. такая окрестность u(х0) точки х0 в кот. ур-ние (2) однозн. разрешимо относ. перемен. хn. Тогда пов. Г в окр. u(х0) предст. в виде ур-ния: xn=F(x’) (7). В дальнейшем будем полаг., что окр. u(х0) совпад. со всей обл. G. Запишем з-чу Коши (1), (3) в случ. (7): L(u)=f(x) на обл. G, , (8), где ψj(x’)=ϕ(x’, F(x’)). Далее преобр. з-чу (8) примен. преобраз. y1=x1, yn-1=xn-1, t=g(x) (9). Преобразование (9) яв-ся невыр-м. Вычисл. первую ч.п. в д.у. (1) имеем: (10). Для 2-ой ч.п. имеем (11). Подст. (10) и (11) в д.у. (1) получими д.у. новых переменных где (12) дифф. оператор 2-го порядка по 1-му y=(y1,…,yn-1), C(y,t)=C(x1,…,xn-1,g(x))=f(x). (13). Если α(х)≠0 на обл. G, то разделив д.у. (12) на α, получим ур-ние типа Коши-Ковалевской с выд. перем. t: (14). Преобр. нач. усл. (3). Ур-ние (2) пов-ти Г с учётом замены (9) примет вид t=0. Поэтому 1-ое нач. усл. из (3) можно записать как (15). преобр. теперь 2-ое нач. усл., вычислив нор. произведение (4). После поделим ф-л (10) получим: (16). Добавив усл. (15) и (16) к д.у. (14), получ. постановку з-чи Коши (1),(3) в новых перем. на Ω (17) (18) где с наш. преобраз. (10) обл. G переходит в Ω. При этом поверх. Г предст. собой пл-ть многообр. ϒ на обл. Ω. Если пер. t интепретировать как время, то усл. (18) яв-ся усл. в нач. момент времени t=0. Усл. (3) наз. нач. усл. Т.о. если ф-ция (13) α(х)≠0 на обл. G, то з-ча Коши (1) и (3) преобр. в (17) и (18). Рассм. α(х)=0 во всем обл. G или в некотор. т. по-ти Г. В этом сл-е деление д.у (12) на α невозможно. Д.у. (12) вып. во всех т. обл. G в том числе и в т. пов-ти Г, т.к. каждая т. пов-ти Г яв-ся внутр. для G. В связи с этим расс. д.у. (12) на пов-ти Г при t=0: . Учитывая (19) и усл. (18) получ. необ-ое усл. разреш. з-чи Коши (1), (3): (20). Т.о если усл. (20) не вып. то з-ча Коши (1), (3) неразрешима. Усл (19) совп. с ур-нием хар-к (6.6). Поэтому вып. этого усл. означ., что пов-ть Г, опр-а ур-ние (2) яв-ся хар-кой пов. д.у. (1). Если же усл. (19) вып. в отдельных т. пов-ти Г, то это означ., что пов-ть Г в этих т. касается некоторой хар-кой пов-ти д.у. (1). В итоге мы пришли к выводу: если пов-ть Г на кот. заданы нач. усл. (3) совп. с хар-ой пов-ю д.у. (1) или кас. ее, то з-ча Коши (1), (3) требует учета доп. усл. разрешенности (20).
Теорема (Коши-Ковал.) Если д.у. (17) котор. bij,b0,bi,ci,c,d Cw(Ω), а нач. ф-ции ψ0, ψ Сw(ϒ), то для любой т. y0 сущ. окр-ть Ω(ϒ) , в кот. сущ. ед-ое аналит. реш. з-чи Коши (17),(18). Отметим, что Т, гарант. сущ. любого реш. з-чи Коши в дост-о малой ок-ти пов-ти ϒ.
10. Корректная постановка з-чи Коши. Рассмотрим з-чу Коши для д.у. 2-го порядка с двумя независимыми переменными: на G (1) (2) Где G R2, Г есть дважды гладкая линия в G,ψ и ϕ есть заданные ф-ции на линии Г. V1(Г) – прос-во нач. ф-ции ϕ, V2(Г) - прос-во нач. ф-ции ψ, V(G) – прос-во ф-ций u, в котором ищется решение з-чи Коши (1), (2). Для класс. решений V(G)=C2(G). Кроме того, в зависимости от ситуации, будем полагать рассматриваемые прос-ва метрическими, или линейно нормированными. Опр. Рассмотрим две з-чи Коши с различными нач. ф-ями: Будем говорить, что решение з-чи Коши (10.1), (10.2) непрерывно зависит в прос-ве V от нач. ф-ции ϕ 1, ψ V2, если для любого ε>0 найдется такое δ>0, что из нер-в ρV1(ϕ1,ϕ2)<δ, ρV2(ψ1,ψ2)<δ, вытекает нер-во ρV(u1,u2)<ε. Опр. Будем говорить, что з-ча Коши (10.1), (10.2) корректно поставлена в прос-вах V1, V2, V если вып. условия корректности: 1) для любых нач. ф-ций ϕ 1, ψ V2, сущ. решение и з-чи Коши (10.1), (10.2). 2) для любых нач. ф-ций ϕ 1, ψ V2, сущ. решение и з-чи Коши (10.1), (10.2) единственно.
3) решение и для з-чи Коши (10.1), (10.2) непрерывно зависит от нач. ф-ций ϕ 1, ψ V2. Если не выполняются хотя бы одно из 3-х условий корректности, то будем говорить, что з-ча Коши не корректно поставлена. При не выполнении 3-го условия корректности з-чу Коши будем наз. неустойчивой по нач. данным.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 177; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.214.106.184 (0.007 с.) |