Общее понятие об умозаключении

Факультет повышения квалификации

и переподготовки педагогических кадров

ВЫПУСКНАЯ РАБОТА

Курс: «Логика в начальной школе»

 

Тема: «Дедуктивные умозаключения»

 

 

Выполнила: Жарковская О.Н., преподаватель

Педагогического колледжа №5

 

 

Руководитель: Гетманова А.Д.,доктор

филосовских наук, профессор.

 

МОСКВА 2009 год

Введение

О роли математики в современном мире, о математизации знаний написано немало различных книг. Стало очевидным, что в наше время трудно указать область математики, не нашедшую применения в огромном разнообразии проблем практики, а также область человеческого знания, которая не пользовалась бы математическими методами. Необходимо не только описывать уже установленные факты, но и предсказывать новые закономерности. Математизация наших знаний состоит не только в том, чтобы использовать готовые математические методы и результаты, но и в том, чтобы наиболее полно и точно описывать интересующий нас круг явлений, выводить следствия и использовать полученные результаты для практической деятельности.

Реализация современной роли математики предполагает улучшение математической подготовки учащихся, важное место, в которой отводится умению открывать закономерности, обосновывать их и применять на практике. Особенностью математики, которая отличает ее как от естествознания, так и от опытных наук вообще, является, как правило, дедуктивный характер ее доказательств. В опытных науках мы постоянно обращаемся к наблюдениям и экспериментам, чтобы проверить те или иные утверждения. Совершенно иначе обстоит дело в математике. Теорема считается доказанной только в том случае, если она логически выведена из других предложений. Поэтому проблема обучения учащихся приемам дедукции всегда являлась одной из центральных в методике преподавания математики.

В настоящее время актуальность умения строить дедуктивные умозаключения возросла. Дело в том, что осуществляемый процесс гуманизации образования предполагает направленность обучения на развитие личности, в частности на развитие различных мыслительных процессов, чему способствует обучение построению дедуктивных умозаключений. Другими словами, обучение построению дедуктивного умозаключения должно быть одной из целей математического образования и являться составляющей основы конструирования содержания обучения математики в начальной и средней школе. Последнее заставляет взглянуть на проблему обучения дедукции учащихся с более широких позиций.

С переходом в среднее звено школы учащиеся знакомятся с таким предметом как геометрия, где весь курс построен на различного рода доказательствах, проводимых именно дедуктивным путем. И если в начальных классах мы не научим детей правильно рассуждать и пользоваться дедукцией, то в дальнейшем учащиеся столкнуться с множеством проблем, так как не смогут доказать ни теорему, ни вывести заключение или вывод.

Однако при кажущемся обилии научного материала по этой тематике приходится признать, что конкретного фактического материала, позволяющего строить обучение школьников с учетом особенностей логического мышления, нет. Существует множество методических пособий по курсу математики в начальной школе, но в ходе нашей работы нам не встретилось ни одного, в котором были бы собраны и обобщены данные, позволяющие развивать в системе логическое мышление школьников на уроках математики, не выходя за рамки курса. Поэтому мы получаем противоречие: с одной стороны мы имеем огромное количество методических пособий и сборников интересных заданий, а с другой
– неумение или нежелание учителей обучать детей строить дедуктивные умозаключения при решении задач, проводить аналитико-синтетическую работу на уроке. Обычно все сводится к записи решения задачи или нахождению значения того или иного выражения.

Умение строить дедуктивные рассуждения (умозаключения) является основным методом математической науки и одним из особых средств усвоения курса математики в средней школе. Осуществление преемственности между обучением в начальных классах и в средней школе очень важно. Уже в младших классах надо проводить определенную работу по формированию умения строить правильные дедуктивные умозаключения. В процессе обучения дедуктивным умозаключениям, обращаясь к наблюдению, сравнению, то есть доступным для них операциям, которые активизируют деятельность и на основе которых они могут самостоятельно сделать вывод. Возможность же использования дедуктивных рассуждений (умозаключений) в начальных классах на первый взгляд довольно ограничена, тем не менее, дедуктивные рассуждения следует использовать при изучении начального курса математики, так как именно они воспитывают строгость, четкость и лаконичность мышления.И если мы будем строить дедуктивные умозаключения при решении математических задач, то с одной стороны учащиеся будут учиться правильно мыслить, а с другой – совершенствовать умение решать поставленные перед ними задачи, аргументировано и доказательно.

 

Глава 1.

УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ

Виды умозаключений

Виды умозаключений

 

 

Понятие правила вывода

Умозаключение дает истинное заключение, если исходные посылки истинны и соблюдены правила вывода. Правила вывода или правила преобразования суждений позволяют переходить от посылок (суждений) определенного вида к заключениям также определенного вида. Например, если в качестве посылок даны два суждения, представимые в виде формулы «a v b» и формулы «а», то можно перейти к суждению вида «b». Это можно путем преобразований по правилу (a v b), a b в виде формулы записать так: ((a b) a)- b. Данная формула является законом логики.

Логически правильно можно рассуждать о вопросах, относящихся к любым предметам. Логические ошибки также могут быть обнаружены в рассуждениях любого предметного содержания. Из этого не следует, разумеется, что в любых условиях и к любой предметной области должен быть применим один и тот же аппарат формально-логических правил. Сам этот аппарат должен развиваться вместе с развитием науки и практической деятельности людей. Одна из характерных черт логики состоит в том, что логика позволяет, получив некоторую информацию, знания об обстоятельствах дела, извлечь из них — точнее говоря, выявить — содержащиеся в их совокупности новые знания. Так, наблюдая движение Луны и Солнца и делая логические выводы из этих наблюдений (включая и индуктивные обобщения), люди еще в античной древности умели логически выводить из них достаточно точные предсказания о наступлении солнечных и лунных затмений.

Другая характерная черта логики, органически связанная с предыдущей, состоит в том, что всякий логический вывод из посылок предполагает некоторую формализацию, т. е. может быть осуществлен по каким-нибудь общим правилам, относящимся к способам выражения знаний и способам переработки этих выражений: способам образования и преобразования выражений. В зависимости от средств, которыми мы располагаем, таких способов формализации может быть много, начиная с того, что одно и то же знание мы можем выразить на разных языках. Но какой-нибудь из языков (под «языком» не обязательно понимать звуковую речь) нам необходимо употребить. Без языка, без материального способа выражения мысли невозможно и само мышление.

Формализация способов вывода состоит прежде всего в том, что каждый шаг вывода совершается только в соответствии с каким-нибудь из заранее перечисленных правил вывода, относящихся только к способам оперирования с формальными выражениями мысли с помощью материальных знаков. Среди последних имеются специфически логические, так называемые логические константы (постоянные). В математической логике — это конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, эквивале-нция, кванторы общности и существования и др.

Различают правила прямого вывода и правила непрямого (косвенного) вывода. Правила прямого вывода позволяют из име­ющихся истинных посылок получить истинное заключение. Правила непрямого (косвенного) вывода позволяют заключать о правомерности некоторых выводов из правомерности других выводов.

Типы дедуктивных умозаключений" (выводов) такие: выводы, зависящие от субъектно-предикатной структуры суждений; выводы, основанные на логических связях между суждениями (выводы логики высказываний).

Эти типы выводов и предстоит нам рассмотреть.

Рассмотрим выводы, основанные на субъектно-предикатной структуре суждений.

К формам, типичным в практике рассуждений, относятся следующие выводы из категорических суждений: 1) выводы посредством преобразования суждений; 2) категорический силлогизм, сокращенный силлогизм (энтимема), сложные (полисиллогизмы) и сложносокращенные силлогизмы (сориты и эпихейрема).

 

Глава 2.

ДЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

Дедуктивные умозаключения — те умозаключения, у которых между посылками и заключением имеется отношение логического следования.

Определение дедуктивного умозаключения, данного в традиционной логике (т. е. Д), — частный случай из этого определения через логическое следование.

Например,

Все рыбы дышат жабрами.

Все окуни — рыбы.

Все окуни дышат жабрами.

Здесь первая посылка «Все рыбы дышат жабрами» является общеутвердительным суждением и выражает большую степень обобщения по сравнению с заключением, также являющимся общеутвердительным суждением «Все окуни дышат жабрами». Мы строим умозаключение от признака, принадлежащего роду («рыба»), к его принадлежности к виду — «окунь», т. е. от общего класса к его частному случаю, к подклассу. Частный случай при этом не надо путать с частным суждением вида «Некоторые S есть Р» или «Некоторые S не есть Р».

ВЫВОДЫ ИЗ КАТЕГОРИЧЕСКИХ СУЖДЕНИЙ ПОСРЕДСТВОМ ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Непосредственными умозаключениями называются дедуктивные умозаключения, делаемые из одной посылки. К ним в традиционной логике относятся следующие: превращение, обращение, противопоставление предикату и умозаключения по «логическому квадрату».

Превращение

Превращение — вид непосредственного умозаключения, при котором изменяется качество посылки без изменения ее количества, при этом предикат заключения является отрицанием предиката посылки.

Как уже отмечалось, по качеству связки («есть» или «не есть») категорические суждения делятся на утвердительные и отрицательные.

Схема превращения:

S есть P.

------------------

S не есть не-P.

Можно выделить два частных способа:

1. S есть Р. S не есть не-Р.

2. S есть не-Р. S не есть Р.

Примеры:

Все галогены являются неметаллами. Ни один галоген не является металлом.

Превращению подлежат все четыре вида суждения: А, Е, I, О.

1. А Е.

Структура: Все S есть Р. Ни одно S не есть не-Р.
Все волки — хищные животные. Ни один волк не является
нехищным животным.

2. Е А.

Ни одно S не есть Р. Все S есть не-Р.

Ни один многогранник не является плоской фигурой. Все многогранники являются неплоскими фигурами.

3. I O.

Некоторые S есть Р. Некоторые S не есть не-Р. Некоторые грибы съедобны. Некоторые грибы не являются несъедобными.

4. O I.

Некоторые S не есть Р. Некоторые S есть не-Р. Некоторые члены предложения не являются главными. Некоторые члены предложения являются неглавными.

Обращение

Обращением называется такое непосредственное умозаключение, в котором в заключении (в новом суждении) субъектом является предикат, а предикатом — субъект исходного суждения, т. е. происходит перемена мест субъекта и предиката при сохранении качества суждения.

Схема обращения:

S есть Р.

------------

Р есть S.

Приведем четыре примера:

1. Все дельфины — млекопитающие. Некоторые млекопитающие являются дельфинами.

2. Все развернутые углы — углы, стороны которого составляют одну прямую. Все углы, стороны которого составляют одну прямую, являются развернутыми углами.

3. Некоторые школьники являются филателистами. Некоторые филателисты являются школьниками.

4. Некоторые музыканты — скрипачи. Все скрипачи являются музыкантами.

Обращение бывает двух видов: простое, или чистое (примеры 2 и 3), и обращение с ограничением (примеры 1 и 4).

Обращение будет чистое, или простое, тогда, когда и S, и Р исходного суждения либо оба распределены, либо оба не распределены. Обращение с ограничением бывает тогда, когда в исходном суждении субъект распределен, а предикат не распределен, или наоборот, S не распределен, а Р распределен.

Особые правила фигур

1ф. Первая посылка должна быть общей, вторая –утвердительной.

2ф. Первая посылка общая; одна из посылок, а также заключение-отрицательные.

3ф. Вторая посылка должна быть утвердительной, а заключение-частным.

4ф.Общеутвердительных заключений не дает.

 

Можно предложить задания:

ОПРЕДЕЛИ ФИГУРЫ.

1. Все весенние цветы прекрасны.

Мимозы-весенние цветы.

Мимозы прекрасны

2. Все медведи сосут лапу.

Это животное не сосет лапу.

Это животное не является медведем.

3. Все шахматисты играют в шахматы.

Все шахматисты- люди.

Некоторые люди играют в шахматы.

4..Все цветы-растения.

Ни одно растение не есть гриб.

Ни один гриб не есть цветок.

I. Правила терминов

1. В каждом силлогизме должно быть только три термина (S, Р, М). Ошибка называется «учетверение терминов». Ошибочное умозаключение:

Движение вечно.

Хождение в институт — движение.

Хождение в институт вечно.

Здесь «движение» трактуется в разном смысле — в философском и обыденном.

2. Средний термин должен быть распределен по крайней мере

в одной из посылок.

Некоторые растения (М) ядовиты (Р). Белые грибы (S) — растения (М).

Белые грибы (S) — ядовиты (Р).

Здесь средний термин «растение» не распределен ни в одной из посылок, поэтому заключение ложное.

3. Термин распределен в заключении, если и только если он
распределен в посылке. Иначе в терминах заключения говорилось
бы больше, чем в терминах посылок.

Во всех городах за полярным кругом бывают белые ночи. Санкт-Петербург не находится за полярным кругом.

В Санкт-Петербурге не бывает белых ночей.

Заключение ложное, так как нарушено данное правило. Предикат вывода в заключении распределен, а в посылке он не распределен, следовательно, произошло расширение большего термина.

П. Правила посылок

4. Из двух отрицательных посылок нельзя сделать никакого
заключения.

Например:

Дельфины не рыбы.

Щуки не дельфины.

?

5. Если одна из посылок отрицательная, то и заключение
должно быть отрицательным.

Все моржи — ластоногие.

Это животное не является ластоногим.

Это животное не является моржом.

6. Из двух частных посылок нельзя сделать заключение.

Некоторые животные — пресмыкающиеся. Некоторые живые организмы — животные.

?

7. Если одна из посылок частная, то заключение должно быть частным.

Все спекулянты подлежат наказанию. Некоторые люди — спекулянты.

Некоторые люди подлежат наказанию.

Наиболее распространенные ошибки при умозаключении по категорическому силлогизму такие:

1. Заключение делается по I фигуре с меньшей отрицательной посылкой. Приведем два примера.

1. Все классные комнаты нуждаются в проветривании.

Эта комната — не классная.

Эта комната не нуждается в проветривании.

2. Все студенты сдают экзамены. Смирнов не является студентом.

Смирнов не сдает экзамены.

Заключение не следует с необходимостью из посылок, так как вторая посылка должна быть утвердительной.

2. Заключение делается по II фигуре с двумя утвердительными посылками.

Все зебры полосатые

Это животное полосатое.

Это животное — зебра.

Заключение не следует с необходимостью из этих посылок, так как одна из посылок и заключение должны быть отрицательными суждениями.

СОКРАПЩННЬЕЙ КАТЕГОРИЧЕСКИЙ СИЛЛОГИЗМ (ЭНТИМЕМА)

Энтимемой, или сокращенным категорическим силлогизмом, называется силлогизм, в котором пропущена одна из посылок или заключение.

Термин «энтимема» в переводе с греческого языка означает «в уме», «в мыслях». Примером энтимемы является такое умозаключение: «Все кашалоты — киты, следовательно, все кашалоты — млекопитающие». В этой энтимеме пропущена большая посылка.

Восстановив энтимему до полного категорического силлогизма, имеем:

Все киты — млекопитающие

Все кашалоты — киты.

Все кашалоты — млекопитающие.

Приведем пример энтимемы, в которой пропущена меньшая посылка: «Все металлы теплопроводны, следовательно, и алюми­ний теплопроводен». Восстановим энтимему:

 

 

Все металлы теплопроводны. Алюминий — металл.

Алюминий теплопроводен.

Приведем энтимему, в которой пропущено заключение: «Все рыбы дышат жабрами, а окунь — рыба».

При восстановлении энтимемы надо, во-первых, определить, какое суждение является посылкой, а какое — заключением.

Посылка обычно стоит после союзов «так как», «потому что», «ибо» и т. п., а заключение стоит после слов «следовательно», «поэтому», «потому» и т. д.

ПРИМЕР.

Все птицы имеют клюв.

Стрижи – птицы.

Стрижи имеют клюв.

Рассуждай так!

1.Все птицы имеют клюв,а стрижи-

птицы(пропущено заключение).

2.Стрижи – птицы,следовательно,они имеют клюв

(первая посылка).

3.Все птицы имеют клюв, следовательно,стрижи имеют клюв(вторая посылка).

Восстанови силлогизм.

1. Все хвойные деревья имеют иголки, следовательно, и пихта имеет иголки.

2. Все машины имеют двигатель,а мотоцикл-машина.

3. Эскимо-мороженое, следовательно, оно сладкое.

Сорит (с общими посылками)

Прогрессивный и регрессивный полисиллогизмы в мышлении чаще всего применяются в сокращенной форме — в виде соритов.

Из полисиллогизмов можно образовывать сориты.(сокращенные полисиллогизмы)

Отбрасываются заключения предшествующего

силлогизма и посылки последующего силлогизма.

ПРИМЕР.

Полисиллогизм. Сорит.

Все птицы имеют клюв. Все птицы имеют клюв.

Попугай-птица. Попугай- птица.

Значит, попугай имеет клюв. Говорящий попугай-вид

Говорящий попугай- вид попугаяпопугая.

Говорящий попугай имеет Говорящий попугай имеет клюв. клюв.

УСЛОВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

Чисто условным умозаключением называется такое опосред­ствованное умозаключение, в котором обе посылки являются условными суждениями. Условным называется суждение, име­ющее структуру: «Если а, то b».

Структура его такая: Если а, то b Схема:

Если b, то с a b, b- с

Если а, то с а- с

Согласно определению логического следствия, сформулированному в рамках исчисления высказываний, если а->с есть логическое следствие из данных посылок, то, соединив посылки знаком конъюнкции и присоединив к ним посредством знака импликации заключение, мы должны получить формулу, которая является законом логики. Формула будет такова:

((а b) (b с)) (а c).

В чисто условном умозаключении существуют его разновидности (модусы). К ним относится, например, такой:

Схема:
Если а, то b а b

Если не-а, то b a b

b b

Формула: ((а b) (а -b)) -b.

Формула является законом логики. В этом умозаключении суждение b истинно независимо от того, утверждается или отрицается а.

Примером такого умозаключения является следующее рассуждение:

Если будет хорошая погода, уберем урожай.

Если не будет хорошей погоды, уберем урожай.

Уберем урожай.

ДИЛЕММА

Умозаключение, включающее сложный выбор наименьшего из двух зол, представляет собой дилемму.

Дилемма состоит из двух посылок.

В первой посылке содержатся два условных суждения,

Вторая посылка является разделительным суждением, состоящим из двух членов.

Факультет повышения квалификации

и переподготовки педагогических кадров

ВЫПУСКНАЯ РАБОТА

Курс: «Логика в начальной школе»

 

Тема: «Дедуктивные умозаключения»

 

 

Выполнила: Жарковская О.Н., преподаватель

Педагогического колледжа №5

 

 

Руководитель: Гетманова А.Д.,доктор

филосовских наук, профессор.

 

МОСКВА 2009 год

Введение

О роли математики в современном мире, о математизации знаний написано немало различных книг. Стало очевидным, что в наше время трудно указать область математики, не нашедшую применения в огромном разнообразии проблем практики, а также область человеческого знания, которая не пользовалась бы математическими методами. Необходимо не только описывать уже установленные факты, но и предсказывать новые закономерности. Математизация наших знаний состоит не только в том, чтобы использовать готовые математические методы и результаты, но и в том, чтобы наиболее полно и точно описывать интересующий нас круг явлений, выводить следствия и использовать полученные результаты для практической деятельности.

Реализация современной роли математики предполагает улучшение математической подготовки учащихся, важное место, в которой отводится умению открывать закономерности, обосновывать их и применять на практике. Особенностью математики, которая отличает ее как от естествознания, так и от опытных наук вообще, является, как правило, дедуктивный характер ее доказательств. В опытных науках мы постоянно обращаемся к наблюдениям и экспериментам, чтобы проверить те или иные утверждения. Совершенно иначе обстоит дело в математике. Теорема считается доказанной только в том случае, если она логически выведена из других предложений. Поэтому проблема обучения учащихся приемам дедукции всегда являлась одной из центральных в методике преподавания математики.

В настоящее время актуальность умения строить дедуктивные умозаключения возросла. Дело в том, что осуществляемый процесс гуманизации образования предполагает направленность обучения на развитие личности, в частности на развитие различных мыслительных процессов, чему способствует обучение построению дедуктивных умозаключений. Другими словами, обучение построению дедуктивного умозаключения должно быть одной из целей математического образования и являться составляющей основы конструирования содержания обучения математики в начальной и средней школе. Последнее заставляет взглянуть на проблему обучения дедукции учащихся с более широких позиций.

С переходом в среднее звено школы учащиеся знакомятся с таким предметом как геометрия, где весь курс построен на различного рода доказательствах, проводимых именно дедуктивным путем. И если в начальных классах мы не научим детей правильно рассуждать и пользоваться дедукцией, то в дальнейшем учащиеся столкнуться с множеством проблем, так как не смогут доказать ни теорему, ни вывести заключение или вывод.

Однако при кажущемся обилии научного материала по этой тематике приходится признать, что конкретного фактического материала, позволяющего строить обучение школьников с учетом особенностей логического мышления, нет. Существует множество методических пособий по курсу математики в начальной школе, но в ходе нашей работы нам не встретилось ни одного, в котором были бы собраны и обобщены данные, позволяющие развивать в системе логическое мышление школьников на уроках математики, не выходя за рамки курса. Поэтому мы получаем противоречие: с одной стороны мы имеем огромное количество методических пособий и сборников интересных заданий, а с другой
– неумение или нежелание учителей обучать детей строить дедуктивные умозаключения при решении задач, проводить аналитико-синтетическую работу на уроке. Обычно все сводится к записи решения задачи или нахождению значения того или иного выражения.

Умение строить дедуктивные рассуждения (умозаключения) является основным методом математической науки и одним из особых средств усвоения курса математики в средней школе. Осуществление преемственности между обучением в начальных классах и в средней школе очень важно. Уже в младших классах надо проводить определенную работу по формированию умения строить правильные дедуктивные умозаключения. В процессе обучения дедуктивным умозаключениям, обращаясь к наблюдению, сравнению, то есть доступным для них операциям, которые активизируют деятельность и на основе которых они могут самостоятельно сделать вывод. Возможность же использования дедуктивных рассуждений (умозаключений) в начальных классах на первый взгляд довольно ограничена, тем не менее, дедуктивные рассуждения следует использовать при изучении начального курса математики, так как именно они воспитывают строгость, четкость и лаконичность мышления.И если мы будем строить дедуктивные умозаключения при решении математических задач, то с одной стороны учащиеся будут учиться правильно мыслить, а с другой – совершенствовать умение решать поставленные перед ними задачи, аргументировано и доказательно.

 

Глава 1.

УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ

ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ОБ УМОЗАКЛЮЧЕНИИ

Формами мышления являются понятия, суждения и умозаключения. Опосредованно, с помощью многообразных видов умозаключений, мы можем получать новые знания. Построить умозаключение можно при наличии одного или нескольких истинных суждений (называемых посылками), поставленных во взаимную связь. Возьмем пример умозаключения: Все углероды горючи.

Алмаз — углерод.

Алмаз горюч.

Структура всякого умозаключения включает посылки, заключение и логическую связь между посылками и заключением. Логический переход от посылок к заключению называется выводом. В приведенном примере два первых суждения, стоящих над чертой, являются посылками; суждение: «Алмаз горюч» является заключением. Для того чтобы проверить истинность заключения «Алмаз горюч», вовсе не нужно обращаться к непосредственному опыту, т. е. сжигать алмаз. Заключение о горючести алмаза с полной достоверностью можно получить с помощью умозаключения, опираясь на истинность посылок и соблюдение правил вывода.

Умозаключение — форма мышления, в которой из одного или нескольких истинных суждений на основании определенных правил вывода получается новое суждение, с необходимостью или определенной степенью вероятности следующее из них Процесс получения заключений из посылок по правилам дедуктивных умозаключений называется выведением следствий.

Виды умозаключений

Виды умозаключений