Модальная логика – раздел логики, в котором исследуются логические связи модальных высказываний.

Модальная логика слагается из ряда разделов, или направлений, каждое из которых занимается модальными высказываниями определенного типа. Фундаментом модальной логики является логика высказываний: первая есть расширение второй.

Теория логических модальностей изучает связи логических модальных высказываний, т.е. высказываний, включающих логические модальные понятия: "логически необходимо", "логически возможно", "логически случайно" и т.п.

Логически необходимое высказывание можно определить как высказывание, отрицание которого представляет собой логическое противоречие. Внутренне противоречивы, например, высказывания "Неверно, что, если неон – инертный газ, то неон – инертный газ" и "Неверно, что трава зеленая или она не зеленая". Это означает, что утвердительные высказывания "Если неон – инертный газ, то неон – инертный газ" и "Трава зеленая или она не зеленая" являются логически необходимыми. Понятие логической необходимости связано с понятием логического закона: логически необходимы законы логики и все, что вытекает из них. Логически необходимы, таким образом, все рассматривавшиеся ранее законы логики высказываний.

Истинность логически необходимого высказывания устанавливается независимо от опыта, на чисто логических основаниях. Логическая необходимость является, таким образом, более сильным видом истины, чем фактическая истинность. Например, высказывание "Снег бел" фактически истинно, для подтверждения его истинности требуется эмпирическое наблюдение. Высказывания же "Снег есть снег", "Белое – это белое" и т.п. необходимо истинны: для установления их истинности не нужно обращаться к опыту, достаточно знать значения входящих в них слов. Поскольку данные высказывания логически необходимы, каждое из них можно предварить оборотом "логически необходимо, что..." ("Логически необходимо, что снег есть снег" и т.п.).

Логическая возможность – это внутренняя непротиворечивость высказывания.

Высказывание "Коэффициент полезного действия паровой машины равен 100% является, очевидно, ложным, но оно внутренне непротиворечиво и, значит, логически возможно. Но высказывание "К.п.д. такой машины выше 100%" противоречиво и потому логически невозможно.

Логическая возможность может быть определена и через понятие логического закона: логически возможно высказывание, не противоречащее законам логики.

Скажем, высказывание "Микробы – живые организмы" совместимо с законами логики и, следовательно, логически возможно. Высказывание же "Неверно, что если человек – писатель, то он писатель" противоречит логическому закону тождества и потому является логически невозможным.

Случайно то, что может быть, но может и не быть. Случайность не равнозначна возможности, которая не может не быть. Случайность иногда называют "двусторонней возможностью", т.е. равной возможностью и высказывания, и его отрицания.

Высказывание логически случайно, когда и оно само, и его отрицание являются логически возможными.

Логически возможно высказывание, не являющееся внутренне противоречивым. Если не только само высказывание, но и его отрицание не содержат противоречия, высказывание является логически случайным. Случайно, например, высказывание "Все многоклеточные существа смертны": ни утверждение этого факта, ни его отрицание не содержат внутреннего (логического) противоречия.

Логически невозможное высказывание – это внутренне противоречивое высказывание.

Логически невозможны, например, высказывания: "Растения дышат и растения не дышат" и "Неверно, что, если Вселенная бесконечна, то она бесконечна". Оба они являются отрицаниями логических законов: первое – закона противоречия, второе – закона тождества.

Понятия логической необходимости и возможности можно определить одно через другое:

" А логически необходимо" означает "отрицание А не является логически возможным" (например: "Необходимо, что холод есть холод" означает "Невозможно, чтобы холод не был холодом");

" А логически возможно" означает "отрицание А не является логически необходимым" ("Возможно, что кадмий – металл" означает "Неверно, что необходимо, что кадмий – не металл").

Логическую случайность можно определить через логическую возможность: "логически случайно А " означает "логически возможно как А, так и не- A "("Логически случайно, что на Земле есть жизнь" означает "Логически возможно, что на Земле есть жизнь, и логически возможно, что на Земле нет жизни").

Логически необходимое высказывание является истинным, но не наоборот: не каждая истина логически необходима. Логически необходимое высказывание является также логически возможным, но не наоборот: не все логически возможное логически необходимо.

Из истинности высказывания вытекает его логическая возможность, но не наоборот: логическая возможность слабее истинности.

ФИЗИЧЕСКИЕ МОДАЛЬНОСТИ

Физические модальные высказывания формируются с помощью физических модальных понятий (физически необходимо, физически возможно и т.п.), называемых также онтологическими или каузальными. Например: "Физически необходимо, что действие равно противодействию", "Физически случайно, что стекло хрупко", "Физически невозможно, чтобы дождь лил семь дней и семь ночей подряд" и т.п.

Логические модальные понятия связаны с "механикой" человеческого мышления и используются для характеристики существенных ее моментов. Физические модальные понятия касаются устройства самого реального мира.

Нечто необходимо, если оно не может быть иным, чем оно есть. В зависимости от того, на какое основание опирается утверждение о необходимости, выделяются два ее вида: логическая необходимость и физическая необходимость. Логическая необходимость связана с логическим законом: логически необходимы законы логики и все, что вытекает из них. Физическая необходимость связана с законами природы: физически необходимо то, отрицание чего нарушает законы природы. Физически необходимы, например, высказывания: "Все планеты вращаются вокруг своей оси" и "Электрон, движущийся по стационарной орбите, не излучает энергию". Отрицания этих высказываний противоречили бы законам физики: отрицание первого высказывания несовместимо с законами небесной механики, отрицание второго – с законами квантовой механики.

Физически возможным является высказывание, не противоречащее законам природы.

Например, высказывание "К.п.д. двигателя внутреннего сгорания равен 100%" противоречит законам термодинамики и, значит, физически невозможно. Высказывание же "К.п.д такого двигателя превышает 30%" не противоречит никаким ограничениям, устанавливаемым законами природы, и является физически возможным.

Высказывание физически случайно, когда и оно само, и его отрицание являются физически возможными.

Случайно, например, что этот дом выкрашен в коричневый цвет: нет законов природы, которые предписывали бы ему быть коричневым или, наоборот, иметь другой цвет.

Физически невозможно высказывание, противоречащее законам природы.

Физически невозможны, например, высказывания: "Действие не равно противодействию" и "Сила не равняется произведению массы на ускорение", являющиеся отрицаниями законов механики.

Физическая необходимость может быть определена через физическую возможность: "высказывание физически необходимо" означает "отрицание этого высказывания не является физически возможным" (например: "физически необходимо, что тела, имеющие массу, притягиваются друг к другу" означает "физически невозможно, чтобы такие тела не притягивались друг к другу").

Физическая возможность может быть определена через физическую необходимость: "высказывание физически возможно" означает "отрицание этого высказывания не является физически необходимым" (например: "Двигатель внешнего сгорания физически возможен" означает "Отсутствие такого двигателя не является физически необходимым").

Физическую случайность можно определить через физическую возможность: "высказывание физически случайно" означает "физически возможно как данное высказывание, так и его отрицание" ("Физически случайно, что шарик рулетки остановится на красном поле" означает "Физически возможно, что он остановится на красном, точно так же, как физически возможно, что он не остановится на красном").

Физически необходимое высказывание является истинным, но не наоборот: не каждая истина является законом природы и тем самым физически необходимой.

Физически необходимое высказывание является также физически возможным, но не наоборот: не все физически возможное физически необходимо, т.е. представляет собой закон природы.

Из истинности высказывания вытекает его физическая возможность, но не наоборот: не каждое физически возможное событие реализуется. Если спутники Марса существуют, то они физически возможны, т.е. их существование не противоречит законам природы. Но если искусственные спутники этой планеты физически возможны, т.е. не противоречат законам природы, это не означает что у нее есть такие спутники.

Нетрудно заметить, что взаимные отношения физической необходимости, физической возможности и истинности строго аналогичны тем отношениям, которые имеют место между логической необходимостью, логической возможностью и истинностью.

Теперь, когда уточнены смыслы логической и физической необходимости, а также логической и физической возможности, можно сопоставить логические и физические модальные понятия между собой.

Логическая необходимость, присущая законам логики, существенно отличается от физической необходимости, характерной для законов природы.

Металлические стержни при нагревании удлиняются – это закон природы. Он действителен в любой точке Вселенной и в любой момент времени. Он, кроме того, действует с необходимостью. Вещи в самой своей сущности, в своем глубинном устройстве таковы, что размеры металлических стержней увеличиваются при нагревании.

Вместе с тем можно представить себе, что наш мир несколько изменился и притом так, что нагреваемые металлические стержни не только не удлиняются, но даже сокращаются. Нельзя, однако, вообразить себе такой мир, в котором стержни и удлинялись бы и вместе с тем не удлинялись, т.е. мир, в котором нарушался бы логический закон противоречия.

Логическая необходимость более непреложна, чем физическая. Первая уже второй: все логически необходимое является также физически необходимым, но не наоборот. Иначе говоря, законы логики есть также и законы природы, но не наоборот. Если, например, планета вращается, то она вращается – это следствие закона логики и вместе с тем необходимая истина физики. Но то, что у планет эллиптические орбиты, – закон физики, ноне логики: логически возможно, что орбиты планет круговые. Физическая необходимость не сводится к логической. Нельзя, скажем, принципы механики свести к законам логики.

Логическая возможность шире физической: возможное физически является возможным и логически, но не наоборот. К примеру, двигатель с к.п.д. 100% возможен логически, но физически невозможен. Круговые орбиты планет возможны логически, но невозможны физически.

С помощью круговых схем отношения между логически необходимым, физически необходимым, физически возможным и логически возможным представляются четырьмя концентрическими кругами. Все логически необходимое необходимо также физически. Все физически необходимое, а значит, и включающееся в него логически необходимое, включается в физически возможное. Самой широкой категорией является логически возможное. Оно включает три другие категории в указанном их порядке.