Математическая обработка статистических результатов исследования точности технологических процессов

 

Погрешности обработки деталей, вызываемые различными производственно-технологическими факторами, яв­ляются величинами случайными, что обуславливает необходимость приме­нения в анализе точности методов теории вероятностей и математической статистики.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять тo или иное значение [1]. Например, признак качества Х для партии деталей объемом n, изготовленной в одной технологической операции, есть величина случайная, так как каждая деталь будет характеризоваться своим значением признака качества

Основной теоретической числовой характеристикой случайной величины является вероятность ее появления P, которая позволяет принимать любое значение от 0 до 1 включительно

 

 

Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины

Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями случайной величины. Для полного описания случайной величины необходимо точно определить, какой вероятностью обладает каждое из значений, т.е. установить закон распределения случайной величины.

Одной из форм закона распределения является функция распределения F(x) случайной величины x, которую иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения (рис. 1).

 

Рис. 1. График интегральной функции
распределения вероятности

 

С помощью графика можно определить вероятность того, что случайная величина не превысит некоторого значения , т.е.

 

Функция распределения характеризуется следующими свойствами: F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при , , на минус бесконечности функция распределения равна нулю ; на плюс бесконечности функция распределения равна единице .

Другой формой закона распределения случайной величины является плотность распределения (плотность вероятности) , которая представляет собой производную от функции распределения

 

 

Плотность вероятности характеризует плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке.

Функцию называют также дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения. Кривая, представленная на рис. 2, изображает плотность распределения случайной величины и называется кривой распределения.

 

Рис. 2. График плотности распределения
вероятности

 

Плотность вероятности характеризуется следующими свойствами:

плотность вероятности есть неотрицательная функция , т.е. вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс; интеграл в бесконечных пределах от плотности равен единице , т.е. полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

С помощью кривой распределения находится вероятность попадания случайной величины в заданные пределы. Например, вероятность попадания x на отрезок от до равна площади кривой распределения, опирающейся на этот участок (рис.2, заштрихованная область), т.е.

 

.

Учитывая соотношение (2.1), вероятность попадания x в заданные пределы от до , определяется также разность величин функции распределения, взятых при значениях пределов, т.е.

 

.

 

Из выражения (2.2) следует, что вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна приращению функции распределения на этом участке (см. рис. 1).

Кроме законов распределения для описания случайных величин используются числовые параметры, позволяющие в сжатой форме выразить существенные особенности распределения.

В теории вероятности и математической статистике применяется большое количество различных числовых параметров. Рассмотрим лишь те из них, которые используются при исследовании точности технологических операций.

Наиболее важными числовыми параметрами распределения являются параметры, характеризующие положение кривой распределения на оси абсцисс, степень рассеяния значений случайной величины, степень асимметрии и крутости кривой распределения.

Из характеристик положения важнейшую роль играет математическое ожидание (среднее значение) случайной величины , указывающее некоторое среднее ориентировочное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины. Среднее значение случайной величины есть некоторое число, являющееся как бы ее "представителем" и заменяющее ее при грубо ориентировочных расчетах. Математическое ожидание определяется формулой вида

 

.

 

Характеристикой рассеивания, разбросанности значений случайной величины около ее математического ожидания является дисперсия , которая определяется следующей формулой:

 

.

 

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что в практике анализа не всегда удобно. Для наглядности характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной среднего квадратического отклонения S, получаемой извлечением корня из дисперсии и равной

 

 

Для закона нормального распределения изменение среднего квадратического отклонения приводит к изменению формы кривой. Так как для кривой распределения расположенная под ней площадь равна единице, то изменение среднеквадратического отклонения равносильно изменению масштаба кривой распределения - увеличению масштаба по одной оси и уменьшению по другой, так, как это показано на рис. 3.

 

Рис.3.Кривая нормального распределения при различных значениях среднего квадратического отклонения

 

Распределения случайной величины могут быть симметричными и асимметричными по отношению к математическому ожиданию. Например, асимметричность распределения признака качества обрабатываемых деталей вызывается систематическими ошибками (износ и деформация инструмента, температурные деформации и т.д.). Асимметрия находится из выражения

 

.

 

Степень крутости, т.е. островершинности или плосковершинности кривой распределения оценивается при помощи эксцесса E, который рассчитывается по формуле

 

.

 

В технологии приборостроения интерес представляет не просто степень крутости кривой распределения, а ее отклонение от степени крутости образцовой кривой распределения, в качестве которой выбирается кривая нормального распределения. Для нормального распределения эксцесс равен нулю; кривые более островершинные по сравнению с нормальной обладают положительным эксцессом, кривые более плосковершинные – отрицательным эксцессом. На рис. 4 представлены нормальное распределение (кривая 1), распределение с положительным эксцессом (кривая 2) и распределение с отрицательным эксцессом (кривая 3).