Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела.

Рассмотрим движение твердого тела, имеющею ось вращения под действием произвольно направленной силы , приложенной к телу в некоторой точке А, которую можно разложить на две составляющие: вертикальную и горизонтальную (рис.5.1). Вертикальная составляющая может вызывать перемещение тела в направлении оси вращения поэтому при рассмотрении вращательного движения ее можно исключить.Горизонтальная составляющая , если она не пересекается с осью вызывает вращение тела. Действие этой силы зависит от ее числового значения и расстояния линии действия от оси вращения.

Пусть на тело, в плоскости перпендикулярной оси вращения действует сила (рис.5.2). Разложим эту силу на две составляющие: и

Сила пересекает ось вращения и, следовательно, не влияет на вращение тела. Под действием составляющей тело будет совершать вращательное движение вокруг оси . Расстояние от оси вращения до линии вдоль которой действует сила называется плечом силы . Моментом силы относительно точки О называется произведение модуля силы на плечо

С учетом, что

момент силы

.

С точки зрения векторной алгебры это выражение представляет векторное произведение радиуса-вектора , проведенного в точку приложения силы на эту силу. Таким образом, момент силы относительно точки О является векторной величиной и равен

(5.1)

Вектор момента силы направлен перпендикулярно к плоскости, проведенной через векторы и , и образует с ними правую тройку векторов (при наблюдении из вершины вектора М видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от к происходит против часовой стрелки).

Согласно второму закону Ньютона, для тангенциальной составляющейсилы , действующей на материальную точку массой m, и ускорения

можем записать

С учетом, что

и

имеем

Домножимлевую и правую части на и получим

(5.2)

или

 

Произведение массы материальной точки тела на квадрат ее расстояния до оси вращения называется моментом инерции материальной точки относительно оси вращения:

 

Вычисление момента инерции. Примеры. Теорема Штейнера.

Момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями(теорема Гюйгенса-Штейнера)

Найдем зависимость между моментами инерции тела относительно параллельных осей z и z', одна из которых проходит через центр масс С тела. Проведем остальные оси так, как это показано на рис. 3.6

По определению осевых моментов инерции имеем

,

, .

Тогда

Так как и согласно (3.8) получаем