Водные и поверхностные волны в скважине

Если индекс l =1, а индекс n = 0, выражение (2.4б) харак­теризует в частности водную волну , возникшую в резуль­тате первого отражения прямой водной волны от стенки.

При последующих отражениях в каждой точке кольцевого зазора между стенкой скважины и прибором последовательно образуются отраженные водные волны (n =1, l =2); (n =2, l =3); и т.д., амплитуды которых при стремятся к ну­лю. Поскольку путь АВС (рис. 1) больше пути АС, а скорости водных волн равны, при мгновенном импульсе излучения прямые и отраженные волны не интерферируют.

Рис 1. Механизм образования

отражённых водных волн

Фактически длительность импульса пре­вышает время распространения волн от излучателя до стенки скважины, т.е. он существует в некотором интервале времени. Картина в этом интервале близка к той, ка­кая была бы при непрерывной работе излучателя. В результате в зазоре возникает сложное интерференционное поле. Тем не менее, поскольку у реального импульса есть начало, первые вступления прямой волны не осложнены интерференцией с отраженными водными волнами.

Из теории известно, что равенство нулю знаменателя коэффициента отражения А, входящего в выражение (2.42), свиде­тельствует о возникновении поверхностных волн. В данном случае их две — волна Лэмба и псевдорелеевская. При стремлении частоты к бесконечности стенка скважины становится как бы плоской и скорость волны Лэмба монотонно приближается к скорости поверхностной волны Стоунли, возникающей на плоской границе жидкости и твердого тела. Поэтому волну Лэмба иногда называют волной Лэмба — Стоунли.

Возникновение волны Лэмба можно объяснить следующим образом. На низких частотах () скважину можно рассматри­вать как узкую трубу, обладающую, в общем случае, следующим свойством: какой бы излучатель не создавал в ней гармоническое акустическое поле, на некотором расстоянии от излучателя будет распространяться одномерная (параметры зависят только от z и t) волна с плоским фронтом, практически перпен­дикулярным к стенке трубы.

Если бы стенка скважины была абсолютно жесткой, смещения в рассматриваемой плоской волне были бы только про­дольными, а ее фазовая скорость равнялась скорости упру­гих волн в свободной жидкости. Фактически порода сжимаема, в связи, с чем наличие в жидкости областей повышенного и пониженного давления вызывает небольшие радиальные смещения стенок, и столб жидкости дополнительно укорачивается или растягивается. Это явление эквивалентно увеличению сжимаемости среды, и скорость волны оказывается несколько меньше . В породе радиальные колебания затухают на длине волны, в связи, с чем рассматриваемая волна в целом является поверх­ностной. Ее существование предсказано в результате анализа выражения (2.42) в низкочастотном приближении при стремле­нии к нулю знаменателя коэффициента А. В геофизике эту волну называют трубной, гидроволной или волной Лэмба и обозначают L. Численный анализ функции возбуждения волны Лэмба показывает, что она быстро убывает при увеличении ча­стоты. Поэтому ее спектр более низкочастотен, чем спектр других волн.

Поскольку радиальные смещения в волне Лэмба невелики, рассеяние энергии в породу минимально и волна распростра­няется на большие расстояния вдоль оси z с малым затуханием. Картина меняется, если пласт проницаем. Расхождение фронта и фильтрация жидкости из областей сгущения в пласт и из пласта в области разряжения, соответствующие возникновению продольной волны второго рода, приводит к заметному снижению амплитуды волны Лэмба. На этом явлении основано выде­ление проницаемых пластов.

Наряду с волной Лэмба в скважине образуется поверхност­ная волна релеевского типа. Поскольку в рассматриваемом слу­чае твердая среда контактирует с жидкостью, а не с воздухом, как в наземной сейсморазведке, это псевдорелеевская волна. Ее скорость, как и у обычной релеевской волны, близка к скорости поперечной волны в породе, но при распространении она непрерывно излучает энергию в жидкость и быстро затухает. Поэтому ее трудно обнаружить на фоне обменной головной волны, скорость которой, как будет показано ниже, равна .

Основное практическое значение среди рассмотренных выше волн имеет волна Лэмба. Найдем выражение для ее скорости, считая для простоты, что прибора в скважине нет.

Смещение частиц в волне Лэмба, как уже говорилось, направлено главным образом вдоль оси z и может рассматриваться как функция координаты z и времени t. Радиальные смещения стенки скважины ,- незначительны.

Движение в осевом направлении обусловлено градиентом давления вдоль оси z, что можно выразить количественно, приравнивая действующую в этом направлении силу к массе, умноженной на ускорение для элементарной цилиндрической обла­сти длиной :

где — радиус скважины. Отсюда

. (3.1)

По мере роста давления, объем элементарной цилиндрической области изменяется. Его изменение состоит из двух частей: , обусловленной осевым движением, и , обусловленной радиальным расширением стенки сква­жины. Деление суммы этих частей на объем дает

или, в соответствии с формулой (1.7),

(3.2)

Г. Лэмб (1960 г.) показал, что для рассматриваемых условий

, (3.3)

где — константа Ламэ (сдвиговая жесткость породы). В результате, выражение (3.2) принимает вид:

Выполнив дифференцирование по z, получим:

(3.4)

С учетом (3.1), выражение (3.4) можно записать как

(3.5)

Сравнивая выражения (3.5) и (2.5), видим, что полученное волновое уравнение характеризует волну, распространяющуюся вдоль скважины со скоростью

(3.6)

Преобразовав (3.6), с учетом (2.7), получим:

. (3.7)

Итак, скорость волны Лэмба несколько меньше скорости продольной волны в скважинной жидкости. Измерив и зная параметры скважинной жидкости и , определяют .

С помощью формул (2.7) и (2.17) уравнение (3.7) преобразуется к виду:

(3.8)

из чего следует, что, измерив скорости , , и зная плотность жидкости , можно определить плотность породы .

Головные волны в скважине

Наряду с отраженной волной на стенке скважины образуется преломленная волна (рис. 2). Направления их волновых векторов связаны законом Снеллиуса, являющимся выражением принципа причинности, который в данном случае можно сформулировать как условие неразрывности фронтов отраженной и преломленной волн. На основе простых геометрических построений не трудно показать, что если это условие выполняется, . Угол для которого (соответственно ), называют первым критическим. При углах падения имеет место полное внутреннее отражение, в связи, с чем возникают головные волны, распространяющиеся вдоль границы твердой и жидкой фаз со скоростью продольной волны в породе. Учитывая механизм образова­ния, их, как и преломленные, обозначают . Очевидно, головная волна образуется, если .

Поскольку скорость головной волны больше скорости продольной волны в жидкости, в скважине возникает вторичная продольная волна, обозначаемая . Механизм ее образования можно пояснить на основе принципа Гюйгенса — Фре­неля. Для этого каждую точку стенки скважины, например A, В, С, D (рис. 3), следует считать источником волны , воз­никающей в момент прохождения через эту точку фронта волны . В изотропной среде, коей является скважинная жидкость, такие парциальные продольные волны будут сферическими, так как они распространяются во все стороны со скоростью . Допустим, что фронт волны , движущейся со скоростью , находится в точке Е, а за t секунд до этого находился в точке А. Очевидно волна, излученная из А, к этому времени представ­ляет сферу радиусом (окружности 1 на рис. 3, а и б). Аналогично волны, излученные из точек В, С, D, представляют сферы 2, 3, 4. По принципу Гюйгенса парциальные волны гасят друг друга в результате интерференции всюду, за исключением их огибающей, которая образует в скважине коническую по­верхность (линия 5 на рис. 3, а). Эта волновая поверхность представляет фронт волны . Скорость движения волны в направлении, перпендикулярном фронту, — . в направлении оси скважины — . Скорость является, таким образом, ка­жущейся скоростью волны , вдоль оси z. Поскольку фронт перемещается под критическим углом к стенке скважины. Допустив, что скорость в породе меньше чем в жидкости, убеждаемся, что общая огибающая в этом случае не возникает и волна в жидкости не образуется (см. рис. 3, б).

Угол , для которого , называют вто­рым критическим. При углах также имеет место пол­ное внутреннее отражение, в связи, с чем в породе возникают головные волны, распространяющиеся вдоль границы твердой и жидкой фаз со скоростью поперечной волны в породе. Условие образования головной волны в данном случае . Эта волна также образует продольную волну в жидкости, обозначаемую . Ее конический фронт перемещается вдоль оси скважины со скоростью .

Поскольку в волне энергия перераспределяется между волнами одного типа — продольными — эту волну называют монотипной головной. Соответственно волну на­зывают обменной головной.

Головные волны и являются неоднородными: их амплитуды при уменьшаются с увеличением r. Уменьшение амплитуд тем интенсивнее, чем больше угол , при ко­тором возникла головная волна. Поэтому коэффициент передачи энергии в головную волну максимален вблизи . Условно можно считать, что в кольцевом зазоре «прибор — стенка скважины» волна образуется не во всех точках закритической области (), а дискретно в точках А, В, С и т. д. (см. рис. 2), расположенных, как нетрудно видеть, на расстоянии одна от другой. Интерференцией этих волн (их «пристраиванием» одна к другой) объясняется вид головной монотипной волны, регистрируемой в скважине. Действительно, форма головной волны должна, казалось бы, повторять форму излученного импульса, имеющего 1,5—2 периода. Однако ее реальная форма представляет собой цуг колебаний, число периодов в котором существенно больше.

Вследствие интерференции распределение энергии в спектре зарегистрированных колебаний отличается от ее распределения в спектре излученных колебаний. Подчеркиваются те частоты, для которых интерференция происходит в фазе, иными словами, для которых на участках ADB, ВЕС (см. рис. 2) укладывается целое число волн. Это явление называют конструктивной интер­ференцией. Поскольку отрезок АD для волны меньше соответствующего отрезка для волны , видимая частота обменной волны меньше, чем монотипной.

В общем случае видимая частота соответствует наименьшей частоте конструктивной интерференции. Определим ее.

Время распространения волны на участке АDВ равно . Время прохождения волной уча­стка АВ равно . Интерференция в фазе возникает, если разность этих времен кратна периоду. Отсюда, учитывая, что , получаем

Где целое число, — частота волны, испытавшей кон­структивную интерференцию. Видимая частота волны соответствует .

Видимую частоту волны определяют аналогичным образом.

В реальных условиях диаметр скважины меняется, а прибор отклоняется от оси. Поэтому распределение энергии в спектре зарегистрированных колебаний, в известной степени, случайная величина и спектральный анализ сигналов с целью определения параметров по­род целесообразно проводить по начальной части волновой картины, которая не ослож­нена конструктивной интерференцией.

При распространении головных волн вдоль стенки скважины они затухают за счет расхождения и поглощения. На низких частотах расхождение монотипной волны пропорционально а обменной — , где — расстояние, пройденное в породе. Если оно учтено, затухание можно считать функцией только параметров среды.

Интерференция волн затрудняет, а иногда делает невозможной их идентификацию.

Рассмотрим в лучевом приближении положение фронтов пря­мых , отраженных и монотипных волн в сква­жине в моменты времени и (рис. 4).

Допустим в момент времени t = 0 излучен импульс упругих колебаний, а в момент головная волна впервые достигла оси z скважины в точке В, расположенной на расстоянии от источника излучения А. Одновременно с ней достиг точки В и фронт отраженной волны , который может быть построен с помощью мнимого источника А'. Прямая волна к этому моменту обгоняет фронт головной волны на величину отрезка ВС. Однако фронт волны движется вдоль оси z со скоростью большей, чем фронт волны . Поэтому к некоторому времени он обгоняет его на величину отрезка DЕ. Очевидно, что

.

Время прихода волны в точку В

.

Время прихода головной волны в точку, расположенную на расстоянии длины зонда от источника

(3.9)

Зависимость времени прихода волны от расстояния между излучателем и приемником называют годографом этой волны. Выражение (3.9)—уравнение годографа монотипной волны. Для прямой волны уравнение годографа имеет вид

. (3.10)

Сопоставление выражений (3.9) и (3.10) показывает, что при

(3.11)

монотипная волна обгоняет прямую.

Аналогично можно найти годограф обменной волны и опре­делить расстояние, при котором ее удастся зарегистрировать раньше, чем возникнет интерференция с прямой волной.

Таким образом, существует принципиальная возможность регистрации не осложненных интерференцией головных волн в скважине. Их параметры характеризуют упругие свойства среды за стенкой скважины.