Упругие волны в однофазных горных породах

Акустический метод

Одним из ведущих методов изучения разрезов скважин является акустический метод, основанный на измерения параметров упругого волнового поля в скважине. Метод предназначен для непосредственного изучения акустических параметров волнового поля горных пород пересечённых скважиной. Акустические параметры горных пород функционально связаны с физико-механическими свойствами, пористостью, структурными особенностями и характером насыщения. В обсаженных скважинах характеристики акустических сигналов также тесно связаны с условиями передачи упругих деформаций на границе цементного кольца с породой и с колонной. Эти обстоятельства создают предпосылки для эффективного применения этих зависимостей для решения широкого круга геофизических задач.

В лекции описаны основные уравнения акустического метода, а также даны характеристики основных видов волн, возникающих в скважине и околоскважинном пространстве.

Элементы теории упругости

Действие внешних сил на тела, находящиеся в равновесии, компенсируют внутренние упругие силы, порождающие в телах упругие напряжения.

Выделим в среде малый объем , а в нем — площадку dS. Если на нее действует произвольно направленная сила dF, вектор напряжения на площадке

, (1.1)

где индекс n указывает направление, нормальное к площадке. На площадках, перпендикулярных координатным осям , , в этом случае согласно формуле (1.1) действуют вектора напряжений , , . Разложив вектор на составляющие, получим , , . Очевидно, что — напряжение нор­мальное к площадке, перпендикулярной оси ; и — на­пряжения, касательные к ней и направленные по осям , соответственно. Разложив аналогично и , получим девять составляющих, полностью характеризующих напряжения в данном точке среды и именуемые тензором напряжений σ. В координатном форме

(1.2)

В идеальных жидкостях и газах сдвиговая упругость отсутствует, в связи с чем касательные напряжения не возни­кают, вектора напряжений направлены навстречу действую­щей на рассматриваемый объем силе, т. е. численно равны давлению Р с обратным знаком.

Условно считая давление тензором, запишем

, (1.3)

где — тензор упругих напряжений в жидкости.

В процессе сейсмоакустических исследований среда под­вергается воздействию внешних сил, приводящему к смеще­нию ее частиц . Возникающую при этом дефор­мацию полностью определяет тензор

(1.4а)

где при i = j — относительные удлинения (сжатия) бесконечно малых отрезков, которые до деформации были парал­лельны координатным осям; при i ≠ j — сдвиговые деформации, характеризующие изменение углов между осями координат в результате деформации. В общем случае

(1.4б)

Согласно (1.4б) сумма диагональных членов матрицы (1.4а)

,

где , — невозмущенный объем рассматриваемого элемента среды; —изменение объема. Величину называют дилатацией.

В цилиндрической системе координат удлинения (сжатия) обозначают , , , а сдвиговые деформации — , , . Их можно выразить через смещения:

; ; ;

; ; (1.5)

Линейную связь между тензором напряжения и тензором деформации при температуре T=const выражает обобщен­ный закон Гука. Для изотропной среды он имеет вид

(1.6)

где λ и µ — положительные величины, называемые констан­тами Ламэ.

Часто µ называют модулем сдвига, так как он определяет величину сдвига при данном касательном напряжении. Закон Гука для жидкостей и газа (µ=0) с учетом выражения (1.3) запишем в виде

, (1.7)

где —модуль всестороннего сжатия, играющий для жидко­сти роль константы Ламэ λ. Знак минус указывает на умень­шение объема с ростом давления. При характерных для сейсмоакустики слабых возмущениях

, (1.8)

где — невозмущенная плотность среды; — изменение плот­ности. Поэтому выражение (1.7) можно записать следую­щим образом:

, (1.9)

где β — адиабатическая сжимаемость жидкости.

Уравнения акустики

Упругие волны во флюидах - жидкостях и газах - распространяются вследствие того, что движение частиц среды создает чередующиеся сжатия и разрежения, которые вызывают движение в следующем слое флюида. Поскольку флюиды обла­дают объемной упругостью и не обладают сдвиговой, возмущения передаются вдоль направления колебаний и во флюидах существуют только продольные волны. Твердые тела обладают как объемной, так и сдвиговой упругостью, и в них наряду с продольными волнами возникают поперечные.

Основные явления, свойственные волнам различной природы, описываются универсальными математическими зависимостями. К ним относятся фазовая скорость υ, комплексное волновое число К, его составляющие — фазовая постоянная а и коэффициент поглощения b. Акустические характеристики изотропных сред описываются мо­дулями перечисленных величин. Справедливы также дисперсионные соотношения, в соответствии с которыми наличие объемной частотной дисперсии скорости свидетельствует о погло­щении, а наличие поглощения обусловливает объемную частотную дисперсию скорости. Кроме того, избыточное давление, со­здаваемое изучаемыми в сейсмоакустике волнами, мало, в связи с чем среда по отношению к ним линейна и волну произвольной формы можно представить суперпозицией гармонических волн. Поэтому, изучая особенности распространения упругих волн, будем, как и раньше, пользоваться гармоническими представлениями. Результат для волны произвольной формы можно получить, воспользовавшись преобразованиями Фурье.

Большинство горных пород — насыщенные пористые среды (НПС), состоящие из твердой фазы (матрицы) и флюида – порозаполнителя. При сейсмоакустических исследованиях возмуще­ния в среде а соответственно и смещения частиц, малы и можно считать, что разрывов в ней не возникает. В этом смысле горная порода - сплошная многофазная среда, упругие характеристики которой определяются характеристиками матрицы и флюида а также межфазными взаимодействиями. В тех случаях, когда объем порового пространства мал, породу можно условно считать однофазной.

Упругие волны, распространяющиеся в реальных средах, постепенно затухают за счет расхождения фронтов и поглощения энергии — диссипации. На сейсмоакустических частотах основ­ной механизм диссипации в однофазных средах — неравновес­ный теплообмен между участками сжатия и растяжения, а также трение в материале. В многофазных средах диссипа­ция существенно возрастает за счет появления теплообмена между матрицей и флюидом, межфазного трения и некоторых других факторов. В целом диссипация в однофазных породах значительно меньше, чем в НПС, и при их изучении можно воспользоваться законами распространения волн в идеально упругих средах.

Идеально упругие среды — среды без поглощения. Их вол­новое число имеет только действительную часть: К = а(ω). Фа­зовая скорость определяется по формуле υ = ω /а(ω) и не зави­сит от частоты. Поэтому волны акустического и сейсмического диапазонов частот распространяются в идеально упругих средах с одинаковыми скоростями.

Неидеально упругие среды характеризуются поглощением, комплексным волновым числом и являются в этой связи диспергирующими: скорость и затухание в них — функции частоты.

В общем случае скорость и затухание, связанное с поглоще­нием, зависят от свойств горных пород, в связи, с чем их можно считать основными информационными параметрами упругих волн. Скорости, фазы, времена распространения волн на фиксированных базах называют кинематическими параметрами. Те параметры, которые связаны с энергией волн и характеризуют, в частности, их затухание, называют динамическими. На практике наиболее употребимым кинематическим параметром является интервальное время Δt — время прохождения волной пути, равного единице длины. Очевидно, что Δt = 1/υ. Наиболее употребимый динамический параметр — отношение амплитуд волн в двух точках, расположенных на разном расстоянии от излучателя.

Скорость, затухание и частота гармонических волн в изо­тропных средах связаны дисперсионным уравнением вида или системой таких уравнений. Их получают, преобразуя систему волновых уравнений, которая, в свою очередь, является результатом преобразования полной системы уравнений гидродинамики. Решение дисперсионного уравнения (или системы уравнений) позволяет определить скорость и затухание как функцию частоты.

Проиллюстрируем сказанное на простейшем примере распространения плоской волны давления в идеальной жидкости (газе). Под последней понимаем жидкость (газ), вязкость и теплопроводность которой равны нулю, и которую поэтому можно считать идеально упругой.

При распространении волны частицы жидкости смещаются относительно положений равновесия - движутся. Известно, что любые движения жидкости описываются полной системой урав­нении гидродинамики. Следовательно, упругая волна в жидкости также должна удовлетворять этим уравнениям.

Полная система уравнений гидродинамики имеет вид:

; (2.1а)

; (2.1б)

; (2.1в)

где δ — плотность жидкости; — скорость ее частиц; — плотность сторонних сил; Р, V, Т — соответственно давление, объем и температура.

Равенство (2.1а) называют уравнением движения (уравнением Эйлера). Оно характеризует движение частиц под действием сил упругости и сторонних сил и, как легко убедиться, выражает второй закон Ньютона в дифференциальной форме. Равенство (2.1б) называют уравнением неразрывности, поскольку оно получено в предположении, что в среде нет раз­рывов, и изменение массы в объеме V в отсутствии сторонних источников массы равно массе, прошедшей через поверхность, ограничивающую этот объем. Равенство (2.1в), называемое уравнением состояния, связывает давление и температуру жидкости с ее объемом.

Уравнения, входящие в систему (2.1), нелинейны, а потому достаточно сложны. Поскольку нас интересуют только волны малых амплитуд, эти уравнения можно линеаризовать.

Из курса математической физики известно, что в общем слу­чае

Здесь первый член — локальное ускорение — характеризует изменение скорости в данном месте пространства, а последую­щие образуют конвективное ускорение, обусловленное смеще­нием частиц из точки с одной скоростью в точку с другой ско­ростью. При сейсмоакустических исследованиях амплитуды волн а соответственно смещения частиц, малы, в связи с чем . По этой же причине справедливы неравенства: ; . где — плотность невозмущенной среды; — приращение плотности; — вектор смещения частиц, связанный с их скоростью соотношением ; — длина волны. Из сказанного следует, что и , в связи с чем уравнения (2.1а) и (2.1б) в линеаризованном виде можно записать следующим образом:

; (2.2а)

. (2.2б)

Воспользовавшись линеаризованным уравнением состояния (1.9) для идеальной жидкости и повторно продифференциро­вав выражение (2.2б) по t, получим

. (2.3)

Если положить плотность сторонних сил, в том числе сил трения, равными нулю, уравнение (2.2а) примет вид:

. (2.4)

Подставив выражение (2.4) в (2.3), найдем волновое урав­нение для акустического давления:

(2.5)

Давление, подобно другим параметрам плоской гармониче­ской волны, распространяющейся вдоль оси x (при x >0), вы­ражается соотношением:

. (2.6)

Множитель , как и для электромагнитных волн, характеризует поглощение. Положив силы трения равными нулю, а температуру Т постоянной, мы заведомо приняли =1, а К = а. Подставив (2.6) в (2.5) и проведя необходимые преобразования, получим искомое дисперсионное уравнение . Из двух его решений одно дает скорость плоской волны, распространяющейся в положительном направлении оси х:

(2.7)

Итак, скорость в идеальной жидкости зависит только от свойств жидкости и не является функцией частоты. Кроме того, характерное для жидкости и газа отсутствие сдвиговой упруго­сти предопределяет существование в них волн только одного типа — продольных.

Несмотря на простоту формулы (2.7), она по структуре подобна другим формулам скорости упругих волн, в том числе и в твердых средах: в числителе под корнем — выражение, характеризующее жесткость (упругость) среды и, следовательно, скорость передачи напряжений от частицы к частице, в знаменателе — соответствующая плотность, характеризующая инерционность частиц. В бесконечно жесткой среде напряжения нарастали бы на бесконечно малых расстояниях, т.е. бесконечно быстро, и скорость стремилась к бесконечности. При стремле­нии к бесконечности массы, время, необходимое для изменения положения частиц, стремилось бы к бесконечности, а скорость — к нулю. При этом в обоих случаях к нулю стремилась бы и амплитуда смещения. То обстоятельство, что с увеличением плотности акустическая скорость в твердых однофазных телах обычно растет, а не падает, обусловлено тем, что при увеличении плотности реального вещества, жесткость растет быстрее плотности.

Головные волны в скважине

Наряду с отраженной волной на стенке скважины образуется преломленная волна (рис. 2). Направления их волновых векторов связаны законом Снеллиуса, являющимся выражением принципа причинности, который в данном случае можно сформулировать как условие неразрывности фронтов отраженной и преломленной волн. На основе простых геометрических построений не трудно показать, что если это условие выполняется, . Угол для которого (соответственно ), называют первым критическим. При углах падения имеет место полное внутреннее отражение, в связи, с чем возникают головные волны, распространяющиеся вдоль границы твердой и жидкой фаз со скоростью продольной волны в породе. Учитывая механизм образова­ния, их, как и преломленные, обозначают . Очевидно, головная волна образуется, если .

Поскольку скорость головной волны больше скорости продольной волны в жидкости, в скважине возникает вторичная продольная волна, обозначаемая . Механизм ее образования можно пояснить на основе принципа Гюйгенса — Фре­неля. Для этого каждую точку стенки скважины, например A, В, С, D (рис. 3), следует считать источником волны , воз­никающей в момент прохождения через эту точку фронта волны . В изотропной среде, коей является скважинная жидкость, такие парциальные продольные волны будут сферическими, так как они распространяются во все стороны со скоростью . Допустим, что фронт волны , движущейся со скоростью , находится в точке Е, а за t секунд до этого находился в точке А. Очевидно волна, излученная из А, к этому времени представ­ляет сферу радиусом (окружности 1 на рис. 3, а и б). Аналогично волны, излученные из точек В, С, D, представляют сферы 2, 3, 4. По принципу Гюйгенса парциальные волны гасят друг друга в результате интерференции всюду, за исключением их огибающей, которая образует в скважине коническую по­верхность (линия 5 на рис. 3, а). Эта волновая поверхность представляет фронт волны . Скорость движения волны в направлении, перпендикулярном фронту, — . в направлении оси скважины — . Скорость является, таким образом, ка­жущейся скоростью волны , вдоль оси z. Поскольку фронт перемещается под критическим углом к стенке скважины. Допустив, что скорость в породе меньше чем в жидкости, убеждаемся, что общая огибающая в этом случае не возникает и волна в жидкости не образуется (см. рис. 3, б).

Угол , для которого , называют вто­рым критическим. При углах также имеет место пол­ное внутреннее отражение, в связи, с чем в породе возникают головные волны, распространяющиеся вдоль границы твердой и жидкой фаз со скоростью поперечной волны в породе. Условие образования головной волны в данном случае . Эта волна также образует продольную волну в жидкости, обозначаемую . Ее конический фронт перемещается вдоль оси скважины со скоростью .

Поскольку в волне энергия перераспределяется между волнами одного типа — продольными — эту волну называют монотипной головной. Соответственно волну на­зывают обменной головной.

Головные волны и являются неоднородными: их амплитуды при уменьшаются с увеличением r. Уменьшение амплитуд тем интенсивнее, чем больше угол , при ко­тором возникла головная волна. Поэтому коэффициент передачи энергии в головную волну максимален вблизи . Условно можно считать, что в кольцевом зазоре «прибор — стенка скважины» волна образуется не во всех точках закритической области (), а дискретно в точках А, В, С и т. д. (см. рис. 2), расположенных, как нетрудно видеть, на расстоянии одна от другой. Интерференцией этих волн (их «пристраиванием» одна к другой) объясняется вид головной монотипной волны, регистрируемой в скважине. Действительно, форма головной волны должна, казалось бы, повторять форму излученного импульса, имеющего 1,5—2 периода. Однако ее реальная форма представляет собой цуг колебаний, число периодов в котором существенно больше.

Вследствие интерференции распределение энергии в спектре зарегистрированных колебаний отличается от ее распределения в спектре излученных колебаний. Подчеркиваются те частоты, для которых интерференция происходит в фазе, иными словами, для которых на участках ADB, ВЕС (см. рис. 2) укладывается целое число волн. Это явление называют конструктивной интер­ференцией. Поскольку отрезок АD для волны меньше соответствующего отрезка для волны , видимая частота обменной волны меньше, чем монотипной.

В общем случае видимая частота соответствует наименьшей частоте конструктивной интерференции. Определим ее.

Время распространения волны на участке АDВ равно . Время прохождения волной уча­стка АВ равно . Интерференция в фазе возникает, если разность этих времен кратна периоду. Отсюда, учитывая, что , получаем

Где целое число, — частота волны, испытавшей кон­структивную интерференцию. Видимая частота волны соответствует .

Видимую частоту волны определяют аналогичным образом.

В реальных условиях диаметр скважины меняется, а прибор отклоняется от оси. Поэтому распределение энергии в спектре зарегистрированных колебаний, в известной степени, случайная величина и спектральный анализ сигналов с целью определения параметров по­род целесообразно проводить по начальной части волновой картины, которая не ослож­нена конструктивной интерференцией.

При распространении головных волн вдоль стенки скважины они затухают за счет расхождения и поглощения. На низких частотах расхождение монотипной волны пропорционально а обменной — , где — расстояние, пройденное в породе. Если оно учтено, затухание можно считать функцией только параметров среды.

Интерференция волн затрудняет, а иногда делает невозможной их идентификацию.

Рассмотрим в лучевом приближении положение фронтов пря­мых , отраженных и монотипных волн в сква­жине в моменты времени и (рис. 4).

Допустим в момент времени t = 0 излучен импульс упругих колебаний, а в момент головная волна впервые достигла оси z скважины в точке В, расположенной на расстоянии от источника излучения А. Одновременно с ней достиг точки В и фронт отраженной волны , который может быть построен с помощью мнимого источника А'. Прямая волна к этому моменту обгоняет фронт головной волны на величину отрезка ВС. Однако фронт волны движется вдоль оси z со скоростью большей, чем фронт волны . Поэтому к некоторому времени он обгоняет его на величину отрезка DЕ. Очевидно, что

.

Время прихода волны в точку В

.

Время прихода головной волны в точку, расположенную на расстоянии длины зонда от источника

(3.9)

Зависимость времени прихода волны от расстояния между излучателем и приемником называют годографом этой волны. Выражение (3.9)—уравнение годографа монотипной волны. Для прямой волны уравнение годографа имеет вид

. (3.10)

Сопоставление выражений (3.9) и (3.10) показывает, что при

(3.11)

монотипная волна обгоняет прямую.

Аналогично можно найти годограф обменной волны и опре­делить расстояние, при котором ее удастся зарегистрировать раньше, чем возникнет интерференция с прямой волной.

Таким образом, существует принципиальная возможность регистрации не осложненных интерференцией головных волн в скважине. Их параметры характеризуют упругие свойства среды за стенкой скважины.

Заключение

Выше описанные закономерности появления различных типов волн, позволяют применять результаты акустических методов исследования скважин в следующих направлениях:

1. Получение данных при интерпретации данных сейсморазведки.

2. Литологическое расчленение разрезов скважин.

3. Оценка прочностных свойств горных пород

4. Выделение коллекторов, оценка их пористости и типа порового пространства.

5. Изучение качества обсадки скважины – цементометрия.

6. Исследования на месторождениях твёрдых полезных ископаемых, в инженерно-геологических и гидрологических скважинах.

7. Скважинное акустическое телевидение.

8. Акустические исследования в процессе бурения скважин.

9. Обнаружение зон АВПД.

Акустический метод

Одним из ведущих методов изучения разрезов скважин является акустический метод, основанный на измерения параметров упругого волнового поля в скважине. Метод предназначен для непосредственного изучения акустических параметров волнового поля горных пород пересечённых скважиной. Акустические параметры горных пород функционально связаны с физико-механическими свойствами, пористостью, структурными особенностями и характером насыщения. В обсаженных скважинах характеристики акустических сигналов также тесно связаны с условиями передачи упругих деформаций на границе цементного кольца с породой и с колонной. Эти обстоятельства создают предпосылки для эффективного применения этих зависимостей для решения широкого круга геофизических задач.

В лекции описаны основные уравнения акустического метода, а также даны характеристики основных видов волн, возникающих в скважине и околоскважинном пространстве.

Элементы теории упругости

Действие внешних сил на тела, находящиеся в равновесии, компенсируют внутренние упругие силы, порождающие в телах упругие напряжения.

Выделим в среде малый объем , а в нем — площадку dS. Если на нее действует произвольно направленная сила dF, вектор напряжения на площадке

, (1.1)

где индекс n указывает направление, нормальное к площадке. На площадках, перпендикулярных координатным осям , , в этом случае согласно формуле (1.1) действуют вектора напряжений , , . Разложив вектор на составляющие, получим , , . Очевидно, что — напряжение нор­мальное к площадке, перпендикулярной оси ; и — на­пряжения, касательные к ней и направленные по осям , соответственно. Разложив аналогично и , получим девять составляющих, полностью характеризующих напряжения в данном точке среды и именуемые тензором напряжений σ. В координатном форме

(1.2)

В идеальных жидкостях и газах сдвиговая упругость отсутствует, в связи с чем касательные напряжения не возни­кают, вектора напряжений направлены навстречу действую­щей на рассматриваемый объем силе, т. е. численно равны давлению Р с обратным знаком.

Условно считая давление тензором, запишем

, (1.3)

где — тензор упругих напряжений в жидкости.

В процессе сейсмоакустических исследований среда под­вергается воздействию внешних сил, приводящему к смеще­нию ее частиц . Возникающую при этом дефор­мацию полностью определяет тензор

(1.4а)

где при i = j — относительные удлинения (сжатия) бесконечно малых отрезков, которые до деформации были парал­лельны координатным осям; при i ≠ j — сдвиговые деформации, характеризующие изменение углов между осями координат в результате деформации. В общем случае

(1.4б)

Согласно (1.4б) сумма диагональных членов матрицы (1.4а)

,

где , — невозмущенный объем рассматриваемого элемента среды; —изменение объема. Величину называют дилатацией.

В цилиндрической системе координат удлинения (сжатия) обозначают , , , а сдвиговые деформации — , , . Их можно выразить через смещения:

; ; ;

; ; (1.5)

Линейную связь между тензором напряжения и тензором деформации при температуре T=const выражает обобщен­ный закон Гука. Для изотропной среды он имеет вид

(1.6)

где λ и µ — положительные величины, называемые констан­тами Ламэ.

Часто µ называют модулем сдвига, так как он определяет величину сдвига при данном касательном напряжении. Закон Гука для жидкостей и газа (µ=0) с учетом выражения (1.3) запишем в виде

, (1.7)

где —модуль всестороннего сжатия, играющий для жидко­сти роль константы Ламэ λ. Знак минус указывает на умень­шение объема с ростом давления. При характерных для сейсмоакустики слабых возмущениях

, (1.8)

где — невозмущенная плотность среды; — изменение плот­ности. Поэтому выражение (1.7) можно записать следую­щим образом:

, (1.9)

где β — адиабатическая сжимаемость жидкости.

Уравнения акустики

Упругие волны во флюидах - жидкостях и газах - распространяются вследствие того, что движение частиц среды создает чередующиеся сжатия и разрежения, которые вызывают движение в следующем слое флюида. Поскольку флюиды обла­дают объемной упругостью и не обладают сдвиговой, возмущения передаются вдоль направления колебаний и во флюидах существуют только продольные волны. Твердые тела обладают как объемной, так и сдвиговой упругостью, и в них наряду с продольными волнами возникают поперечные.