Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Упругие волны в многофазных горных породахСодержание книги Поиск на нашем сайте
Многофазные горные породы являются насыщенными пористыми средами (НПС). Их изучению посвящено много работ. Ф.Гассман (1951 г.) предположил, что при распространении упругих волн рассматриваемые объемы НПС подвергаются всестороннему сжатию и растяжению. Взаимные перемещения флюида и матрицы при этом пренебрежимо малы. Однако такое допущение справедливо лишь на низких, в частности сейсмических, частотах, что подтверждают результаты экспериментов. Исследования, учитывающие межфазные взаимодействия, т.е. относительное смещение матрицы и флюида, начаты в 1944 г. Я. И. Френкелем и развиты затем в работах М. А. Био (1956 г.). Согласно модели Био, флюид с плотностью и вязкостью может перемещаться относительно упругой матрицы, имеющей коэффициент пористости и проницаемости . На частотах, меньших критической частоты , (2.18) вязкость флюида не зависит от частоты. При вводится корректирующий множитель — оператор Био, связывающий действительное значение вязкости с ее кажущейся, зависящей от частоты, величиной (2.19) где — оператор Био, значение которого зависит от структуры порового пространства и величины отношения . Рассмотрим особенности распространения упругих волн в безграничной изотропной НПС, базируясь на теории Френкеля — Био — Николаевского. Параметры волн определим, как и ранее, преобразуя исходную систему уравнений гидродинамики. Однако количество исходных уравнений возрастает, т. к. они должны быть записаны отдельно для матрицы и флюида - порозаполнителя. Примем плотности вещества матрицы и флюида равными соответственно , и , а коэффициент пористости где , , — невозмущенные части соответствующих величин; , , — приращения этих величин в поле упругих волн. При этом >> ; >> ; >> и, следовательно, ; ; , причем ; ; . Предполагая возможность относительного смещения матрицы и флюида, будем считать, что частицы матрицы имеют скорость , а флюида . Уравнения неразрывности и движения в этой связи запишем отдельно для матрицы и флюида, по аналогии с уравнениями (2.2) и (2.8б) для жидкости и однофазной твердой среды: ; (2.20а) ; (2.20б) ; (2.20в) (2.20г) где и ; — плотность сил трения жидкость — твердая фаза и твердая фаза — жидкость. Очевидно, в данном случае Плотность сил трения, возникающих при фильтрации вязкой жидкости сквозь пористую среду с коэффициентами пористости и проницаемости и , рассчитывают по формуле Н. Е. Жуковского. С учетом (2.19) она имеет вид: (2.21) где α — гидродинамический радиус пор, оцениваемый по формуле Поскольку среда неразрывна, что учитывается в уравнениях состояния, уравнения неразрывности (2.20а) для флюида и (2.20б) для матрицы линейно зависимы. Поэтому одно из них, например (2.20б), исключим из дальнейшего рассмотрения, а второе преобразуем следующим образом: (2.22) Уравнения движения (2.20в) для флюида и (2.20г) для матрицы преобразуем, учитывая формулу (2.21): ; (2.23а) . (2.23б) Введем скалярный и векторный потенциалы для вектора смещения частиц флюида и вектора смещения частиц матрицы: ; . В этом случае (2.24) Подставив выражение для в уравнение неразрывности (2.22), запишем: . (2.25) Исключив из (2.25) дифференцирование по t получим первое уравнение искомой системы: . (2.26) Второе уравнение найдем, подставив выражения (2.24) в равенство (2.23а), применив, для выделения потенциальных членов, оператор div, и исключив, как и при выводе уравнения (2.12), лапласиан: . (2.27) Для вывода третьего уравнения найдем разность выражений (2.23а) и (2.23б), условно считая давление тензором (1.3): . (2.28) Напряженное состояние НПС характеризуют тензором эффективных напряжений (2.29а) позволяющим учесть снижение напряжения в матрице за счет того, что давление в поровой жидкости действует навстречу давлению, деформирующему рассматриваемый объем. Очевидно, при , тензор . Величина — вектор, содержащий потенциальную и соленоидальную части. Поэтому можем записать . (2.29б) Подставив в (2.28) выражения (2.24), применив оператор div, учтя (2.29а) и (2.29б) и исключив, в конечном счете лапласиан, найдем третье уравнение системы: (2.30) Равенства (2.26), (2.27), (2.30) являются системой волновых уравнений для продольных волн. При этом в три уравнения входят шесть неизвестных — Р, , , , , . Это произошло потому, что не были использованы уравнения состояния среды, с помощью которых , , можно выразить через Р, , . Первым уравнением состояния является уравнение состояния жидкости (1.9): , (2.31) второе и третье имеют вид: ; (2.32) , где и — модули объемной и сдвиговой сцементированности породы, характеризующие снижение модуля ее объемной или сдвиговой упругости при по отношению к модулю объемной или сдвиговой упругости при . Иными словами, , . Для твердой однофазной среды . Запишем выражения скалярных потенциалов плоских гармонических волн для матрицы и флюида: ; . (2.33) Если теперь подставим выражения (2.31), (2.32) и (2.33) в (2.26), (2.27) и (2.30) и сгруппируем коэффициенты при Р, , и получим систему уравнений (С. Л. Лопатников, 1987 г.): ; ; (2.34) , где ; ; ; ; ; ; ; Три уравнения (2.34) содержат три неизвестных Р, , и являются поэтому замкнутой системой. Упругие модули , , и для заданной модели среды считаются известными, поскольку могут быть заданы, рассчитаны или определены экспериментально для различных пространственных сочетаний матрицы и наполнителя, т.е. для различной структуры порового пространства. Для того чтобы система (2.34) была совместной, т.е. имела не только нулевое решение, ее определитель, как известно, должен равняться нулю. Воспользовавшись правилами нахождения определителей, получим биквадратное уравнение вида , (2.35) где ; ; . Оно и является искомым дисперсионным уравнением, позволяющим определить комплексное волновое число К, а соответственно, фазовые скорости и коэффициенты поглощения. Несмотря на громоздкость расчетов, можно получить точное решение для конкретной модели среды. В уравнении (2.35) четыре комплексных корня, два из которых характеризуют продольные волны, распространяющиеся в положительном направлении оси х, — их действительные части положительны, что соответствует положительным скоростям, а мнимые — отрицательны, что при х >0 соответствует затуханию волн на бесконечности. Наличие двух разных корней, являющихся комплексными волновыми числами, свидетельствует о наличии двух продольных волн разного типа. Одна из них — продольная волна первого рода — волна сжатия, аналогичная продольной волне, возникающей в однофазных средах. Вторая — продольная волна второго рода — связана с фильтрацией флюида за счет возникающих в нем под действием акустического поля перепадов давления. На низких частотах движение флюида в этой волне подчиняется уравнению диффузии, в связи, с чем ее часто называют волной диффузного типа. Для определения параметров поперечной волны выделяют с помощью оператора rot соленоидальные члены из волновых уравнений, полученных после подстановки выражений (2.24) в равенства (2.22), (2.23а) и (2.28). В результате находят квадратное уравнение, имеющее два комплексных корня. Тот, у которого действительная часть положительна, а мнимая отрицательна, и является комплексным волновым числом поперечной волны, распространяющейся в положительном направлении оси х. Таким образом, в безграничной НПС, в отличие от однофазной среды, распространяются акустические волны трех типов — две продольные и одна поперечная.
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-17; просмотров: 425; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.216.156.226 (0.008 с.) |