Дифференциальное уравнение статики идеальной

жидкости (уравнение Эйлера).

Перед тем, как начать изучать движение газов, следует рассмот­реть условие их равновесия. Это необходимо для выяснения условий поведения газа при малых скоростях движения, где его состояние близ­ко к равновесному, и для получения исходных предпосылок для последующих выводов. При этом изучают зависимость давления в данной точке от объемного веса газа и геометрического положения точки.

При выводе основных соотношений статики газов исходят из сле­дующих положений:

1. Газ или жидкость находится в равновесии, если для каждой произвольно выбранной части объема результирующая всех при­ложенных сил будет равна нулю.
2. Для любой выделенной части поверхности газа (жидкости), нахо­дящегося в равновесии, поверхностные силы перпендикулярны к поверхности и направлены внутрь ее.

Для вывода уравнения равновесия жидкости выделим в ней элемен­тарный прямоугольный параллелепипед с ребрами

dх, dу, dz и объемом dV=dx,dy,dz на этот параллелепипед действуют силы тяжести и силы давления, действующие на. каждую грань (рис.5).

Обозначим проекции ускорения силы тяжести на оси координат через g_x, g_y ,g_z. Тогда проекции самой силы тяжести на оси координат будут соответственно равняться

(17)

Эти силы должны быть уравновешены разностью давлений, приходя­щейся на соответствующие грани параллелепипеда.

При переходе от одной грани к противоположной давление, в общем случае, Р должно изменяться.

Рис. 5 К выводу уравнения движения Эйлера

И поэтому силу давления на грань «а» и на противоположную грань «в» можно запи­сать

Сила на грань «в» войдет в уравнение проекций со знаком минус.

И для грани, перпендикулярной к оси X, равнодействующая сил давле­ния равна:

(18)

Проек­ция объемной силы равна произведению массы ρ· dx · d y · dz на проекцию ускорения g_x, если рассматривать направление по оси Х.

ρ· dx · d y · dz ·g_x = g_x · ρ·dV (19)

а сумма сил, действующих в направлении оси X равна:

(20)

Если уравнение разделим на ρ·dV, получим

=0

Условие равновесия для всех трех координат будет иметь следующий вид:

(21)

или

(21.б)

Эта система носит название системы уравнений Эйлера- уравнений статики жидкости и газа. Умножил уравнение (2.17) первое на dх и последующее на dу, dz

и, склады­вая их, получим:

Трехчлен в левой части уравнения (2.18) представляет полный дифференциал давления, поэтому

(23)

Это уравнение называют основным уравнением статики жидкостей и газов. Уравнение (2.19) содержит две неизвестных функции Р и ρ поэтому для решения необходимо еще одно урав-нение. Таким является так называемое характеристическое уравнение или уравнение состояния, которое, в общем случае, определяет зависимость плотности от давления и температуры. Таким образом для газов уравнением состоя­ния является уравнение Клапейрона –Менделеева

,

где Р - абсолютное давление;

R - газовая постоянная, разная для различных газов, но не

зависящая от температу­ры и давления;

Т - абсолютная температура.

Если направить силу тяжести по координате у, то

(24)

Интегрируя последнее уравнение, получим:

Постоянную интегрирования С определяем из уравнения (2.21) в условиях сечения у_о, где газ соприкасается с атмосферой и имеет давление Р_о. Подставим вместо у = у_о и Р= Ро получим

(25)

Далее можно рассмотреть два случая.

 

 

Рис.6 К определению следствий из уравнения Эйлера

В первом случае (рис.6 а) газ соприкасается с воздухом снизу своего объема Обозначим разность геометрических отметок через Н = у - у_о (у > у _о), получим:

 

Р = Р _о - ρ·gН

Если в сосуде на высоте Н поставить V образный манометр, то он покажет разность давлений Δ Р между сосудом и окружающим воздухом, равную Δ Р= Р _г – Р_в

(26)

где - соответственно плотности холодного воздуха и

горячего газа.

Т.к. ρ_в >ρ_г, то ΔР > 0, т.е. должно быть положительное давление. Этот вывод подтверждается практикой работы печей, в кото­рых наблюдается увеличение давления газов от пода печи к своду.

Во втором случае газ соприкасается с воздухом в верхней части занимаемого объема, как видно из рисунка 6.б. При этом

у > у _ои Н = у _о- у отсюда

Р = Р _о + ρ·gН

Рассуждая аналогично предыдущему, будем иметь

(27)

Эта зависимость лежит в основе расчета статики дымовых труб, т.е. можно рассчитать статическое разряжение у основания дымовой трубы.

 

8. Уравнение неразрывности движения жидкостей и газов

Теория движения газов строится из предположения неразрывности течения (сплошности). Это основное уравнение газовой динамики мы выведем.для элементарной струйки газа, поперечные размеры которой настолько малы, что в каждом ее сечении можно считать постоянным все основные параметры потока: скорость, давление, температуру и плотность газа.

Чтобы получить уравнение неразрывности, рассмотрим стационар­ное (установившееся) движение элементарной струйки газа (рис.7).

При стационарном движении в любой точке пространства сохраня­ются неизменными во времени скорость движения и состояние жидкости или газа (плотность, давление и температура). Траектория частиц при таком движении называется линиями тока. Боковая поверхность струйки, носящей название поверхности тока, является для жидкости (газа) не­проницаемой.

Рассмотрим некоторый участок элементарной струйки между двумя нормальными поверхностями тока сечениями I и 2, заметим, что в ука­занном на рис.7 направлении 1-2 приток газа осуществляется только через поперечное сечение I, а расход газа только через сечение 2.

Рис.7 К выводу уравнения неразрывности

За бесконечно малый промежуток времени dτ выделенная часть струйки переместится в новое положение 1´-2´. Перемещение состоит в том, что за время dτ заштрихованный объем I´-2 вместит газ, вытесненный из области I-I´, а известное количество газа за то же время вытечет из этого объема и заполнит область 2-2´. Приток газа в объеме 1´-2 составит:

(28)

где ρ₁ - плотность газа в поперечном сечении I

F₁ - площадь поперечного сечения I.

Расстояние между сечениями I и I´ равно произведению скорости движения на элементарный промежуток времени.

(29)

где W₁ - скорость в сечении I, откуда

(30.а)

Расход газа из объема 1´-2 равен, очевидно

(30.б)

При установившемся режиме и отсутствии разрывов сплошности в движущейся среде приток газа должен равняться расходу:

(31.а)

Отсюда, после соответствующей подстановки, получаем уравнение нераз­рывности- закон сохранения массы для единичной струйки жидкости или газа при установившемся течении

(31.б)

В случае несжимаемой жидкости, т.е. при ρ = const уравнение (31.б) принимает более простую форму

(32)

Уравнение постоянства расхода газа G =g ρWF = const можно пред­ставить так же в дифференциальной форме

поделив почленно это соотношение на , получим

(33)

В общем случае неразрывного движения сжимаемой жидкости уравнение неразрывности имеет вид

(34)

- это закон сохранения энергии.