Стандартные матрицы ориентации.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ

1. Векторный и координатный (декартовы координаты), способы задания движения материальной точки. Скорость и ускорение точки для векторного и координатного (декартовы координаты) способов задания движения точки.

2. Естественный способ задания движения материальной точки. Скорость и ускорение точки для естественного способа задания движения.

3. Матрица взаимной ориентации двух трехгранников (матрица направляющих косинусов). Свойства строк и столбцов матрицы ориентации.

4. Стандартные матрицы ориентации.

5. Параметры ориентации твердого тела: углы Эйлера. Матрица направляющих косинусов как функция углов Эйлера.

6. Понятие угловой скорости одного трехгранника относительно другого.

7. Угловая скорость абсолютно твердого тела. Теорема о независимости угловой скорости от выбора полюса.

8. Связь между скоростями двух точек твердого тела. Теорема о проекциях скоростей двух точек твердого тела на прямую, их соединяющую.

9. Связь между ускорениями двух точек твердого тела (вращательное и осестремительное ускорения). Угловое ускорение твердого тела.

10. Поступательное движение твердого тела. Скорости и ускорения точек при поступательном движении твердого тела.

11. Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси. Уравнение вращательного движения. Скорости и ускорения точек твердого тела.

12. Плоско-параллельное движение абсолютно твердого тела. Уравнения плоско­параллельного движения. Скорости и ускорения точек твердого тела, направление угловой скорости и углового ускорения.

13. Понятие мгновенного центра скоростей (МЦС) при плоском движении твердого тела. Теорема о существовании и единственности МЦС. Способы нахождения МЦС.

14. Сложное движение точки: понятия абсолютной, относительной и переносной скоростей. Связь между производными вектора относительно разных трехгранников (формула Бура). Теорема о сложении скоростей.

15. Сложное движение точки: понятия абсолютного, относительного, переносного и кориолисова (добавочного) ускорений. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса).

16. Три закона Ньютона. Прямая и обратная задачи динамики.

17. Момент силы относительно точки. Проекции момента силы относительно точки на оси координат. Момент силы относительно оси.

18. Главный момент системы сил относительно точки. Главный вектор системы сил. Изменение главного момента при переносе точки приведения.

19. Пара сил. Независимость главного момента пары сил от центра приведения. Момент пары сил.

20. Внешние и внутренние силы системы материальных точек. Свойства системы внутренних сил.

21. Количество движения (импульс) системы материальных точек. Теорема об изменении импульса.

22. Центр масс системы материальных точек. Связь импульса системы материальных точек со скоростью центра масс. Теорема о движении центра масс.

23. Момент количества движения (кинетический момент) системы материальных точек относительно произвольного центра приведения. Теорема об изменении кинетического момента системы материальных точек относительно произвольного центра приведения. Случай неподвижного центра приведения и случай, когда центр приведения совпадает с центром масс.

24. Работа и мощность системы сил. Мощность момента пары сил. Кинетическая энергия системы материальных точек. Момент инерции системы материальных точек относительно оси. Теорема об изменении кинетической энергии.

25. Кинетическая энергия для простейших движений абсолютно твердого тела. Момент инерции системы материальных точек относительно оси. Теорема Кенига для произвольного движения системы материальных точек.

26. Консервативные системы. Силовая функция, потенциальная энергия, потенциальные силы. Теорема о приращении кинетической энергии для консервативных систем. Полная механическая энергия. Закон сохранения полной механической энергии системы материальных точек для потенциальных сил.

27. Понятие связей, наложенных на механическую систему. Примеры связей. Уравнения связей. Классификация связей. Возможные перемещения и возможные скорости точек механической системы, допускаемые связями. Примеры.

28. Силы реакций связей. Аксиома освобождаемости от связей. Идеальные связи. Примеры.

29. Число степеней свободы механической системы, обобщенные координаты и обобщенные скорости. Примеры.

30. Обобщенные силы. Обобщенные силы реакции идеальных связей.

31. Даламберовы силы инерции. Принцип Даламбера-Лагранжа.

32. Принцип Даламбера-Лагранжа для систем с идеальными удерживающими связями. Принцип возможных перемещений. Условие равновесия системы с идеальными голономными стационарными связями.

33. Тождества Лагранжа. Дифференциальные уравнения движения механической системы с идеальными связями (уравнения Лагранжа второго рода).

34. Уравнения Лагранжа второго рода для потенциальных сил. Функция Лагранжа. Уравнения равновесия консервативных механических систем с идеальными голономными связями.

35. Уравнения плоскопараллельного движения абсолютно твердого тела.

БИЛЕТ 1.

Кинематика - это часть механики, которая занимается изучением движения материальных тел, не интересуясь причинами возникновения этого движения (с геометрической точки зрения).

Движение - изменение положения.

 

- радиус-вектор точки M.

- векторный закон движения точки.

 

Материальная точка - тело, размерами которого можно принебречь. Это модель.

- принимаем за неподвижную. - едничные вектора.

- движение задано координатным способом.

 

 

Скорость точки при векторном и координатном способе задания движения.

Векторный способ.

,

- средняя скорость за

, - мгновенная скорость.

 

Координатный способ.

(1)

не изменяются, так как - принимаем за неподвижную.

(2)

Сравниваем (1) и (2)

, , .

При координатном способе задания движения материальной точки вектор скорости определяется своими проекциями на оси координат, являющиеся неподвижными. . Эти проекции скорости равны производным от соответствующих координат. Знание проекций скорости позволяет найти ее величину и ее направление.

.

Направление вектора скорости можно задать с помощью углов, которые образуют вектор скорости с координатными осями.

, ,

 

 

Положение стремится к касательной точки. Скорость в каждый момент времени направлена по касательной к траектории.

 

 

Ускорение точки при векторном и координатном способе задания движения.

Ускорением точки называется по времени.

, .

, так как - const.

.

Направляющие косинусы для :

, , .

 

БИЛЕТ 2.

Естественный способ задания движения точки.

Движение точки заданно естественно, если:

1) Задана траектория

2) Начало отсчета

3) Задано направление отсчета

4) Известна длина дуги как функция времени.

- естественный закон движения точки. .

Каждое положение точки на траектории характеризуется своим радиус-вектором. , .

Зависимость точки от координаты на траектории.

, - вектор.

 

Так как длина дуги стремится к длине секущей при сближении точек (для достаточно гладких кривых), то длина этого вектора:

. Вектор - единичный вектор.

стремится к касательной в точке 1.

 

В каждой точке может быть введен - единичный вектор касательной.

. направлен в сторону увеличения . - проекция вектора скорости на направление касательной.

Если , то . Если же , то .

 

 

. -вектор .

Вектор при движении вдоль траектории не изменяется по величине, а изменяется только по направлению, поэтому .

Скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, если угол между ними

.

Вектор постоянной длины и переменного направления. Если его начало закрепить, то при движении он будет описывать сферу. Производная вектора есть скорость конца вектора, то есть величина, вектор которой направлен по касательной к сфере, а значит -ый измен. вектору.

 

 

 

 

, - кривизна траектории.

Если кривая достаточно гладкая, т.е. вектор касательной резко не изменяет своего положения, то на малом перемещении угол изменяется на малую величину.

Кривизна траектории характеризует изменение направления вектора вдоль траектории.

., . - единичный вектор. .

 

, где . Если движение по окружности, то радиусу окружности.

 

, .

 

БИЛЕТ 3.

Естественный трехгранник (трехгранник Дарбу). Естественный способ задания движения точки.

, . - единичный вектор бинормаль.

образуют правый трехгранник. – сопровождающий трехгранник или трехгранник Дарбу. , .

Плоскость, проходящая через вектора - нормальная плоскость.

Плоскость, проходящая через вектора - соприкасающаяся плоскость.

 

Абсолютно твердым телом называется система материальных точек, растояние между которыми остается неизменным все время движения.

 

 

(1)

(2)

(3)

9 координат, удовл. 3 уравнениям 6 свободных.

- независимые.

В векторных пределах свободно можно выбрать , затем из (1) найти .

(2) и (3) ограничив только одну из них можно выбрать свободной.

- жестко связ с АТТ.

- единичные вектора .

- неподвижные оси, - единичные вектора неподвижных осей.

 

Координаты начала подвижной системы координат.

Матрицей ориентации (матрицей направляющих косинусов) трехгранника называется

относительно .

=

= - матрица 3х3

Независимыми являются только три.

В силу свойств матрицей направляющих косинусов.

 

 

 

=

Пусть даны вектора .

Определение: Скалярное произведение векторов : .

, если

=

,

число.

Векторным произведением двух векторов называется вектор, обладающий следующими свойствами:

1). Этот вектор перпендикулярен плоскости векторов .

2). Вектора составляют правую тройку векторов.

3). Модуль равен модулю . Другими словами, равен площади параллелограмма, построенного на векторах .

,

.

 

 

БИЛЕТ 4.

БИЛЕТ 5.

Углы Эйлера.

- неподвижный трехгранник.

- подвижный трехгранник (связанный с АТТ).

- линия узлов.

.

- угол прецессии.

- угол нутации.

- угол собтвенного вращения

 

Все три угла определены, если .

- углы меняются со временем.

На вокруг Oz

На вокруг OY

На вокруг Oz

 

 

 

БИЛЕТ 6.

БИЛЕТ 7.

, где - скорость движения в точке В относительно точки А

Существует такой вектор - угловая скорость АТТ.

 

 

БИЛЕТ 8.

Пусть - неподвижная система координат. Точки А и В принадлежат АТТ.

,

, так как (из определения АТТ).

Точка В относительно точки А движется по окружности постоянного радиуса.

 

Доказательство.

=0, так как , что и требовалось доказать.

 

 

БИЛЕТ 9.

Проведем дифференцирование формулы Эйлера.

, , = - угловое ускорение АТТ, = .

- формула Ривальса.

где - тангенциальное ускорение, - осестремительное ускорение.

 

, прох. через В.

 

 

БИЛЕТ 10.

Поступательным движением АТТ называется такое движение АТТ, при котором любая прямая, проведённая в АТТ, остаётся параллельной своему начальному положению.

 

- подвижный трехгранник, связанный с АТТ. - единичные вектора подвижной системы координат, не меняющиеся по направлению, а также постоянные по длине.

, , , траектории всех точек совпадают с точностью до параллельного переноса.

 

 

БИЛЕТ 11.

Вращающим движением а.т.т. относительно неподвижной оси называется

такое движение, когда в теле существует такие 2 т-ки, такие что

т. А движется по окружности, т.к. расстояние от точки О до А

Величина скорости точки = модулю расстояния угловой скорости

и расстояния до оси вращения.

Вектор скорости т. А

 

По формуле Ривальса:

Вторая составляющая ускорения называется осестремительным ускорением.

 

 

 

БИЛЕТ 12.

 

БИЛЕТ 13.

Способы нахождения МЦС.

3).

 

4). Распределение скоростей в диске, катящемся по неподвижной плоскости без проскальзывания.

 

Скорость направлена по касательной к направлению движения.

 

Циклоида.

 

БИЛЕТ 14.

Пусть - неподвижный трехгранник с . -подвижный с

-вектор угловой скорости, угловая скорость в подвижной СК относительно неподвижной СК.

Вектор и

, - постоянны.

.

Таким образом:

., где - производная от вектора относительно неподвижного трехгранника.

Локальная производная: - производная вектора относительно подвижной СК.

Полная производная:

+ - Формула Бура. - производная вектора относительно неподв. СК.

Полная производная вектора равна сумме локальной производной вектора и векторного произведения .

 

Теорема о сложении скоростей:

БИЛЕТ 15.

Будем называть сложным или «абсолютным» движением точки ее движение по отношению к системе координат, выбранной за основ­ную. Движение точки по отношению к подвижной системе координат будем называть относительным.

Под переносным, движением будем понимать движение подвижной системы координат относительно неподвижной.

- скорость точки с относительной с.к.-относительная скорость

-скорость точки относительно неподвижной с.к.- абсолютная скорость точки

 

-переносной скоростью называется абсолютная скорость точки принадлежащей подвижной с.к., в которой в данный момент находиться точка.

Ускорение точки принадлежащей подвижной с.к. и находящаяся в данный момент там же где находиться точка M – переносное ускорение.

 

-локальная производная относительно скорости.

Относительным ускорением называется ускорение точки относительно подвижной с.к.

-абсолютное ускорение

Абсолютным ускорением называется ускорение точки относительно неподвижной с.к.

 

Три закона Ньютона.

I Если на м.т. не действуют никакие силы, то т-ка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Замечание: Движение относительно!

Существуют такие системы отсчета, в которых 1 з-н Ньютона выполняется, такие системы отсчета называются инерциальными.

II Если на т-ку действует сила, то она создает ускорение пропорциональное этой силе

III Если на материальная т-ка 1 действует материальную на т-ку 2 с силами F₁₂, то 2-ая точка действует на 1 точку с силами F₂₁ = - F₂₁

Некоторые вопросы о силе

Определение: Сила – это количественная мера взаимодействия материальных тел, это вектор, который определяется величиной, направлением и точкой приложения.

Аксиомы:

1) Силы приложенные в одной точке можно складывать по правилу параллелограмма

2) Силы можно переносить вдоль линии действия

Следствие:

Система сил, линия действия которых пересекаются, можно заменить одной силой приложенной к точке пересечения линий действия сил, и такая система пересекающихся сил приводиться к равновесию и называется приводящей к равнодействующей.

Прямая и обратная задача динамики точки.

 

Рассмативается свободная материальная точка массой , на которую действуют силы, сумма которых обозначим: .

По второму закону Ньютона: .

- дифференциальное уравнение движения точки.

 

- инерциальная система координат.

 

1). Прямая задача.

 

Дано:

,

Нужно найти то есть

Решается путем интегрирования дифференциальных уравнений.

 

2). Обратная задача.

Дано: .

Определить силы, под действием которых тело движется.

Если продифференцировать

 

БИЛЕТ 17.

БИЛЕТ 18.

БИЛЕТ 19.

 

Парой сил называется система двух сил, равных по величине и противоположных по направлению. Линии действия этих сил параллельны. Расстояние межу этими линиями действия сил называется плечом пары.

 

Плоскость, в которой лежат прямые называется плоскостью пары.

 

Теорема: момент пары сил не зависит от точки, относительно которой этот момент вычисляется. Момент пары сил равен моменту одной из сил, составляющих пару, относительно точки приложения другой.

 

Момент пары сил:

 

Не зависит от выбора точки

 

перпендикулярен плоскости пары.

Момент пары сил полностью характеризует пару.

 

Как расположены плоскости для эквивалентной пары сил?- Они параллельны.

 

Чему равен главный вектор пары сил? = 0.

 

БИЛЕТ 20.

Все точки системы находятся под действием силы.

- силы, действующие на точки системы со стороны внешних по отношению к этой системе тел.

 

- силы, действующие между точками системы.

- сила, действующая на -ю точку со стороны - й точки системы.

По третьему закону Ньютона: . Они равны по модулю и действуют по прямой, их соединяющей, в противоположные стороны.

 

Тогда для -й точки системы:

- слева.

= .

Главный вектор внутренних сил , потому что все силы встречаются парами равными по величине и противоположными по направлению.

БИЛЕТ 21.

Количеством движения материальной точки называется сумма произведений масс на их скорость.

- вектор количества движения.

Все эти точки находятся под действием силы.

- силы, действующие на точки системы со стороны внешних по отношению к этой системе тел.

 

- силы, действующие между точками системы.

- сила, действующая на -ю точку со стороны - й точки системы.

По третьему закону Ньютона: . Они равны по модулю и действуют по прямой, их соединяющей, в противоположные стороны.