Рассмотрим следующие типы связей.

1). Гибкая нерастяжимая нить (невесомый стержень).

 

 

 

2). Контакт двух гладких поверхностей.

 

 

3). Цилиндрический шарнир.

Вообще говоря, направление сил реакции зависит от внешних нагрузок.

4). Качение по шероховатой поверхности.

 

Связи называются идеальными, если работа сил реакции на возможном перемещении = 0.

Примеры идеальных связей:

Нерастяжимая нить.

 

 

Скольжение по гладкой поверхности.

 

Качение без проскальзывания.

, так как возможное перемещение в точках контакта с поверхностью = 0.

4). Неподвижный цилиндрический шарнир.

 

5). Подвижный шарнир.

БИЛЕТ 29.

 

Рассмотрим систему материальных точек, на которую наложены голономных связей. Из вариаций декартовых координат точек системы независимыми будут только .

Это число и назовем числом степеней свободы системы.

 

Число степеней свободы = числу независимых возможных скоростей.

Если на систему наложены голономных связей, то возможно введение параметров

{ , }, которые:

1). Полностью определяют положение системы

2). Не зависят друг от друга.

- обобщенные координаты.

 

Обобщенные координаты- параметров, если они 1) и 2).

 

Пример:

,

- 4 уравнения голономных стацион. связей

,

 

Обобщенные скорости:

- всего

Если введены обобщенные координаты

Скорость точки:

Если связи, наложенные на систему стационарные, то последнее слагаемое равно нулю.

 

При фиксированном : .

не зависят друг от друга.

,

БИЛЕТ 30.

Обобщенные силы.

, , - силы реакции.

Пусть в системе введены обобщенные координаты: ( степеней свободы).

Возможное перемещение: : .

Тогда элементарная работа активных сил

, где - обобщенная активная сила.

Обобщенные силы- коэффициенты в разложении элементарной работы активных сил по вариации обобщенных координат.

Размерность обобщенной силы зависит от размерности соотвествующей обобщенной координаты.

Если обобщенная координаты угловая, то соответствующая обобщенная сила имеет размерность , то есть размерность момента.

Обобщенная сила- скалярная величина.

 

Рассмотрим элементарную работу сил реакции связи.

, где - обобщ.сила реакции.

Если связи, наложенные на систему являются идеальными, то = 0 = 0

= 0, , …, . - обобщенные координаты, не зависят друг от друга. - независимы. Можно не говорить об обобщенных силах реакции в идеальных связях.

 

Рассмотрим систему материальных точек со связями:

………

 

- угловая скорость точки.

 

 

БИЛЕТ 31.

Принцип Даламбера:

 

БИЛЕТ 32.

Принцип Даламбера:

Сумма элементарных работ сил инерции, активных сил и сил реакции связи = 0. Если связи, наложенные на систему, идеальные, то .

Принцип Даламбера для систем с идеальными связями: сумма элементарных работ и элементарных сил на возможных перемещениях = 0. .

Пусть система материальных точек с идеальными связями находится в равновесии.

, , .

Принцип Даламбера: - прицип возможных перемещений.

Необходимым и достаточным условием равновесие системы с идеальными связями является равенство нулю суммы элементарных работ активных сил на возможных перемещениях.

 

Принцип возможных перемещений- условие равновесия!!!!!!!!!!

 

Рассмотрим систему с идеальными связями.

Обобщенные координаты

. Так как - независимы,

. - вариация - й обобщенной координаты.

 

Следствие: . Система с идеальными связями находится в равновесии тогда и только тогда, когда все обобщенные силы равны нулю.

 

 

БИЛЕТ 33.

Доказательство уравнения Лагранжа 2-го рода.

-?

.

Тождество Лагранжа.

линейная функция от

Для достаточно гладких функций:

БИЛЕТ 34.

Уравнение равновесия консервативных систем (с идеальными голономными связями).

 

Идеальные голономные связи.

 

Из принципа возможных перемещений , - число степеней свободы.

Для консервативных систем:

- уравнение равновесия консервативной системы.

 

Решая эти уравнения, можно получить положение равновесия консервативной системы.

ДАНО:

 

- невесомый стержень.

- жесткость пружины.

- длина пружины в ненапряженном состоянии.

 

Найти: положение равновесия.

 

Решение:

Запишем потенциальную энергию.

, текущая длина пружины.

Равенство нулю возможно в двух случаях:

1) . (нижнее положение маятника). Устойчивое равновесие.

2). . (верхнее положение маятника). Неустойчивое равновесие.