Теорема об изменении кинетического момента.

Производная по времени в инерциальной системе отсчета от вектора кинетического момента системы относительно точки равна главному моменту внешних сил в двух случаях:

1). Если точка неподвижна ( =0)

2). Точка совпадает с центром масс.

 

()

 

Главный момент системы внутренних сил равен нулю, потому что силы встречаются парами, равными по величине, противоположными по направлению и направленными по одной прямой.

 

Таким образом,

, - центр масс.

, - неподвижная точка.

 

 

БИЛЕТ 24.

Мощностью силы , приложенной к точке называется скалярное произведение силы на скорость в точке .

Элементарная работа силы на элементарном перемещении точки

:

 

Теорема: (об изменении кинетической энергии системы)

Производная по времени от кинетической энергии системы равна сумме мощностей внутренних и внешних сил, действующих на точки системы. Приращение кинетической энергии системы материальных точек равно сумме элементарных работ внутренних и внешних сил, действующих на точки системы.

 

Доказательство:

Система материальных точек.

(внутр.и внешн)

(так как )

 

Мощность момента пары сил, приложенных к АТТ.

Пусть есть АТТ.

=

= мощность пары можно записать так:

= произведение угловой скорости на момент этой пары.

БИЛЕТ 25.

Поступательное движение АТТ.

При поступательном движении

Вращение АТТ вокруг неподвижной оси.

 

-радиус инерции.

 

- АТТ

- центр масс АТТ

- радиус-вектор. - относительно ц. масс.

+

+

- Теорема Кёнига.

«Кинетическая энергия АТТ в произвольном движении равна сумме кинетической энергии центра масс, как если бы в нем была сосредоточена вся масса АТТ и кинетической энергии движения относительно центра масс».

 

Плоское движение:

 

плоскости движения.

Движение относительно центра масс будет представлять собой движение вокруг оси плоскости движения и проходящей через центр масс.

 

(90 , )

 

 

 

БИЛЕТ 26.

 

Системы сил называются консервативными, если работа этих сил не зависит от формы траектории, а определяется только начальной и конечной точкой. Работа консервативных сил по замкнутому контуру = 0.

 

Силы называются потенциальными, если существует такая скалярная функция, которая зависит или от радиуса вектора или от координат, что вектор силы , действующей в точке равен этой функции, или . .

.

, , . - потенциальная энергия, силовая функция.

.

, , .

Если система сил потенциальна, то она является консервативной.

 

Найдем работу по перемещению из точки в точку .

.

- потенциальная энергия. Работа не зависит от пути.

 

- приращение потенциальной энергии.

 

Из теоремы об изменении кинетической энергии для консервативных систем: .

Если все внешние и внутренние силы консервативны, то , а значит для консервативных систем:

Полная механическая энергия .

 

Теорема (об изменении полной механической энергии для консервативных систем):

Если система материальных точек консервативна, то ее полная механическая энергия есть величина постоянная: .

БИЛЕТ 27.

Связями называется ограничение на движение материальной точки.

Плоский математический маятник. , плоскости движения.

 

 

Система материальных точек.

Если бы они были свободны.

 

АТТ.

.

 

Аналитическая запись:

, ,

- уравнение связи для материальной точки, находящейся на поверхности сферы переменного радиуса.

 

В зависимости от типа уравнений различаются и типы связей:

1). Стационарные связи (в уравнения которых не входит время).

2). Нестационарные связи (в уравнения которых входит время).

3). Односторонние связи

4). Двусторонние связи (выражаются уравнениями)

5). Геометрические связи (голономные).

. Не содержат в качестве аргументов скорости точек.

6). Дифференцируемые (не голономные связи).

 

 

Возможные перемещения - перемещения, которые допускаются связями в данный момент времени.

, .

Двусторонние и голономные связи: уравнений связи:

………..

 

Вариации этих уравнений:

При фиксированном

- уравнения для возможных перемещений.

………..

уравнений для векторных неизвестных. .

, , - возможные вариации в декартовых координатах.

вариаций подчиняются уравнениям связи независимых вариаций декартовых координат остается . Говорят, что система имеет степеней свободы.

- уравнение для возможных перемещений .

 

- воображаемый промежуток времени.

. Уравнение для возможных скоростей:

Возможная скорость- скорость,которая допускается связями в данный момент времени.

 

Рассмотрим пример, когда точка находится на сфере постоянного радиуса. Ее возможное перемещение как и возможная скорость должна быть направлена по касательной к сфере или

радиус-вектору.

 

Действительная скорость - одна из возможных.

 

 

 

Теперь рассмотрим случай, когда точка находится на сфере переменного радиуса.

Действительная скорость= одна из возможных скоростей + одна из скоростей.

 

БИЛЕТ 28.

Рассмотрим систему материальных точек , на которую наложены связи.

- силы, действующие на точки системы со строны внешних по отношению к системе сил, и внуренних. Они называются активными силами.

- силы реакции связей.

Аксиома освобождаемости от связей:

Связи, наложенные на систему можно отбросить, заменив

их действие силами реакции связи.

Система свободных материальных точек но с силами реакции связи. Направление зависит от типа связей.