Преобразователь отрицательного сопротивления

Иногда возникает необходимость использования отрицательного сопротивления или источника напряжения с отрицательным сопротивлением. По определению сопротивление R =+ U / I, где направление тока и напряжения совпадают. Если же в двухполюснике направления протекающего тока и приложенного напряжения не совпадают, отношение U / I будет отрицательным. Говорят, что такой двухполюсник обладает отрицательным сопротивлением. Отрицательные сопротивления могут быть получены только с применением активных схем, которые называют преобразователями отрицательного сопротивления (ПОС). Схема ПОС на операционном усилителе приведена на рис. 12. Выходное напряжение идеального ОУ определяется как

U _вых = U ₂ + I ₂ R.

Входной ток усилителя равен

I ₁ = (U ₁ – U _вых)/ R.

На входах идеального операционного усилителя напряжения равны, т.е. U ₁= U ₂, поэтому I ₂ = –I ₁. Отсюда следует, что U ₁/ I ₁= – R ₂.

При выводе этих соотношений предполагалось, что схема находится в устойчивом состоянии. Однако, поскольку операционный усилитель охвачен одновременно положительной и отрицательной обратными связями, следует принять меры, чтобы выполнялись условия устойчивости. Физический смысл условий устойчивости для схемы ПОС с идеальным ОУ при резистивных обратных связях заключается в том, что глубина положительной обратной связи должна быть меньше, чем отрицательной. Для схемы на рис. 12 это означает, что сопротивление источника входного сигнала R _и должно быть меньше R ₂.

Рис. 12. Схема преобразователя отрицательного сопротивления

Примером практического применения преобразователя отрицательного сопротивления является схема неинвертирующего интегратора (рис. 13). На рис. 13 а приведена эквивалентная схема интегратора в виде интегрирующей RС -цепочки, содержащей резистор с отрицательным сопротивлением.

Рис. 13. Схема неинвертирующего интегратора

Операторная передаточная функция этой цепи, определяемая как отношение изображений по Лапласу выходного и входного напряжений представляет собой соотношение:

т.е. с точностью до знака совпадает с передаточной функцией интегратора (2). Роль резистора с отрицательным сопротивлением выполняет ПОС (рис. 13 б). С учетом коэффициента передачи неинвертирующего усилителя для этой схемы имеем:

Активные электрические фильтры на ОУ

Основные понятия

В электрических, радиотехнических и телемеханических установках часто решается задача: из совокупного сигнала, занимающего широкую полосу частот, выделить один или несколько составляющих сигналов с более узкой полосой. Сигналы заданной полосы выделяют при помощи частотных электрических фильтров.

К частотным электрическим фильтрам различной аппаратуры предъявляются разные, порой противоречивые требования. В одной области частот, которая называется полосой пропускания, сигналы не должны ослабляться, а в другой, называемой полосой задерживания, ослабление сигналов не должно быть меньше определенного значения. Фильтр считают идеальным, если в полосе пропускания отсутствует ослабление сигналов и фазо-частотная характеристика линейна (нет искажения формы сигналов), а вне полосы пропускания сигналы на выходе фильтра отсутствуют.

В зависимости от диапазона частот, относящихся к полосе пропускания, различают низкочастотные, высокочастотные, полосовые, полосно-подавляющие, избирательные (селективные) и заграждающие (режекторные) фильтры. Свойства линейных фильтров могут быть описаны передаточной функцией, которая равна отношению изображений по Лапласу выходного и входного сигналов фильтра.

Фильтры нижних частот

Схема простейшего фильтра нижних частот приведена на рис. 14. Передаточная функция этого фильтра определяется выражением: W (s) = 1/(1+ sRC).

Рис.14. Простейший фильтр нижних частот первого порядка

Заменив s на j w, получим частотную характеристику фильтра. Для реализации общего подхода целесообразно нормировать комплексную переменную s. Положим

S = s /w_c,

где w_c – круговая частота среза фильтра. В частотной области этому соответствует

j W =j (w /w_c).

Частота среза w_c фильтра на рис. 14 равна 1/ RC. Отсюда получим S=sRC и

W (S)=1/(1+ S).

(10)

Используя передаточную функцию для оценки зависимости амплитуды выходного сигнала от частоты, запишем

| W (j W)|² =1/(1+W²).

При W»1, т.е. для случая, когда частота входного сигнала w»w_c, | W (j W)| = 1/W. Это соответствует снижению коэффициента передачи фильтра на 20 дБ на декаду.

Если необходимо получить более быстрое уменьшение коэффициента передачи, можно включить n фильтров нижних частот последовательно. Передаточная функция такой системы имеет вид:

,

(11)

где a₁, a₂,..., a_n – действительные положительные коэффициенты. Из этой формулы следует, что | W (j W)| ~ 1/Wⁿ при W»1. Полюса передаточной функции (11) вещественные отрицательные. Таким свойством обладают пассивные RC -фильтры n -го порядка. Соединив последовательно фильтры с одинаковой частотой среза, получим:

Этот случай соответствует критическому затуханию.

Передаточная функция фильтра нижних частот (ФНЧ) в общем виде может быть записана как

,

(12)

где с ₁, с ₂,..., с _n – положительные действительные коэффициенты, K ₀ –коэффициент усиления фильтра на нулевой частоте. Порядок фильтра определяется максимальной степенью переменной S. Для реализации фильтра необходимо разложить полином знаменателя на множители. Если среди нулей полинома есть комплексные, то рассмотренное ранее представление полинома (11) не может быть использовано. В этом случае следует записать его в виде произведения квадратных трехчленов:

,

(13)

где a _i и b _i – положительные действительные коэффициенты. Для полиномов нечетных порядков коэффициент b ₁ равен нулю. Реализация комплексных нулей полинома на пассивных RC -цепях невозможна. Применение индуктивных катушек в низкочастотной области нежелательно из-за больших габаритов и сложности изготовления катушек, а также из-за появления паразитных индуктивных связей. Схемы с операционными усилителями позволяют обеспечить комплексные нули полиному без применения индуктивных катушек. Такие схемы называют активными фильтрами. Рассмотрим различные способы задания характеристик ФНЧ. Широкое применение нашли фильтры Бесселя, Баттерворта и Чебышева, отличающиеся крутизной наклона амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) в начале полосы задерживания и колебательностью переходного процесса при ступенчатом воздействии. Амплитудно-частотные характеристики этих ФНЧ четвертого порядка приведены на рис. 15.

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта имеет довольно длинный горизонтальный участок и резко спадает за частотой среза. Переходная характеристика такого фильтра при ступенчатом входном сигнале имеет колебательный характер. С увеличением порядка фильтра колебания усиливаются.

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Чебышева спадает более круто за частотой среза. В полосе пропускания она, однако, не монотонна, а имеет волнообразный характер с постоянной амплитудой. При заданном порядке фильтра более резкому спаду амплитудно-частотной характеристики за частотой среза соответствует бoльшая неравномерность в полосе пропускания. Колебания переходного процесса при ступенчатом входном воздействии сильнее, чем у фильтра Баттерворта.

Фильтр Бесселя обладает оптимальной переходной характеристикой. Причиной этого является пропорциональность фазового сдвига выходного сигнала фильтра частоте входного сигнала. При равном порядке спад амплитудно-частотной характеристики фильтра Бесселя оказывается более пологим по сравнению с фильтрами Чебышева и Баттерворта.

Тот или иной вид фильтра при заданном его порядке определяется коэффициентами полинома передаточной функции (13) фильтра.

Рис. 15. Амплитудно-частотные характеристики фильтров четвертого порядка. 1 – фильтр с критическим затуханием; 2 – фильтр Бесселя; 3 – фильтр Баттерворта; 4 – фильтр Чебышева с неравномерностью 3 дБ.

Фильтры верхних частот

Используя логарифмическое представление, можно перейти от нижних частот к верхним, зеркально отобразив амплитудно-частотную характеристику коэффициента передачи относительно частоты среза, т.е. заменив W на 1/W или S на 1/ S. При этом частота среза остается без изменения, а K ₀ переходит в K _беск. Из выражения (13) при этом получим

.

 

Полосовые фильтры

Аналогично, путем замены переменных, можно преобразовать амплитудно-частотную характеристику фильтра нижних частот в амплитудно-частотную характеристику полосового фильтра. Для этого в передаточной функции фильтра нижних частот необходимо произвести следующую замену переменных:

.

(15)

В результате такого преобразования АЧХ фильтра нижних частот в диапазоне 0 < W < 1 переходит в правую часть полосы пропускания полосового фильтра (1 < W < W_макс). Левая часть полосы пропускания является зеркальным отображением в логарифмическом масштабе правой части относительно средней частоты полосового фильтра W = 1. При этом W_мин = 1/W_макс. Рис. 16 иллюстрирует такое преобразование.

Рис. 16. Преобразование нижних частот в полосу частот

Нормированная ширина полосы пропускания фильтра DW= W_макс– W_мин может выбираться произвольно. Из рис. 16 видно, что полосовой фильтр на частотах W_макс и W_мин обладает таким же коэффициентом передачи, что и ФНЧ при W = 1. Если параметры ФНЧ нормированы относительно частоты среза, на которой его коэффициент передачи уменьшается на 3 дБ, то значение DW также будет нормированной шириной полосы пропускания. Учитывая, что

DW = W_макс– W_мин и W_макс*W_мин=1,

получим выражение для вычисления нормированных частот среза полосового фильтра, на которых его коэффициент передачи уменьшается на 3 дБ:

.

Избирательный (селективный) фильтр предназначен для выделения из сложного сигнала монохромной составляющей и по сути является узкополосным полосовым фильтром. Фильтры этого типа имеют АЧХ, подобные амплитудно-частотным характеристикам колебательных LC-контуров. Характерным для этих фильтров является пик АЧХ в области резонансной частоты f _р. Характеристикой избирательности фильтра является добротность Q, определяемая как отношение резонансной частоты к полосе пропускания, т.е.

Q = f p/(f макс – f мин) = 1/(Wмакс – Wмин) = 1/DW.

(16)

Простейший полосовой фильтр можно получить, применив преобразование (15) к передаточной функции ФНЧ первого порядка (10). В результате получим:

.

(17)

Подставив выражение для добротности (16) в соотношение (17), получим передаточную функцию полосового фильтра

.

(18)

Это выражение дает возможность определить основные параметры полосового фильтра второго порядка непосредственно из его передаточной функции.