Линейные аналоговые вычислительные схемы на ОУ

Современные цифровые вычислительные машины позволяют с высокой точностью выполнять широкий круг математических операций с числами. Однако, в измерительных и управляющих системах величины, подлежащие обработке, как правило, представляют собой непрерывные сигналы, например, изменяющиеся значения электрического напряжения. В этих случаях приходится применять аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи. Такой подход оправдывает себя только тогда, когда требования к точности вычислений настолько высоки, что не могут быть обеспечены с помощью аналоговых вычислителей. Существующие аналоговые вычислители позволяют получить точность не свыше 0,1%. Ниже рассмотрены наиболее важные аналоговые вычислительные схемы на ОУ. Обычно мы будем полагать операционные усилители идеальными. При высоких требованиях к точности выполнения математических операций необходимо учитывать также свойства реальных усилителей.

Схема суммирования

Для суммирования нескольких напряжений можно применить операционный усилитель в инвертирующем включении. Входные напряжения через добавочные резисторы подаются на инвертирующий вход усилителя (рис. 1). Поскольку эта точка является виртуальным нулем, то на основании 1-го закона Кирхгофа при нулевых входных токах идеального ОУ получим следующее соотношение для выходного напряжения схемы:

U _вых / R _S = - (U ₁/ R ₁ + U ₂/ R ₂ +... + U_n / R_n).

Рис. 1. Схема инвертирующего сумматора

Схема интегрирования

Наиболее важное значение для аналоговой вычислительной техники имеет применение операционных усилителей для реализации операций интегрирования. Как правило, для этого используют инвертирующее включение ОУ (рис.2).

Рис. 2. Схема инвертирующего интегратора

По первому закону Кирхгофа с учетом свойств идеального ОУ следует для мгновенных значений: i ₁ = - i _c. Поскольку i ₁ = u ₁/ R ₁, а выходное напряжение схемы равно напряжению на конденсаторе:

то выходное напряжение определяется выражением:

Постоянный член u _вых(0) определяет начальное условие интегрирования. С помощью схемы включения, показаной на рис.3, можно реализовать необходимые начальные условия. Когда ключ S 1 замкнут, а S 2 разомкнут, эта схема работает так же, как цепь, изображенная на рис.2. Если же ключ S 1 разомкнуть, то зарядный ток при идеальном ОУ будет равен нулю, а выходное напряжение сохранит значение, соответствующее моменту выключения. Для задания начальных условий следует при разомкнутом ключе S 1 замкнуть ключ S 2. В этом режиме схема моделирует инерционное звено и после окончания переходного процесса, длительность которого определяется постоянной времени R ₃ C, на выходе интегратора установится напряжение

U вых = - (R 3 / R 2) U 2.

(1)

Рис. 3. Интегратор с цепью задания начальных условий

После замыкания ключа S 1 и размыкания ключа S 2 интегратор начинает интегрировать напряжение U ₁, начиная со значения (2). Фирма Burr-Brown выпускает двухканальный интегратор ACF2101 со встроенными интегрирующими конденсаторами емкостью 100 пФ ключами сброса и хранения. Входные токи усилителей не превышают 0,1 пА.

Используя формулу для определения коэффициента передачи инвертирующего усилителя и учитывая, что в схеме на рис. 2 R ₁= R, a вместо R ₂ включен конденсатор с операторным сопротивлением Z ₂(s)=1/(sC), можно найти передаточную функцию интегратора

(2)

Подставив в (2) s=j w, получим частотную характеристику интегратора:

Устойчивость интегратора можно оценить по частотным характеристикам петли обратной связи, причем в этом случае коэффициент передачи звена обратной связи будет комплексным:

Для высоких частот b стремится к 1 и его аргумент будет нулевым. В этой частотной области к схеме предъявляются те же требования, что и к усилителю с единичной обратной связью. Поэтому здесь также следует ввести коррекцию частотной характеристики. Чаще для построения интегратора используют усилитель с внутренней коррекцией. Типичная ЛАЧХ схемы интегрирования на ОУ приведена на рис. 4. Постоянная интегрирования t = RC принята равной 100 мкс. Из рис. 4 видно, что при этом минимальное усиление цепи обратной связи составит | K _п|=| b K _U| @ 600, т.е. будет обеспечена погрешность интегрирования не более 0,2%, причем не только для высоких, но и для низких частот.

Рис. 4. Частотная характеристика интегратора

В заключение отметим, что к операционным усилителям, работающим в схемах интеграторов, предъявляются особенно высокие требования в отношении входных токов, напряжения смещения нуля и дифференциального коэффициента усиления по напряжению K _U. Большие токи и смещение нуля могут вызвать существенный дрейф выходного напряжения при отсутствии сигнала на входе, а при недостаточном коэффициенте усиления интегратор представляет собой фильтр низких частот первого порядка с коэффициентом усиления K _U и постоянной времени(1+ K _U) RC.

Схема дифференцирования

Поменяв местами резистор и конденсатор в схеме интегратора на рис. 2, получим дифференциатор (рис. 5). Применение первого закона Кирхгофа для инвертирующего входа ОУ в этом случае дает следующее соотношение:

C (dU _вх/ dt) + U _вых/ R = 0,

или

U _вых = – RC (dU _вх/ dt).

Рис. 5. Схема дифференциатора

Используя формулу

и учитывая, что в схеме на рис. 5 вместо R ₁ используется 1/ sC, a R ₂= R, найдем передаточную функцию дифференциатора

K(s) = -sRC.

(3)

Подставив в (3) s=j w, получим частотную характеристику дифференциатора:

K (j w ) = -j w RC,

модуль которой

| K | = w RC

(4)

пропорционален частоте.

Практическая реализация дифференцирующей схемы, показанной на рис. 5, сопряжена со значительными трудностями по следующим причинам:

во-первых, схема имеет чисто ёмкостное входное сопротивление, которое в случае, если источником входного сигнала является другой операционный усилитель, может вызвать его неустойчивость;

во-вторых, дифференцирование в области высоких частот, в соответствии с выражением (4), приводит к значительному усилению составляющих высоких частот, что ухудшает соотношение сигнал/шум;

в-третьих, в этой схеме в петле обратной связи ОУ оказывается включенным инерционное звено первого порядка, создающее в области высоких частот запаздывание по фазе до 90°:

Оно суммируется с фазовым запаздыванием операционного усилителя, которое может составлять или даже превышать 90°, в результате чего схема становится неустойчивой.

Устранить эти недостатки позволяет включение последовательно с конденсатором дополнительного резистора R ₁ (на рис. 5 показан пунктиром). Следует отметить, что введение такой коррекции практически не уменьшает диапазона рабочих частот схемы дифференцирования, т.к. на высоких частотах из-за снижения усиления в цепи обратной связи она все равно работает неудовлетворительно. Величину R ₁ С (и, следовательно, ноль передаточной функции RС – цепи) целесообразно выбирать так, чтобы на частоте f ₁ усиление петли обратной связи составляло 1 (см. рис. 6).

Рис. 6. ЛАЧХ схемы дифференцирования на ОУ

2. Схемы линейного преобразования сигналов

При построении линейных электрических схем кроме пассивных элементов используются идеализированные активные элементы в виде управляемых источников тока и напряжения. Кроме того, применяются идеализированные преобразующие схемы, например, преобразователь отрицательного сопротивления. Ниже рассмотрены основные принципы их реализации.