Производство, технология. Общий, средний, предельный продукт.

Задача1.

Подсчитайте средний и предельный продукт фирмы, если известны следующие данные:

 

Число рабочих	Совокупный продукт

Когда начинает действовать в данном случае убывающая экономия от масштаба?

Решение:

3.1. Если число рабочих — это затраты труда L, а совокупный продукт — ТР, то

AP_L = TP/L, MP_L = (ТР_i - ТР_i-1)

L	ТР	APL	MPL
		33,3

Экономия от масштаба начинает снижаться после того, как число работников превысит 2.

Задача 2.

Фирма платит 200 тыс. руб. в день за аренду оборудования и 100 тыс. руб. заработной платы. При этом она использует такое количество труда и капитала, что их предельные продукты соответственно равны 0,5 и 1

Использует ли фирма оптимальное сочетание факторов производства с точки зрения максимизации прибыли?

Решение:

Да, так как 200/1 = 100/0,5 (используем 2-й закон Госсена).

Задача 3.

Производственная функция фирмы имеет вид: Q (х, у) = 5ху. Цена единицы ресурса Х – 10 д.е., единицы ресурса Y – 20 д.е. Фирма располагает денежными средствами в размере 40 тыс. д.е. Определите максимально возможный объем производства.

Решение:

Алгебраическое:
10x+20y=40000
x+2y=4000
x=4000-2y
5xy стремится к max
xy стремится к max
(4000-2y)y стремится к max
(2000-y)y стремится к max
Функция (2000-y)y представляет собой перевернутую параболу с корнями 0 и 2000
Max функции будет при y=(2000-0)/2=1000
Тогда x=4000-2*1000=2000
Проверка:
2000*10+1000*20=40000
максимально возможный объем производства:
Q=5*2000*1000=10 млн.ед.
Ответ: 10 млн.ед.

Задача 4.

Технология производства фирмы описывается производственной функцией Q = К 0,5•L2, где Q – объем выпускаемой за год продукции, К – объем основных фондов, L – объем использования рабочей силы. Определите предельный продукт труда, предельный продукт капитала и предельную норму технического замещения капитала трудом, если К = 9, L = 4.

Решение:

Предельный продукт капитала:
MPK=Qk=0.5K-1/2L2=0.5*1/3*16=8/3
Предельный продукт труда:
MPL=QL=2LK1/2=2*4*3=24
Предельную норму технического замещения ресурсов:
MRTS=-MPL/ MPK=24/8*3=9
Ответ: 8/3, 24, 9

Задача 5.

Технология некоторой фирмы такова, что соотношение между затратами труда и затратами капитала должно быть строго фиксированным: 1 станок – 5 рабочих. Таким образом, факторы являются взаимодополняющими, поэтому избыточное количество любого из факторов не повышает выпуск. Пусть фирма на месяц наняла 25 рабочих и арендовала 3 станка. Месячная ставка заработной платы равна 600 д.е., месячная арендная плата за один станок – 400 д.е., цена единицы продукции – 15 д.е. За день с одного станка снимается 15 ед. продукции, а в месяце 20 рабочих дней.
Определите, каковы будут прибыль или убытки фирмы в этом месяце.

Решение:

За месяц с одного станка объем выпуска составит:
Q=15•20=300 (ед. продукции)
Общая выручка составит от одного станка:
TR=300•15 =4500 (д.е.)
Затраты производства данного объема составят:
TC=1•400 + 5•600=3400 (д.е.)
Тогда для 3 станков получим:
Q=300•3=900 (ед. продукции)
TR=4500•3=13500 (д.е.)
TC=3400•3=10200 (д.е.)
Не совсем ясно, зачем фирма наняла 25 рабочих, если для обслуживания трех станков необходимо только 15 рабочих. Если это опечатка, и рабочих было 15, то прибыль составит:
П=TR-TC=13500–10200=3300 (д.е.)
Если же фирма наняла 25 рабочих, то,соответственно, она должна выплачивать им заработную плату, тогда:
TC=10200+10*600=16200 (д.е.)
П=13500-16200=-2700 (д.е.)
Т.е. фирма несет убыток.

Ответ: прибыль 3300 д.е.; убыток 2700 д.е.

Издержки

Задача 1.

Функция издержек конкурентной фирмы ТС = Q2 + 5Q + 25. Определите функции переменных, постоянных, средних переменных, средних постоянных, средних общих и предельных затрат.

Решение:

переменные издержки = VС = ТС-FС = Q2 + 5Q;

постоянные издержки = FС = const = 25;

средние переменные издержки = АVС = VС/ Q = Q2 + 5Q / Q = Q + 5;

средние постоянные издержки = FС / Q = 25 / Q

средние общие издержки = АС = ТС/ Q = (Q2 + 5Q + 25) / Q = Q + 5 + 25 / Q;

предельные издержки:

ΔQ= ((Q+1)2 + 5(Q+1) + 25) – (Q2 + 5Q + 25) = Q2 + 2Q +1 + 5Q+5 + 25 - Q2 - 5Q – 25 = 2Q +1.

 

Задача 2.

Краткосрочные общие издержки конкурентной фирмы ТС = Q3 - 8Q2 + 20Q + 50. При каком уровне рыночной цены фирма прекратит производство в краткосрочном периоде?

Решение:

Условие прекращения производства фирмой - АVСmin = Р.

Но АVС = VС/Q = Q2 - 8Q + 20. Данная функция имеет минимум при Q = 4.

 

Задача 3.

По приведенным в таблице исходным данным рассчитайте альтернативные издержки, связанные с производством дополнительной единицы товара Х при переходе от варианта В к варианту С.

 

Вид продукции	Альтернативные производственные возможности
	А	В	С	Д	Е
Товар Х, шт
Товар У, шт

 

Решение:

Альтернативные издержки, связанные с производством дополнительной единицы товара Х при переходе от варианта В к варианту С равны ΔУ/ΔХ = (38-32)/(4-2) = 6 / 2 = 3. Т.е. при переходе от варианта В к варианту С для производства дополнительно единицы

товара Х мы отказываемся от 3 единиц товара У. Открыв новое дело, бизнесмен вложил в него собственный капитал 80 000. Он мог взять эту сумму в банке под 10% годовых.

 

Задача 4.

Открыв новое дело, бизнесмен вложил в него собственный капитал 80 000. Он мог взять эту сумму в банке под 10% годовых. Когда после полутора лет работы бизнесмен будет подсчитывать свой доход, какие неявные издержки он вычтет из общей выручки?

Решение:

Неявные издержки равны процентам, которые бизнесмен заплатил бы, если бы взял деньги в банке. 1,5 года • (80 000 • 0,1) = 12 000.

 

Задача 5.

 

Функция средних переменных затрат имеет вид: AVС = 100 + 20 Q. Постоянные затраты равны 120. Найти алгебраическое выражение для функций общих затрат.

Решение:

ТС= FC+ VС, а VС=AVС•Q, то ТС= 120 + 100Q+ 20 Q2.

 

Задача 6.

 

В производстве продукта используется 2 фактора: труд и земля. В каких из нижеперечисленных случаях достигается минимизация издержек?

 

 

	Предельный продукт	Цена земли	Предельный продукт труда	Цена труда
А
Б
В
Г

Решение: Минимизация издержек достигается в варианте, когда предельные продукты земли и труда на единицу цены равны. Это возможно в случае а, т.е. 6/2 = 9/3.

Эффект масштаба

Задача 1.

Фирма увеличивает применяемый капитал со 12 до 15 ед., используемый труд с 50 до 62,5 ед. Выпуск продукции при этом увеличился с 20 до 22 ед. Какой эффект роста масштаба производства имеет место в данной ситуации?

Решение: Фирма увеличила ресурсы в 1,25 раз (15/12 и 62,5/50), а выпуск увеличился в 1,1 раз (22/20). Это убывающий эффект масштаба производства.

 

Задача 2.

Производственная функция имеет вид . Цены факторов равны соответственно 2 и 6. Фирма стремится максимизировать выпуск, но ее финансовые ресурсы ограничены 30 единицами. Чему будут равны затраты капитала и труда?

Решение:

 

Искомые значения труда и капитала являются координатами точки касания изокванты (при некотором Y) и изокосты . Общие точки этих двух кривых удовлетворяют системе Отсюда . Возведем обе части последнего равенства в куб: . Найдем максимум по L: . Исключая случай , получаем . Тогда .

 

Задача 3.

Производственная функция имеет вид, где Y - количество продукции за день, L - часы труда, K -часы работы машин. Предположим, что в день затрачивается 9 часов труда и 9 часов работы машин.
Каково максимальное количество продукции, произведенной за день? Предположим, что фирма удвоила затраты обоих факторов. Определите эффект масштаба производства?

Решение:

В условиях задачи в день производится единиц продукции. Если затраты обоих факторов удваиваются, то выпуск становится равным, т.е. тоже удваивается. Тогда и эффект от изменения масштаба производства, определяемый из условия, равен единице.

Выручка, прибыль

Задача 1.

Монополист увеличил выпуск продукции с 70 до 80 шт. в месяц в надежде продать все изделия по наивыгодной для себя цене. Определите, как изменится его прибыль (увеличится, будет неизменной, уменьшится), если функция спроса имеет вид: Qd = 150 –

Р, где Р – цена ед. продукции.

Решение:

Прибыль рассчитывается как разность между выручкой (P • Q) и валовыми издержками. Из уравнения спроса Qd= 150 – P можно вывести формулу расчета цены:

Р = 150 – Q.

Рассчитаем для решения задачи выручку монополиста до и после увеличения объема выпуска продукции:

1) Q1 = 70 шт., Р1 = 150-70 = 80 ден. ед., P1 • Q1 = 5600 ден. ед.;

2) Q2 = 80 шт., Р2 = 150-80 = 70 ден. ед., P2 • Q2 = 5600 ден. ед.;

Т.о., выручка монополиста, несмотря на увеличение объема, осталась неизменной, что свидетельствует о снижении прибыли, т.к. изготовление 80 ед. связано с большими издержками, нежели изготовление 70 ед.

Ответ: прибыль снизится.

Задача 2.

Организация в отчетный период реализовала продукцию по оптовым ценам с включением НДС на сумму 10 млн. руб., себестоимость всей реализованной продукции оставила в отчетном периоде 5 млн. руб. Ставка НДС-10%.
Определить:
1)прибыль полученную организацией в отчетном периоде
2)как изменится прибыль от реализации в плановом периоде, если будет установление нормативной рентабельности продукции в размере 10%

Решение:

1) Прибыль = 10 млн./(1+0,1) - 5 млн. = 9,1 млн. - 5 млн. = 4,1 млн. (руб.).
2) В случае установления нормативной рентабельности продукции в размере 10% прибыль изменится на: 5 млн.*10% - 4,1 млн. = 0,5 млн. - 4,1 млн. = - 3,6 млн. руб., т. е. в данном случае прибыль снизится на 3,6 млн. руб..

Задача 3

 

В первом квартале было изготовлено и реализовано 10 тыс. изделий цена 1-го изделия – 100 руб., постоянные расходы на ед. продукцию – 30 руб., переменные расходы на ед. продукцию – 40 руб., во втором квартале планируется изготовить и реализовать 12 тыс. изделий.
Определить:
1)прибыль организации в первом квартале
2)прибыль организации во втором квартале
3)рентабельность продукции в первом и во втором квартале

Решение:

1) Прибыль = Выручка - Валовые издержки = Объём*Цена - (Пост. изд. + Перем. изд.) = 10 тыс.*100 - (10 тыс.*30 + 10 тыс.*40) = 1 млн. - 700 тыс. = 300 тыс. (руб.).
2) т. к. сумма постоянных издержек не изменяется с изменением динамики объёмов выпуска продукции в краткосрочном периоде, а сумма переменных издержек прямо пропорционально зависит от объёма выпуска продукции, то, следовательно, прибыль организации во 2-ом квартале составит:
Прибыль = Выручка - Валовые издержки = Объём*Цена - (Пост. изд. + Перем. изд.) = 12 тыс.*100 - (300 тыс. + 12 тыс.*40 = 1,2 млн. - 780 тыс. = 420 тыс. (руб.).
3) Рентабельность продукции в первом квартале: (300 тыс./700тыс.)*100% = 42,86%.
Рентабельность продукции во втором квартале: (420 тыс./780тыс.)*100% = 53,85%.

 

Задача 4

 

Фирма повысила цены на велосипеды на 20%, в результате объем продаж сокра-тился на 10%. Как изменилась выручка?

Решение:

Пускай начальная цена составляла p, а объем продаж q. Выручка в этой ситуации была равна pq. После повышения цена стала равна 1,2 p, а объем продаж 0,9 q. Новая выручка составила 1,2 p × 0,9 q = 1,08 pq, что на 8% больше, чем раньше.

Максимизация прибыли

Задача 1.

Функция предельных затрат фирмы МС = 10 + Q (руб.). Цена единицы продукции постоянна и равна 60 руб./шт. Определите объем выпуска, который позволит фирме максимизировать прибыль.

Решение:

Фирма максимизирует прибыль при МС = МR, который в условиях совершенной конкуренции равен цене единицы продукции, т.е. 60 руб.

Поэтому МR = 60 →МС = 60 → Q = МС – 10 = 50.

 

Задача 2.

 

Допустим, фирма полностью монополизировала производство товара. При этом ее предельный доход = 1000 – 20Q, а общий доход = 1000Q – 10Q2. Предельные издержки = 100+10Q. Сколько товаров будет продано и по какой цене, если фирма функционирует как чистая монополия?

Решение:

Т.к. для любой фирмы, в т.ч. и монополии, условием максимизации прибыли является соблюдение равенства MR = MC, то, приравняв друг к другу уравнения предельного дохода MR и предельных издержек MC, найдем объем продаж

Q: 1000 – 20Q = 100 + 10Q →Q = 30 ед.

Т.к. TR = P • Q = 1000Q – 10Q2, то функция спроса: Р = 1000 –

10Q →P = 700 ден. ед.

 

Задача 3.

 

Постоянные затраты монополиста составляют 400 млн. руб. в год, переменные затраты на единицу продукции составляют 10 тыс. руб. Спрос в интервале цен от 30 до 50 тыс. штук описывается линейной функцией в тыс. шт.: 100 - 1,4 'Р, где Р — цена в тыс. руб. При какой цене достигается максимум прибыли?

Решение:

Приведем решение с полным выводом всех формул. Пусть Р, q и П — неизвестные цена, количество и прибыль: П(Р, q) = R(P, q) - C(q), где R — выручка, а С — производственные затраты.

R(P, q) = P-q,

C(q) = F + V(q) = F + vq,

где F, V — постоянные и переменные расходы, v — удельные расходы (и = 10 тыс. руб./шт.).

Количество q ограничено спросом:

q < Dd(P) = D - d-P,

где D = 100 тыс. шт., a d = 1,4 тыс. шт./тыс. руб. = 1,4 шт./руб.

Итак, математически задача формулируется следующим образом:

П(Р, q) = P-q-vq-F-> max

при q < Dd(P) = D - d-P.

При цене (Р), большей, чем переменные издержки на единицу продукции (У), выгодно производить максимально возможное для продажи количество товаров, то есть ограничивающее неравенство превращается в равенство:

q = D - d-P,

и путем подстановки получаем:

- d-P2 + (D + d-v)-P - D-v - F -> max (по Р).

Максимум квадратичной формы с отрицательным коэффициентом при квадрате (-d) достигается в точке среднего арифметического корней:

Цена: P = p1 + p2 /2 = D + d *v /2d = 40,714 тыс. руб.;

Количество: q = D+d*v / 2 = 43 тыс. шт.,

где D = 100; d = 1,4; v = 10;

Максимальная прибыль:

П max = (D+d*v)2 / 4d – F = 1178 - 400 = 778 млн. руб.

 

Задача 4.

 

Предприятие находится в условиях совершенной конкуренции. Цена установилась на уровне 10 тыс. руб. Зависимость общих затрат от выпуска продукции представлена в таблице:

Выпуск (шт.)	Общие затраты (тыс. руб.)

Какой объем производства выберет предприятие, максимизирующее прибыль?

Решение:

Применим маржинальный анализ. До тех пор пока маржинальная (предельная) отдача будет превышать маржинальные (предельные) затраты, следует увеличивать выпуск продукции. В общепринятых обозначениях этот критерий может быть записан:

 

Выпуск (шт.)	Общие затраты (тыс. руб.)	Маржинальные затраты МС (тыс. руб.)	Маржинальная отдача MR (тыс. руб.)	Маржинальная прибыль MP (тыс. руб.)
				-1
				-2

 

так: MR > МС.

В данном случае MR = Р, то есть отдача возрастает при фиксированной цене каждый раз на эту самую цену. Из составленной таблицы следует, что, выпустив тринадцать единиц продукции, нужно остановиться, так как четырнадцатая единица принесет уменьшение общей прибыли на 1 тыс. руб.

Ответ:13.

 

 

Задача 5.

 

Допустим, общие затраты конкурентной фирмы на выпуск Q единиц продукции составляют Q2 - 16 • Q + 74. Сколько нужно выпускать, чтобы прибыль была максимальной, если рынок диктует цену, равную 20 единицам? Какова эта максимальная

прибыль?

Решение:

МС = 2-Q - 16, условие максимизации прибыли МС = MR, а в данном случае MR — Р, следовательно, Qo = 18, ТС = 110, TR = 360, прибыль равна 250.

 

Задача 6.

 

Монополист работает на рынке с неэластичным спросом. Как он должен изменить цену с целью максимизации прибыли? Ответ поясните.

Решение:

В зоне неэластичного спроса даже серьезное повышение цены ведет лишь к небольшому падению спроса. Таким образом, выручка с ростом цены вырастет. Издержки в этой ситуации снизятся в связи с сокращением объема продаж. Таким образом, прибыль фирмы увеличится при повышении цены.

Рынок труда

Задача 1

Фирма продает некий продукт на совершенно конкурентном рынке по 10 руб. за штуку. Производственная функция имеет вид: Q = 145L –0,75L², где Q – объем производства, L – количество работников. Ставка заработной платы W = 1000руб. в месяц.