Вероятность и нечеткая логика в экспертных системах

Определение: Эвристические правила – это правила, сформулированные экспертом.

В основе многих эвристических правил лежит вероятность появления определенного события, вычислить которую может только эксперт, т.е. эксперт делает обоснование предположения в своей проблемной области. В действительности это означает, что существуют статистические данные, позволяющие делать какие-либо предположения. Это могут быть, например, медицинский диагноз, который врач ставит на основании своих наблюдений над пациентом. Опыт врача во многих случаях с большей точностью позволяет определить заболевание пациента. Конечно, есть вероятность, что врач ошибся, поэтому часто рассматриваются и другие диагнозы.

Байес разработал вероятностную методику, основанную на утверждении, что какое-то событие произойдет, потому что раньше уже произошло какое-то другое событие. В экспертных системах широко применяются статистические решения, опирающиеся на теорию Байеса.

Основные понятия теории вероятности

Теория вероятностей изучает случайные события. Очень часто человек, сам того не замечая, высказывает предположение или делает вывод, пользуясь терминологией теории вероятности.

Вероятность можно определить следующим образом:

 

Вероятность Байеса

Байес занимался разработкой теории условной вероятности. Условная вероятность учитывает уже известные исходы экспериментов.

Условная вероятность – это вероятность наступления какого-то события S при условии, что уже наступило какое-то другое событие L.

Условная вероятность обозначается P(S/L).

Вероятность наступления двух событий вычисляется следующим образом:

, т.е.

Вероятность того, что произойдут два события S и L, причем L произойдет первым, равна вероятности наступления события S, если известно, что произошло событие L, умноженного на вероятность появления события L.

Пример. Пусть из набора букв I I O O случайным образом выбирается либо буква I, либо O.

Применяя уравнение условной вероятности, можно вычислить вероятность того, что в двух попытках сначала попадется буква О, а потом буква I.

, так как в наборе две О из четырех.

Вероятность , IIO O уже взяли

После О выбрана I

В экспертных системах используется еще одно уравнение условной вероятности:

(1)

Вероятность появления события S равна вероятности появления события S при условии появления события l (P(S/L)) умноженной на вероятность появления события l (P(l)) плюс вероятность появления события S при условии, что событие l не произошло P(S/NOT l) умноженная на вероятность, что событие l не произошло P(S/NOT l).

Пример.

Рассмотрим использование условной вероятности на примере правил, описывающих экспертную систему фондовой биржи.

П1: ЕСЛИ проц_ставки==падают,

ТО уровень_цен=растет

П2: ЕСЛИ проц_ставки==растут,

ТО уровень_цен=падает

П3: ЕСЛИ вал_курс_доллара==падает,

ТО проц_ставки=растут

П4: ЕСЛИ вал_курс_доллара==растет,

ТО проц_ставки=падают

Надо определить вероятность повышения уровня цен.

Цель примера не в описании реальной ситуации, а в иллюстрации подхода к решению задачи.

Система, реализующая обратные рассуждения в части ТО правил, будет искать вывод уровень_цен=растет. Подойдет правило1 при условии, что проц_ставки=падают. Используя (1) условной вероятности, можно оценить эти условия.

Заменяя S на STOCK=растет и l на INT=падают, тогда получим:

 

(2)

 

Для того, чтобы определить, присвоено ли переменной INT значение ПАДАЮТ надо вернуться к правилу 4:

ЕСЛИ DOLLAR=РАСТЕТ,

ТО INT=ПАДАЮТ

Правило 4 преобразуется в уравнение (3)

(3)

 

Поскольку ни в одном из правил части ТО нет переменной DOLLAR, т.е. значение вероятности Р для нее определить нельзя, то значение должно быть введено пользователем. По этой же причине пользователем должна быть задана условная вероятность.

Пусть Р(DOLLAR=РАСТЕТ)=0,6

Согласно теории вероятностей сумма вероятности появления и непоявления какого-либо события равна 1, следовательно

Р(DOLLAR=НЕ_РАСТЕТ)=1- Р(DOLLAR=РАСТЕТ)=1-0,6=0,4

Присвоим значения всем условным вероятностям

P(INT=ПАДАЕТ/DOLLAR=РАСТЕТ)=0,8

P(INT=ПАДАЕТ/DOLLAR=НЕ_РАСТЕТ)=0,1

(сумма условной вероятности противоположных событий не равна 1)

Подставим эти значения в (3)

P(INT=ПАДАЕТ)=0,8*0,6+0,1*0,4=0,52

P(INT=НЕ_ПАДАЕТ)=1- P(INT=ПАДАЕТ)=1-0,52=0,48

Для того, чтобы найти P(STOCK=РАСТЕТ) пользователем должны быть заданы значения условной вероятностей.

P(STOCK=РАСТЕТ/INT=ПАДАЕТ)=0,85

P(STOCK=РАСТЕТ/INT=НЕ_ПАДАЕТ)=0,1

Тогда согласно (2)

P(STOCK=РАСТЕТ)= 0,85*0,52+0,1*0,48=0,49 или 49%

Получив все значения вероятностей, пользователь может определить свою политику на бирже.

 

Лекция 8

Нечеткая логика

Рассмотрим другой аспект теории вероятностей. Не всегда можно описать событие с помощью точно определенных правил. Люди не всегда могут ответить на вопросы точно.

Можно ли узнать, какая у человека температура, если он говорит, что слегка заболел? Скорее всего нет!

Такие слова, как «высокий», «горячий» и «легкий», «растет» или «падает», представляют собой лингвистические переменные, которые нельзя определить одним значением. Использование этих понятий при формировании правил называется нечеткой логикой.

Понятие «падает» - также лингвистическая переменная, использующаяся в правилах, описывающих фондовую биржу. Применяя лингвистические переменные можно вычислить значения некоторых вероятностей, не обременяя пользователя лишними вопросами. Для этого необходимо конкретизировать лингвистические переменные. Пользователю экспертной системы нужно позволить добавлять к этим переменным определения, например «маленький» или «средний». Пользователь может задать маленькое повышение курса доллара и экспертная система должна точно знать, что под этим подразумевается. Рассмотрим на примере.

Таблица вероятностей.

Для оценки повышения уровня цен на бирже будем пользоваться двумя правилами:

П1: ЕСЛИ INT==падают,

ТО STOCK=растет

П4: ЕСЛИ DOLLAR==растет,

ТО INT=падают

И соответствующими им условными вероятностями (2) и (3).

В решении этих уравнений обязательно участие эксперта, который должен построить для пользователя таблицу вероятностей. Эта таблица будет содержать уточняющие слова, используемые для конкретизации необходимых пользователю понятий (например, «средний рост»). В одной строке с уточняющими словами записывается процент изменения лингвистической переменной, а также вероятность и условная вероятность, что это изменение произойдет.

	Столбец 1	Столбец 2	Столбец 3
Лингвистическая переменная	Курс доллара растет в соответствии со значением таблицы	P(INT=ПАДАЕТ/DOLLAR=РАСТЕТ)	Р(DOLLAR=РАСТЕТ)
Маленький Средний Большой	1-2% 3-4% свыше 4%	0,2 0,5 0,8	0,5 0,3 0,1

 

Пусть эксперт считает, что курс доллара растет в соответствии с числами столбца1 или не растет вообще. Никаких других вариантов нет. Следовательно, эксперт должен определить вероятность для двух случаев. В первом случае, когда курс доллара повышается, вероятность записывается прямо в таблицу. Во втором случае при условии, что курс доллара не повышается эксперт записывает условную вероятность падения процентных ставок P(INT=ПАДАЕТ/DOLLAR=НЕ_РАСТЕТ)=0,07

Вероятность роста уровня цен при сохранении процентных ставок (процентные ставки ПАДАЮТ) эксперт записывает как P(STOCK=РАСТЕТ/INT=ПАДАЕТ)=0,2, если же процентные ставки не падают, эта вероятность записывается как P(STOCK=РАСТЕТ/INT=НЕ_ПАДАЕТ)=0,1.

Такие таблицы создаются и заполняются экспертом. Они становятся частью БЗ и время от времени могут меняться Эксперт должен вносить изменения в таблицы в том случае, если изменяются вероятности, относящиеся к процентным ставкам или курсу доллара. Исправления в таблицу может вносить вместо человека другая экспертная система.

Как пользователь экспертной системы пытается узнать вероятность повышения уровня цен на бирже, система задает ему вопрос:

Посчитать результат, если повышение курса доллара:

1-маленькое

2-среднее

3-большое

введите номер -? 2

Допустим, что пользователь выбрал второй номер, т.е. среднее. Из таблицы видно, что пользователь ожидает повышение курса доллара на 3-4%. Все данные необходимые для решения, можно найти в таблице:

Вероятность	Источник
Р (DOLLAR = РАСТЕТ)=0.3 P(DOLLAR = НЕ РАСТЕТ) = 1-0.3 = 0.7 Р (INT = ПАДАЮТ | DOLLAR=PACTET) = 0.5 Р (INT = ПАДАЮТ | DOLLAR | HE РАСТЕТ) = 0.07 P (INT = ПАДАЮТ) = 0.5*0.3 + 0.07*0.7	Строка 2, столбец 3 таблицы Основное правило Строка 2,столбец 2 таблицы Эксперт Уравнение 3 = 0.199

Теперь можно посчитать Р(STOCK = РАСТЕТ). Для этого нужно воспользоваться предыдущим результатом:

Вероятность	Источник
Р (INT = ПАДАЮТ) = 0.199 Р (INT= HE ПАДАЮТ) = 1-0.199=0.811 Р (STOCK=PACTET | INT=ПАДАЮТ)=0.2 Р (STOCK=PACTET | INT=HE ПАДАЮТ) = 0.1	Предыдущее вычисление Основное правило Эксперт Эксперт

Из уравнения 3 можно вычислить вероятность повышения уровня цен:

Р (STOCK=PACTET) = 0.2*0.199+0.1*0.811 = 0.121

т.е. вероятность равна 12,1 %. Пользователь освобождён от создания таблицы и заполнения ее значениями, этой тяжелой работой занимается эксперт.

 

 

Лекция 9