Критерії оптимальності приймача.

В процесі виявлення сигналу можуть бути помилки двох видів:

1) рішення про наявність сигналу, коли насправді є тільки шум (хибна тривога) Рхт;

2) рішення про відсутність сигналу, коли сигнал дійсно є (пропуск сигналу) Рпр;

В залежності від ймовірності помилок введені критерії:

- Згідно з критерієм ідеального спостерігача приймач є оптимальним, якщо він забезпечує мінімальну ймовірність помилки будь якого виду.

Згідно критерієм Неймана-Пірсона приймач є оптимальним, якщо він забезпечує максимальну ймовірність правильного виявлення, мінімальну ймовірність пропуску сигналу при заданій ймовірності помилкової тривоги.

Критерій Неймана-Пірсона найбільше застосовується в радіолокації.

Відомі інші критерії оптимальності приймача (критерій Байєса, мінімаксний критерій, критерій втрати інформації).

В загальному випадку різним критеріям оптимальності відповідають різні структури і властивості оптимального приймача.

 

Теорема Байеса — одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая определяет вероятность наступления события в условиях, когда на основе наблюдений известна лишь некоторая частичная информация о событиях; по формуле Байеса можно пересчитывать вероятность, беря в учет как ранее известную информацию, так и данные новых наблюдений. Формула Байеса позволяет вычислить условную плотность вероятности х на входе, если задан y.

Формула Баєса: , где

w(x)- априорная плотность вероятности x вектора сигнала(до ввода),

w(y)- безусловная плотность вероятности вектора y;

w(y|x)- условная плотность вероятности y если x задан

Для определения апостериорной вероятности P(x|y) или плотности вероятности w(x|y) необходимо знать плотность вероятности w(y|x), которая при заданном y будет зависить только от x, то есть w(y|x)=L(x) – функция правдоподобия. В зависимости от того являються ли х дискр. или непрер. величиной функция правдоподобн. может принять конечное или бесконечное множество значений. Значение функции правдоподобия w(y|x)=L(x) это условная плотность вероятности выборки у при наличии полезного сигнала х, а L(x₀)=w(x|x₀) условная плотность вероятности выборки у при отсутствии х, в случае когда есть только шум.

Потери, которые возникают при ошибочном решении, что был принят сигнал , когда на самом деле передавался обозначим . Естественно принять . Условный риск при передаче есть

(31)

т.е. определяется суммой вероятностей ошибок с учётом потерь .

Если – априорная вероятность передачи сигналов или средняя частота, с которой сигналы передаются в канал, тогда средний риск при передаче одного сигнала из m возможных равен

(32)

где – безусловная вероятность.

Качество канала передачи сообщений тем выше, чем меньше средний риск R в (32).

Критерий среднего риска является одним из наиболее общих. Это Байесовский критерий, поскольку он основан на априорно известных вероятности передачи отдельных сигналов и условной вероятности на приемной стороне, что позволяет воспользоваться формулой Байеса в (32).критерий Неймана-Пирсона можно интерпретировать как частный случай Байесовского критерия. Для случая различения сигналов используем соотношение

(42)

где – апостериорная вероятность того, что передавался сигнал при условии принятого сигнала x, p(x) – безусловная плотность вероятности сигнала x. Согласно формуле Байеса,

(43)Условие максимума апостериорной вероятности есть В случае обнаружения сигнала должно выполняться условие

(44) или (45) (46)

 

Левая часть неравенства (46) носит название отношения правдоподобия. Правая часть в случае неизвестных вероятностей отсутствия и наличия сигнала также неизвестна, поэтому принимают, что отношение правдоподобия должно быть выше заданного порогового значения P. Таким образом, пространство X реализаций x преобразуется в значения P на числовой оси, так что условные вероятности принять сигнал при условии его наличия или отсутствия выражаются в форме

(47) (48)

Поэтому при установленной границе принятия решений

(49) (50)

 

Структура оптимального приемника Неймана-Пирсона строится так, чтобы выполнялось условие .