Решение задач на пропорциональное деление

Характерные особенности такого вида задач:

1) В начальных классах решаются задачи на пропорциональное деление только с прямо пропорциональной зависимостью величин.

2) В начальных классах задачи на пропорциональное деление решаются только способом нахождения значения постоянной величины.

Подготовка:

1) Работа над величинами.

2) Связь между величинами.

3) Наблюдение за зависимостью между величинами.

4) Хорошее овладение способами решения задач на нахождение четвёртого пропорционального.

Ознакомление: первые задачи на пропорциональное деление иллюстрируются или инсценируются. Переход к ознакомлению можно осуществлять от задач на нахождение четвёртого пропорционального.

Вид задачи	На пропорциональное деление
Условие	В магазин привезли 6 ящиков картофеля и 4 таких же ящика свёклы. Всего в магазин привезли 120 кг овощей. Сколько килограммов картофеля и сколько килограммов свёклы привезли в магазин?
Краткая запись условия	120 кг
Разбор задачи	Ана­литический способ разбора (от вопроса к данным): 1) Что известно в задаче? 2) Что нужно узнать в задаче? 3) Можем ли мы сразу ответить, сколько килограммов картофеля привезли в магазин? (Нет.) 4) Что для этого нужно узнать? (Массу одного ящика и количества ящиков.) 5) Количество ящиков известно, а как можно найти массу одного ящика? (Общую массу разделить на общее количество ящиков.) 6) Как найдём общее количество ящиков? (К 6 прибавим 4.) 7) Узнав массу одного ящика, как найдём массу всего картофеля? (Массу одного ящика умножим на количество ящиков с картофелем.) 8) Как узнать массу всей свёклы? (Массу одного ящика умножим на количество ящиков со свёклой.) 9) Как можно другим способом узнать массу всей свёклы? (Из общей массы вычесть массу картофеля.)
Запись решения	Запись решения по действиям с пояснением: 1) 6 + 4 = 10 (ящ.) – привезли всего. 2) 120: 10 = 12 (кг) – масса одного ящика. 3) 12 ∙ 6 = 72 (кг) – привезли картофеля. 4) 12 ∙ 4 = 48 (кг) – привезли свёклы. Ответ: 72 кг и 48 кг.
Закрепление:задания на составление задач данного вида с акцентированием на жизненную ситуацию. Решение задач на нахождение неизвестных по двум разностям В качестве подготовительных упражнений к ведению задач этого типа полезно предлагать задачи-вопросы и простые задачи повышенной трудности, которые помогут детям уяснить соответствие между двумя разностями, например: 1) Сестра купила 5 одинаковых тетрадей, а брат 8 таких же тетрадей. Кто из них больше уплатил денег? Почему? За сколько тетрадей брат уплатил столько же денег, сколько уплатила сестра? 2) Брат и сестра купили тетради по одинаковой цене. Брат купил на 3 тетради больше, чем сестра, и уплатил на 6 рублей больше, чем сестра. Сколько стоила 1 тетрадь? Выполняя предметную иллюстрацию, надо показать детям, что брат купил столько же тетрадей, сколько сестра, и ещё 3 тетради и уплатил денег столько же, сколько сестра, и ещё 6 рублей. Отсюда можно заключить, что 3 тетради стоят 6 рублей, значит, можно узнать, сколько стоит 1 тетрадь. Такие упражнения надо включать с различными группами пропорциональных величин.   Методика работы по ознакомлению с задачами на нахождение неизвестных по двум разностям аналогична мето­дике введения задач на пропорциональное деление.
Вид задачи	На нахождение неизвестных по двум разностям
Условие	В магазин привезли 6 ящиков картофеля и 4 таких же ящика свёклы, причём картофеля привезли на 24 кг больше, чем свёклы. Сколько килограммов картофеля и сколько килограммов свёклы привезли в магазин?
Краткая запись условия	на 24 кг больше.   Из этой наглядной записи хорошо видно, что 24 кг картофеля находится в 2 ящиках.
Разбор задачи	Синтетический способ разбора (от данных к вопросу): 1) Что известно в задаче? 2) Что нужно узнать в задаче? 3) Почему картофеля оказалось в магазине на 24 кг больше? (Потому, что ящиков с картофелем было больше.) 4) На сколько ящиков больше? (На 2.) 5) Какой вывод из этого можно сделать? (Что 24 кг картофеля находится в 2 ящиках.) 6) Зная это, как найти массу одного ящика с картофелем? (Нужно 24 кг разделить на 2.) 7) Как теперь найти массу картофеля и массу свёклы? (Массу одного ящика умножить на количество ящиков.)
Запись решения	Запись решения с предварительной постановкой вопросов: 1) На сколько ящиков картофеля привезли больше, чем свёклы? 6 – 4 = 2 (ящ.) 2) Какова масса одного ящика с овощами? 24: 2 = 12 (кг) 3) Сколько килограммов картофеля привезли в магазин? 12 ∙ 6 = 72 (кг) 4) Сколько килограммов картофеля привезли в магазин? 12 ∙ 4 = 48 (кг) Ответ: 72 кг картофеля и 48 кг свёклы.

 

Проверка решения выполняется способом установления соот­ветствия между числами, полученными в ответе, и данными в условии задачи: узнаем, действительно ли картофеля привезли на 24 кг больше чем свёклы: 72 – 48 = 24; значит, можно считать, что задача решена правильно.

Для закрепления умения решать задачи предлага­ются:

- готовые задачина нахождение неизвестных по двум раз­ностям I вида с различными группами пропорциональных ве­личин и проводятся различные упражнения творческого характера;

- задачи на нахож­дение неизвестных по двум разностям II вида;

- упражнения на преобразование задач.

Задачи, связанные с движением, т. е. задачи с ве­личинами: скорость, время, расстояние, рассматриваются в 4 классе.

Подготовительная работа к решению задач, свя­занных с движением, предусматривает обобщение представлений детей о движении, знакомство с новой величиной – ско­ростью, раскрытие связей между величинами: скорость, время, расстояние.

С целью обобщения представлений детей о движении полезно провести специальную экскурсию по наблюдению за движе­нием транспорта, после чего провести наблюдение в условиях класса, где движение будут демонстрировать сами дети. На экскурсии и во время работы в классе пронаблюдать за движением одного тела и двух тел относительно друг друга. Так, одно тело (трамвай, машина, человек и т.п.) может двигаться быстрее имедленнее, может остановиться, может двигаться по прямой или кривой. Два тела могут двигаться в одном направлении, а могут двигаться в противоположных направлениях: либо приближаясь одно к другому (двигаясь навстречу одно к другому), либо удаляясь одно от другого. Наблюдая указанные ситуации в условиях класса, надо показать детям, как вы­полняются чертежи: расстояние принято обозначать отрезком; место (пункт) отправления, встречи, прибытия и т.п. обознача­ют либо точкой на отрезке и соответствующей буквой, либо чёр­точкой, либо флажком; направление движения указывают стрел­кой. Например, встречное движение двух тел изображается так:

 

А ├────────┼────────┤ В

Здесь отрезок обозначает расстояние, которое должны прой­ти тела до встречи, флажок – место встречи, точки А и В – пункты выхода тел, стрелки – направление движения. Полезно выполнять и обратные упражнения: по данному чертежу выпол­нять соответствующее движение.

При ознакомлении со скоростью целесообразно так органи­зовать работу, чтобы учащиеся нашли скорость своего движе­ния пешком. Для этого можно начертить во дворе, в спортзале или коридоре «замкнутую дорожку». На дорожке надо отметить расстояния по 10 м, чтобы удобнее было нахо­дить, какой путь прошёл каждый ученик. Учитель предлагает детям идти по дорожке, например, в течение 4 мин. Учащиеся сами легко найдут по десятиметровым отметкам пройденное расстояние. На уроке каждый из детей может вычислить, какое расстояние он проходит за 1 мин. Учитель сообщает, что рас­стояние, которое прошёл ученик за минуту, называют его ско­ростью. Ученики называют свои скорости. Затем учитель назы­вает скорости некоторых видов транспорта. Эти данные уча­щиеся могут записать в своих справочниках и использовать в дальнейшем при составлении задач.

Раскрытие связей между величинами: скорость – время – расстояние ведётся по такой же методике, как и раскрытие связей между другими пропорциональными величинами. В результате решения соответствующих простых задач ученики долж­ны усвоить такие связи: если известны расстояние и время дви­жения, то можно найти скорость действием деления; если из­вестны скорость и время движения, то можно найти расстояние действием умножения; если известны расстояние и скорость, то можно найти время движения действием деления.

Далее, опираясь на эти знания, дети будут решать состав­ные задачи, в том числе задачи на нахождение четвёртого про­порционального, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестных по двум разностям с величинами: скорость, время, расстояние. При работе над этими задачами надо чаще исполь­зовать иллюстрации в виде чертежа, так как чертёж помогает правильно представить жизненную ситуацию, отражённую в задаче.

Так же как и при решении задач других видов, следует включать упражнения творческого характера на преобразова­ние и составление задач.

Одновременно с решением задач названных видов в 4 клас­се вводятся задачи на встречное движение и движение в про­тивоположных направлениях. Каждая из этих задач имеет три вида в зависимости от данных и искомого:

I вид – даны скорость каждого из тел и время движения, искомое – расстояние;

II вид – даны скорость каждого из тел и расстояние, ис­комое – время движения;

III вид – даны расстояние, время движения и скорость одного из тел, искомое – скорость другого тела.

В целях подготовки к введению задач на встречное дви­жение очень важно сформировать правильные представления об одновременном движении двух тел: дети должны хорошо уяснить, что если два тела вышли одновременно навстречу друг другу, то до встречи они будут находиться в пути одинаковое время и при этом оба пройдут всё расстояние между пунктами, из которых они вышли. Чтобы дети осознали это, следует вклю­чать задачи-вопросы, аналогичные следующим:

1) Из двух городов одновременно отплыли навстречу друг другу два теплохода и встретились через 3 ч. Сколько времени был в пути до встречи каждый теплоход?

2) Из посёлка в город вышел пешеход и в это время из го­рода навстречу ему выехал велосипедист, который встретил пешехода через 40 мин. Сколько времени был в пути до встречи пешеход?

Теперь можно ознакомить детей с решением задач на встречное движение, причём целесообразно на одном уроке ввести все три вида, получая новые задачи путём преобразова­ния данной в обратные. Такой приём позволяет детям само­стоятельно найти решение, поскольку задача нового вида будет получена из задачи, уже решённой детьми. Раскроем это на конкретном примере.

Учитель читает задачу: «Из двух поселков выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста и встрети­лись через 2 ч. Один ехал со скоростью 15 км в час, а второй со скоростью 18 км в час. Найти расстояние между поселками».

Что известно о движении велосипедистов? Что надо узнать? Пусть это будет посёлок, из которого выехал первый велосипе­дист. (Учитель вставляет в наборное полотно карточку с рим­ской цифрой «I»). А это посёлок, из которого выехал второй велосипедист. (Вставляет карточку.) Двое из вас будут вело­сипедистами. (Выходят два ученика.) С какой скоростью ехал первый? (15 км в час.) Это твоя скорость. (Даёт карточку, на которой написано число 15.) Это твоя скорость. (Даёт второму ученику карточку.) Сколько времени они будут двигаться до встречи? (2 ч.) Начинайте двигаться. Прошел час. (Дети встав­ляют одновременно свои карточки в наборное полотно.) Про­шёл второй час. (Дети вставляют карточки.) Встретились ли велосипедисты? (Да.) Почему? (Шли до встречи по 2 ч.) Обо­значу место встречи флажком. (Вставляет флажок.) Что надо узнать? (Всё расстояние.) Обозначу вопросительным знаком. Получается иллюстрация:

 

I

?

II

 

 

После такого разбора учащиеся сами находят два способа решения. Решения надо записать с пояснениями сначала от­дельными действиями, а позднее можно записать выражение или уравнение.

Первый способ:

1) 35 ∙ 2 = 30 (км) – проехал первый велосипедист;

2) 18 ∙ 2 = 36 (км) – проехал второй велосипедист;

3) 30 + 36 = 66 (км) – расстояние между поселками.

Второй способ:

1) 15 + 18 = 33 (км) – сближались велосипедисты в час;

2) 33 ∙ 2 = 66 (км) – расстояние между поселками.

Если дети затруднятся в решении вторым способом, надо вновь проиллюстрировать движение: прошел час – сблизились на 33км, ещё час – ещё сблизились на 33 км, т.е. велосипе­дисты проехали 2раза по 33 км.

Учитель на доске, а дети в тетрадях выполняют чертёж к решённой задаче:

15км/ч 2 ч 18 км/ч

 

I ├────────┼────────┤ II

 

?

Выясняется, который из велосипедистов прошёл до встречи большее расстояние и почему.

Учитель изменяет условие задачи, используя тот же чертёж:

 

15км/ч? ч 18 км/ч

 

I ├────────┼────────┤ II

 

66 км

Дети составляют задачу по этому чертежу, затем задача коллективно разбирается, после чего записывается решение с пояснениями:

1) 15+18=33 (км) – сближались велосипедисты в час;

2) 66:33=2 (ч) – время движения до встречи.

Условие задачи ещё раз изменяется:

? км/ч 2 ч 18 км/ч

 

I ├────────┼────────┤ II

 

66 км

Ученики составляют задачу, после чего коллективно разби­раются два способа решения:

Первый способ:

1) 18 ∙ 2 = 36 (км) – проехал до встречи второй велосипедист;

2) 66 – 36 = 30 (км) – проехал до встречи первый велосипедист;

3) 30: 2 = 15 (км/ч) – скорость первого велосипедиста.

Ответ: 15 км в час.

Второй способ:

1) 66: 2 = 33 (км) – сближались велосипедисты в час;

2) 33 – 18 = 15 (км/ч) – скорость первого велосипедиста.

Ответ: 15 км в час.

На последующих уроках проводится работа по закрепле­нию умения решать задачи рассмотренных видов. С этой целью включаются готовые задачи на встречное движение, при этом учащиеся сами выполняют чертёж, выясняя предварительно, ближе к какому пункту произойдёт встреча. Как и при работе над другими задачами, следует выполнять различные упраж­нения творческого характера.

Аналогичным образом ведётся работа над задачами на дви­жение в противоположных направлениях.