Характеристики точности измерений

Каждая погрешность в отдельности не может характеризовать точность измерений, поскольку она случайна. Нужна такая оценка, которая характеризует точность в среднем.

Общепринятой характеристикой точности является предложенная К.Ф. Гауссом средняя квадратическая погрешность

, (5.4)

где Δ₁, Δ₂, …, Δ _n – случайные погрешности измерений. Достоинством этой характеристики является ее устойчивость, независимость от знаков отдельных погрешностей и усиленное влияние больших погрешностей.

Теоретически строгим значением средней квадратической погрешности считают оценку, получаемую по формуле (5.4) при бесконечно большом числе измерений, то есть при n ®¥. Такую строгое значение средней квадратической погрешности часто именуют термином стандарт.

На практике приходится пользоваться ограниченным числом измерений, отчего оценки, вычисленные по формуле (5.4) вследствие случайного характера погрешностей Δ _i отличаются от строгой оценки – стандарта. Средняя квадратическая погрешность определения m по формуле (5.4) приближенно равна .

Формула (5.4) находит применение при исследовании точности геодезических приборов и методов измерений, когда известно достаточно точное, близкое к истинному, значение X измеряемой величины. Но обычно значение измеряемой величины заранее неизвестно. Тогда вместо формулы Гаусса пользуются формулой Бесселя (см. раздел 5.5), определяющей среднюю квадратическую погрешность по отклонениям результатов измерений от среднего.

В большинстве случаев погрешности измерений распределены по нормальному закону, установленному Гауссом. Это означает, что в интервал от – m до + m попадает 68,27% результатов повторных измерений одной и той же величины. В интервал от –2 m до +2 m попадает 95,45%, а в интервал от –3 m до +3 m попадает 99,73%.

Таким образом, вероятность того, что случайная погрешность превышает 2 m, равна 4,5%, а что она превышает 3 m - лишь 0,27%. Поэтому погрешности, большие 2 m, считают практически невероятными и относят к числу грубых погрешностей, промахов.

Величину 2 m называют предельной погрешностью и используют как допуск при отбраковке некачественных результатов измерений.

D_пред = 2 m.

В ряде случаев за предельно допустимую погрешность принимают величину 3 m.

Величины D, m, D_пред, выражаемые в единицах измеряемой величины, называются абсолютными погрешностями.

Наряду с абсолютными применяются также и относительные погрешности, представляющие собой отношение абсолютной погрешности к измеряемой величине. Относительную погрешность принято выражать в виде простой дроби с единицей в числителе, например

,

где l - ­ значение измеряемой величины, а N – знаменатель дроби.

Относительные погрешности используют, например, когда точность результата измерения зависит от измеряемой величины. Так при одинаковой абсолютной погрешности двух измеренных линий точнее измерена та, длина которой больше.

Средняя квадратическая погрешность функции

Измеренных величин.

В практике геодезических измерений определяемые величины обычно являются функциями других, непосредственно измеряемых величин. Рассмотрим функцию u независимых переменных x, y, z, …

u = f (x,y,z…). (5.5)

Продифференцируем функцию (5.5) по всем переменным и заменим дифференциалы du, dx, dy, dz, …. погрешностями D u, D x,D y,D z, ….

Получили выражение случайной погрешности D u в зависимости от случайной комбинации погрешностей D x,D y,D z, …. Положим, что имеем n таких комбинаций, которым соответствует n выражений:

(i = 1, 2, …, n)

Возведем полученные выражения в квадрат, сложим и разделим на n:

,

где квадратными скобками обозначены суммы.

Устремим число комбинаций в бесконечность (n ® ¥) и, воспользовавшись выражениями (5.4) и (5.3), получим: , , , , . И окончательно

(5.6)

Итак, квадрат средней квадратической погрешности функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждой переменной, умноженных на их средние квадратические погрешности.

Частные случаи.

1. Функция u является суммой переменных x, y, z:

u = x + y + z.

В этом случае =1, =1, =1. Следовательно

= + + .

2. Функция u является разностью переменных x и y:

u = x - y.

В этом случае =1, =-1. Следовательно

= + .

3. Функция u имеет вид:

u = k× x,

где k – постоянный множитель. Теперь = k, поэтому = k ²× и

m_u = k× m_x.

4. Функция u является линейной функцией от x, y, z, …:

u = k ₁ x + k ₂ y + k ₃ z …,

где k_i ­постоянные множители. Теперь частные производные равны = k ₁, = k ₂, = k ₃. Поэтому

.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Определить среднюю квадратическую погрешность превышения, вычисленного по горизонтальному расстоянию d =124,16 м и углу наклона n=2°16´, если m_d = 0,06 м, а m _n = 1´.

Превышение вычисляют по формуле

h = d tgν.

Продифференцируем формулу по переменным d и n:

, .

Используя формулу общего вида (5.6) получим

Подставляя исходные данные, найдем

где 3438¢ -­ число минут в радиане. И окончательно m_h =0,036.м.

Пример 2. При геометрическом нивелировании (см. раздел 9.2) превышение вычисляют как разность отчетов по рейкам

h = a - b.

Отчеты берут с точностью m_a = m_b = 2 мм. Находим среднюю квадратическую погрешность превышения

= 2,8 мм

Пример 3. Выведем формулу допустимой угловой невязки замкнутого теодолитного хода (см. раздел 9.4). Невязку вычисляют по формуле

f _b= b₁+ b₂+ ¼+ b _n -180°(n -2),

где b _i – измеренные углы (i = 1, 2, ¼, n) и n – их число.

Невязка - результат погрешностей в углах b _i. Поэтому средняя квадратическая погрешность невязки равна

m_f = = ,

где m ₁ = m ₂ =¼ = m_n = m – средняя квадратическая погрешность измерения угла. Примем ее равной m = 0,5¢.

Допуском угловой невязки (f _b)_доп служит предельная погрешность (f _b)_пред=2 m_f. Получаем формулу

(f _b)_доп = 1¢ .