Показатели взаимосвязи количественных переменных

 

Для ориентировочной оценки тесноты связи между двумя статистическими показателями используются следующие коэффициенты.

Коэффициент корреляции знаков Фехнера (i)

Определяется сопоставлением знаков отклонений x и y от их средних и подсчетом числа случаев совпадения и несовпадения знаков.

,

где u – число пар с одинаковыми знаками отклонений от средних, v – число пар с разными знаками отклонений от средних.

-1 < i < +1.

Если i близок к +1, то – тесная прямая связь.

Если i близок к -1, то – тесная обратная связь.

Если i близок к 0, то – связи нет.

Коэффициент корреляции рангов Спирмена (ρ)

,

где n – число рангов, R_x – ранг показателя x, R_y – ранг показателя y.

Если среди значений рангов по уровням встречаются одинаковые, то образуются одинаковые средние номера. Например, вместо одинаковых по порядку третьего и четвертого значений ряда будут два ранга по 3,5.

Если ρ близок к +1, то – тесная прямая связь.

Если ρ близок к -1, то – тесная обратная связь.

Если ρ близок к 0, то – связи нет.

Линейный коэффициент корреляции (r_xy)

,

где σ_x и σ_y – среднее квадратическое отклонение x и y соответственно.

-1 < r_xy < +1.

Если | r_xy |≥0,7 – связь сильная,

если 0,5≥| r_xy |<0,7 – связь средняя,

если | r_xy |<0,5 – связь слабая.

При сильной и средней связи, если r_xy >0, то связь прямая, иначе – обратная.

Пример 11.1. Зависимость между затратами производства (X, тыс. руб.) и прибылью (Y, тыс. руб.) 10 малых предприятий района за неделю характеризуется следующими данными.

n	X	Y
	90,53	93,21
	90,22	93,80
	99,41	100,32
	99,68	103,08
	95,11	97,12
	95,40	99,64
	94,24	95,88
	98,35	101,00
	96,34	97,42
	99,34	100,36

Определить тесноту связи между затратами производства и прибылью малых предприятий.

n	X	Y	X -	Y -	Совп	Rx	Ry	Rx-Ry	(Rx-Ry)^2	(X - )^2	(Y - )^2	()()
	90,53	93,21	-5,33	-4,97	+					28,43	24,73	26,52
	90,22	93,8	-5,64	-4,38	+			-1		31,83	19,21	24,73
	99,41	100,32	3,55	2,14	+					12,59	4,57	7,58
	99,68	103,08	3,82	4,90	+					14,58	23,98	18,70
	95,11	97,12	-0,75	-1,06	+					0,57	1,13	0,80
	95,4	99,64	-0,46	1,46	-			-1		0,21	2,12	-0,67
	94,24	95,88	-1,62	-2,30	+					2,63	5,30	3,74
	98,35		2,49	2,82	+			-2		6,19	7,94	7,01
	96,34	97,42	0,48	-0,76	-					0,23	0,58	-0,36
	99,34	100,36	3,48	2,18	+					12,10	4,74	7,57
Итого	958,62	981,83	-	-		-	-	-		109,35	94,30	95,60

, ,

u =8, v =2.

– связь средняя прямая.

– связь тесная прямая.

Следовательно, связь между затратами производства и прибылью малых предприятий района сильная и прямая.

Определение параметров парной линейной регрессии

Наиболее простой случай корреляционной зависимости является парная корреляция – зависимость между двумя признаками (y и x). Уравнение такой связи называется парной линейной регрессией:

,

где y – зависимая переменная, x – факторный признак, α – свободный коэффициент уравнения, β – коэффициент регрессии: показывает, на сколько изменится среднее значение y () при увеличении x на единицу.

Графическое представление парной линейной регрессии.

Парная регрессия легко определяется по графическому изображению реальных статистических данных в виде точек (корреляционное поле или диаграмма рассеивания).

Рис. 11.1. Графическое представление линии парной регрессии с МНК-параметрами

 

Метод наименьших квадратов.

Параметры α и β рассчитываются методом наименьших квадратов (МНК) по данным об n значениях признаков x и y. Исходное условие МНК для парной регрессии имеет вид:

То есть МНК позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной y от расчетных (теоретических) минимальна.

Чтобы найти минимум этой функции необходимо вычислить производные по каждому из параметров α и β и приравнять их к нулю:

Þ

Если первое уравнение разделить на n, то получится:

Þ

Решая систему уравнений далее, находится коэффициент регрессии β:

где - среднее значение x, - среднее значение y, - среднее значение произведения xy, - дисперсия показателя x.

 

Пример 11.2. По данным примера 11.1. определить параметры и построить график уравнения парной линейной регрессии, определить тесноту связи с помощью парного коэффициента корреляции.

, ,

,

Тогда уравнение регрессии будет .

Рис. 11.2. Уравнение парной регрессии и фактические данные