Статистическая проверка гипотез

Понятие статистической гипотезы

Статистическая гипотеза (H, лат. hypothesis) – предположение о свойстве генеральной совокупности, которое можно прове­рить, опираясь на данные выборки.

Например, гипо­теза о том, что средняя в генеральной совокупности равна не­которой величине H: , или о том, что генеральная сред­няя больше некоторой величины: H: .

Различают простые и сложные гипотезы.

− Простая – однозначно характеризует параметр распределения случайной величины. Например, H: .

− Сложная – состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез, при этом указывается некоторая об­ласть вероятных значений параметра. Например, H: . Она состоит из множества простых гипотез: H: , где с — любое число, большее b.

Гипотезы о параметрах генеральной совокупности (, ) назы­ваются параметрическими, о распределениях – непараметри­ческими.

Нулевая гипотеза (H₀) – гипотеза о том, что две или более сравниваемые величины не отличаются. При этом предполагается, что выявленное по дан­ным отличие носит случайный характер.

H₀ отвергается, когда по выборке по­лучается результат, который при истинности выдвинутой H₀ маловероятен. Границей невозможного или маловероятного обычно считают γ = 0,05, т.е. 5%, или 0,01, 0,001 – уровень значимости.

Проверка H₀ осуществляется с помощью статистического критерия – определенное пра­вило, устанавливающее условия, при которых проверяемую нулевую гипотезу следует либо отклонить, либо не отклонить.

Основными статистическими критериями являются

− t-критерий Стьюдента,

− F-критерий Фишера,

− χ² (хи-квадрат) критерий Пирсона.

Принятие или отклонение H₀ определяется границами критической области и области допустимых значений.

Рис. 10.1. Границы критической области и область допустимых значений при

5%-м уровне значимости

Критическая область – область, попадание значения статистического критерия в которую приводит к от­клонению H₀. Вероятность попадания значения критерия в эту область равна принятому уровню значимости γ.

Область допустимых значений дополняет критическую об­ласть. Если значение критерия попадает в область допустимых значений, это свидетельствует о том, что выдвинутая гипотеза H₀ не противоречит фактическим данным (H₀ не отклоняется).

Точки, разделяющие критическую область и область до­пустимых значений, называются критическими точками или границами критической области.

Если вычисляемое значение критерия попадает в крити­ческую область, нулевая гипотеза отклоняется, т.к. она противоречит фактическим данным.

 

Теоретические кривые распределения

Одна из важнейших задач анализа вариационных рядов – выявление закономерности распределения и определение ее характера. Основной путь в выявлении зако­номерности распределения – построение вариационных ря­дов для достаточно больших совокупностей и проверка научной гипотезы, обосновывающей закон распределения ряда.

В практике статистического исследования наиболее распространенными являются нормальное распределение и распределение Пуассона.

Нормальное распределение .

Формула функции плотности нормального распределения следующая:

.

Следовательно, кривая нормального распределения может быть построена по двум параметрам: и σ. Графические нормальное распределение представлено на рис. 10.1.

Особенности кривой нормального распределения:

1. ,

2. As =0,

3. Ex =3.

Расчет теоретических частот кривой нормального распределения.

1. По выборочным данным рассчитываются и σ.

2. Рассчитывается нормированное отклонение каждого варианта от средней арифметической .

3. По таблице распределения функции φ (t) определяются ее значения.

4. Рассчитываются теоретические частоты , где n – число наблюдений, d – длина интервала.

Распределение Пуассона.

Используется, если значения признака являются результатом какого-либо редко возникающего события среди наблюдаемых единиц, и с увеличением значений признака вероятность наступления события падает. Например, распределение автомобилей по числу неисправностей; распределение числа заявок, поступающих на телефонную станцию или ремонтную мастерскую.

Выражается формулой

,

где P (x) – вероятность того, что признак имеет то или иное значение (рис. 10.2).

Рис. 10.2. Кривая распределения Пуассона

 

Расчет теоретических частот кривой распределения Пуассона.

1. По выборочным данным рассчитывается .

2. По таблицам определяется .

3. Рассчитываются теоретические частоты .