Знаки тригонометрических функций

Sin x cos x tg x ctg x

Простейшие тригонометрические уравнения и частные случаи

 

sin t = a, t = (-1) ^narcsin a + πn, n Частные случаи: sin t = 1 t = + 2πn, n sin t = - 1 t = - + 2πn, n sin t = 0 t = πn, n	cos t = a, t = ± arccos a + 2πn, n Частные случаи: сos t = - 1 t = π + 2πn, n cos t = 0 t = + πn, n cos t = 1 t = 2πn, n
tg t = a t = arctg a + πn, n Частные случаи: tg t = 1 t = + πn, n tg t = - 1 t = - + πn, n tg t = 0 t = πn, n	ctg t = a t = arcctg a + πn, n Частные случаи: ctg t = 1 t = + πn, n ctg t = - 1 t = + πn, n ctg t = 0 t = πn, n

Формулы сложения аргументов

Формулы двойного угла

sin2α = 2sinα cosα	cos2α = cos^2α – sin^2 α
cos2α = 2cos^2 α – 1 = 1 – 2sin^2 α

Формулы сложения одноимённых функций

sinα+sinβ = 2sin cos	cosα+cosβ= 2cos
sinα – sinβ = 2sin cos	cosα–cosβ=-2sin

Формулы половинного угла

sinα = 2sin cos	cosα = cos^2– sin^2
cosα =2cos^2 – 1 = 1 – 2sin^2

Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую сумму

Производная. Применение производной

Таблица производных

(производная сложной функции)
Правила дифференцирования

 

Алгоритм составления уравнения касательной

к графику функции у = f(х) в точке х = а.

1. Обозначим абсциссу точки касания буквой а.
2. Вычислим f(a).
3. Найдем f '(х) и вычислим f '(а).
4. Подставим значения числа а, f(а), f '(а) в уравнение касательной.

5. Записать получившееся уравнение y = f(a) + f '(а) · (x-a) и привести к виду у = kx+b.

Геометрический смысл производной функции у = f(х).

( - угловой коэффициент)

Схема исследования функции

1. Область определения функции . Обозн.

2. Исследование функции на чётность и нечётность:

· если , то функция чётная

· если , то функция нечётная

· если оба условия не выполняются, то функция – ни чётная и ни нечётная

3. Определение точек пересечения с осью х:

4. Определение точек пересечения с осью y: ,

5. Промежутки возрастания и убывания функции:

· находим производную функции

· находим критические точки

· если на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке

· если на промежутке, то функция убывает на этом промежутке

6. Точки экстремума: , .

7. Контрольные точки.

8. Построение графика функции .

Наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x)

на отрезке [ а; в ]

1. Область определения функции . Обозн. .

2. Находим производную функции .

3. Находим критические точки .

4. Находим , , если , то находим и .

5. Выбираем из полученных значений наибольшее и наименьшее.

6. Ответ: ; .

Степени и корни

Свойства степеней	Свойства корней
Замечание: 1. 2.

 

 

Уравнение вида имеет решения:

1.

2. , то

3. корней нет

Таблица степеней

степень
2 ^n
3 ^n
4 ^n
5 ^n
6 ^n
7 ^n
8 ^n
9 ^n
10 ^n

Алгоритм решения показательных неравенств

Алгоритм	Образец решения
1. Выбираем основание
2. Приводим обе части неравенства к одному основанию
3. Если a > 1,то функция возрастающая, значит, знакнеравенства сохраняем;   Если 0 < a < 1,то функция убывающая, значит, знак неравенства меняем.	так как а = 2 > 1, то функция возрастающая, значит,
4. Решаем полученное неравенство
Решение отмечаем на числовой оси
5. Ответ

 

Логарифмы

где

определение логарифма

 

основное логарифмическое тождество

 

Свойства логарифмов

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

 

Функции и графики функций

Графики известных функций

График	График	n-положительное, чётное, натуральное число
n = 0	n=1
График	График	График
n-положительное, нечётное, натуральное число	n-отрицательное, нечётное, целое число	n-отрицательное, чётное, целое число

 

Графики степенной функции с дробным показателем

График показательной функции

основание а>1, функция возрастающая	основание 0<а<1, функция убывающая

 

График логарифмической функции

основание а>1, функция возрастающая	основание 0<а<1, функция убывающая

График функции вида

n-чётное	n-нечётное

Преобразование графика функции y = f(x)

f(x)+A	Параллельный перенос графика по оси у на А единиц: вверх, если А > 0, вниз, если А < 0.
f(x-B)	Параллельный перенос графика вдоль оси х на В единиц: вправо, если В > 0, влево, если В < 0. (подсказка: решить уравнение х - В = 0, где х = В, затем определять знак числа В и направление переноса)
C ∙ f(x)	Умножение каждой ординаты у графика функции на число С
f(D∙x)	Деление каждой абсциссы х графика функции на число D
- f(x)	«Зеркальное» отображение графика функции относительно оси х (подсказка: смотри пункт 3)

Первообразная и интеграл

Таблица первообразных

- функция	- общий вид первообразных функции

Неопределенный интеграл .

Свойства неопределенного интеграла

1.

2.

3.

Определенный интеграл .

Формула вычисления площади криволинейной трапеции (формула Ньютона-Лейбница)

Теория вероятностей и

Математическая статистика

Факториал .

Перестановки – комбинация из n элементов по n элементов, где отличается только порядок их следования.

.

Размещения – из n элементов выбирается k элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом или порядком их следования.

- с повторениями; - без повторений.

Сочетания – число комбинаций из n элементов по k элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом, порядок не важен, важен состав.

 

Бином Ньютона

Треугольник Паскаля