Помехоустойчивость двоичных неизбыточных кодов.

Кодовые комбинации состоят из условных единиц и нулей. При искажениях в кодовых комбинациях 1 может быть подавлена помехой и перейти в 0. Это означает, что сигнал 1 трансформировался в 0. Вероятность перехода 1® 0 обозначается как (вероятность трансформации 1 в 0). Вероятность ложного сигнала, т.е. перехода 0 в 1, возможна, если помеха возникает при отсутствии сигнала, т.е. когда посланный 0 трансформируется в 1 и обозначается .

Таким образом, возможны два варианта передачи:

– правильная передача – при этом 1 переходит в 1, т.е. , а 0 переходит в 0, т.е. или и ;

– неправильная передача – при этом 1 переходит в 0, т.е. , или 0 переходит в 1, т.е. , или и .

Вероятность правильной и неправильной передачи 1 и соответственно 0 определяется в соответствии с теоремой о полной группе событий

, (3.17)

. (3.18)

Если , то образуется симметричный канал, т.е. в симметричном канале и равны между собой.

При проектировании эти вероятности задаются:

– если состояние канала хорошее, то ,

– если плохое, то или определяются при испытаниях.

При передаче двоичными неизбыточными кодами возможно два случая:

– передача без ошибок, т.е. все сообщения переданы правильно и оцениваются вероятностью правильного приёма ;

– передача с искажениями хотя бы одного элемента, которая оценивается вероятностью ошибки .

Вероятности и образуют полную группу сообщений, т.е.

. (3.19)

При расчётах и придерживаются следующих положений из теории вероятностей:

– если в двоичном канале заданы вероятности двух переходов, то вероятности двух других переходов могут быть найдены на основе теоремы о полной группе событий (3.17) и (3.18);

– вероятность того, что одна комбинация перейдёт в другую, равна произведению вероятностей переходов каждого символа.

Например, передана комбинация 11001. Под воздействием помех эта комбинация исказится так, что будет вместо неё принята комбинация 10011.

Определим, какова вероятность трансформации первой кодовой комбинации во вторую, если и известны.

Для такой трансформации необходимо, чтобы во втором элементарном сигнале произошла ошибка типа 1 ® 0, а в четвёртом 0 ® 1. Все остальные элементы должны быть приняты верно. Согласно теореме умножения

.

Учитывая, что и , получим

.

Таким образом может быть определён любой член матрицы вероятностей трансформации.

, (3.20)

где – число трансформации вида 0®1;

– число трансформации вида 1®0;

– число совпадающих единиц;

– число совпадающих нулей;

a+b+c+d – число разрядов кодовой комбинации.

Определим условную вероятность правильной передачи. Для правильной передачи кодовой комбинации необходимо, чтобы были правильно переданы все её элементы.

Пусть комбинация состоит из нулей и m единиц. Тогда

. (3.21)

В частном случае для симметричного канала, когда ,

при , (3.22)

где – число элементарных сигналов;

– вероятность ошибочной передачи одного элементарного сигнала.

Вероятность любой ошибки при передачи i –й комбинации равна

.

Для симметричного канала

. (3.23)

Если имеется сообщений, то вероятность трансформации любого i- го сообщения в любое - е сообщение, где , определяется выражением

. (3.24)

Для оценки помехоустойчивости необходимо знать вероятности передачи каждого сообщения и все условные вероятности трансформации одних сообщений в другие , задаваемые обычно в виде матрицы вероятностей трансформации.

. (3.25)

Вероятность возникновения ошибки при передаче i–го сообщения равна

. (3.26)

Средняя вероятность ошибки за такт (время, в течение которого осуществляется передача всех сообщений) найдётся усреднением условных вероятностей ошибки по всем сообщениям с учётом вероятности их передачи

. (3.27)

Пример 3.3. Найти вероятность возникновения двух или трёх ошибок при передаче кодовой комбинации , если и .

Решение. При двух ошибках возможно типов искажений:
Б – 1001, В – 1100, Г – 0110, Д – 0011, Е – 1010, Ж – 0101.

Тогда вероятность возникновения двух ошибок Р (2)= Р (А®Б)+ Р (А®В)+ + Р (А®Г) + Р (А®Д) + Р (А®Е) + Р (А®Ж)= Р ₁₁ Р ₁₀ Р ₁₀ Р ₁₁ + Р ₁₁ Р ₁₁ Р ₁₀ Р ₁₀ + Р ₁₀ ´ ´ Р ₁₁ Р ₁₁ Р ₁₀+ Р ₁₀ Р ₁₀ Р ₁₁ Р ₁₁+ Р ₁₁ Р ₁₀ Р ₁₁ Р ₁₀ + Р ₁₁ Р ₁₀ Р ₁₁ Р ₁₀ Р ₁₁ = 6 Р ₁₁ Р ₁₁ Р ₁₀ Р ₁₀ = = 6 Р ₁₁² Р ₁₀² = 6(1– Р ₁₀)² Р ₁₀² » 6·10^–6.

При трёх ошибках возможно типа искажений: З- 1000,
И – 0100, К – 0010, Л – 0001.

Тогда вероятность возникновения трёх ошибок P (З) = Р (А ® З) + Р (А ® И) +
+ Р (А ® К) + Р (А ® Л) .

Таким образом, вероятность возникновения трёх ошибок существенно меньше вероятности возникновения двух ошибок.

Пример 3.4. Определить вероятность правильного приёма и вероятность любой ошибки в простом двоичном коде с при передаче по симметричному каналу с .

Решение. В соответствии с выражением (3.22) вероятность правильного приёма .Вероятность возникновения любой из ошибок согласно (3.23)

Экзаменационный билет № 31