Закон сохранения полной механической энергии системы.

Запишем основной закон динамики для каждой точки: , k = 1, 2, 3,…, n. Умножим скалярно это уравнение на (учтено ):

, .

Здесь – элементарная работа внешних сил по перемещению k -ой материальной точки, – элементарная работа внутренних сил по перемещению k -ой материальной точки.

Проинтегрируем записанное уравнение по времени: .

Просуммируем полученные уравнения:

Здесь – кинетическая энергия системы материальных точек:

– теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек: изменение кинетической энергии системы материальных точек равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на элементы системы.

Эта теорема справедлива для материального тела и для системы материальных тел.

Под кинетической энергией материального тела понимаем: .

Под кинетической энергией системы материальных тел понимаем: . В случае, когда все внутренние силы системы являются консервативными: . Тогда: . Если также и внешние силы консервативны: , то:

Величина – полная механическая энергия системы.

– закон сохранения полной механической энергии системы: если все внутренние и внешние силы, действующие на элементы системы консервативны, то ее полная механическая энергия сохраняется.

Если только часть сил, действующих на элементы системы консервативны, то полная механическая энергия не сохраняется. Она может убывать или возрастать.

ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА.

Произвольное движение твердого тела можно описать с помощью двух теорем – теоремы об изменении момента импульса относительного центра масс и теоремы о движении центра масс. , , где – момент импульса твердого тела относительно центра масс; - главный момент внешних сил относительно центра масс; m - масса твердого тела; - главный вектор внешних сил.

Рассмотрим простейшие случаи движения – поступательное и вращательное движение вокруг неподвижной оси.

Динамика поступательного движения твердого тела.

При поступательном движении все точки твёрдого тела движутся одинаково, поэтому достаточно узнать, как будет двигаться центр масс тела:

Не следует думать, что теорема о кинетическом моменте не играет в этом случае никакой роли: =0 (т.к. =0). Из этого уравнения можно найти точки приложения сил, которые заранее не известны.

Динамика вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА

Вначале найдём выражение для кинетической энергии материальной точки, вращающейся с угловой скоростью вокруг неподвижной оси OZ. , где m – масса материальной точки. Но , следовательно:

Величину называют моментом инерции материальной точки относительно данной оси. Если выбрана ось OZ: . Таким образом: или . Рассмотрим твёрдое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Кинетическая энергия i -го малого объема ∆V _i твёрдого тела:

Кинетическая энергия твердого тела:

; . Или:

– момент инерции твёрдого тела относительно оси OZ.

или

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА ПРИ СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ

Будем рассматривать сложное движение твердого тела как совокупность двух движений: поступательного со скоростью центра масс тела и вращения вокруг центра масс. Рассмотрим i -ый малый объем ∆V_i твёрдого тела:

; ;

Найдём кинетическую энергию этого элемента в системе координат XYZ

Для нахождения кинетической энергии твёрдого тела необходимо сложить кинетические энергии бесконечно малых объёмов:

,

– скорость центра масс тела в системе, связанной с центром масс равна 0.

,

или

Кинетическая энергия твёрдого тела при произвольном движении равна сумме кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс и кинетической энергии вращения вокруг мгновенной оси, проходящей вокруг центра масс.

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ

Момент инерции твёрдого тела есть характеристика самого тела вне зависимости от его вращения. Величины и R есть функции координат; интегрирование осуществляется по всему объёму. В общем случае неоднородного ( ≠ const) тела произвольной формы вычисление момента инерции является очень сложной задачей. В качестве примеров рассмотрим нахождение моментов инерции некоторых однородных ( = const) тел правильной формы.

1) Момент инерции тонкостенного однородного цилиндра массы m и радиусом R относительно его оси симметрии:

, . С учетом ,

получаем

 

2) Момент инерции сплошного однородного цилиндра массы m радиусом R и высотой H относительно его оси симметрии: . Разобьем цилиндр на бесконечно тонкие слои:

.

С учётом , получаем:

3) Момент инерции тонкого однородного стержня массы m длиной ℓ относительно оси проходящей через его конец перпендикулярно его оси: . .

С учётом , получаем

4) Момент инерции однородного шара массы m радиусом R относительно оси, проходящей через его середину. Приведём конечный результат без вывода:

 

Теорема Штейнера

В случае, когда момент инерции необходимо найти относительно произвольной оси задача существенно упрощается, если для её решения воспользоваться теоремой Штейнера.

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела и произведения массы тела m на квадрат расстояния между осями.

Пример: в соответствии с теоремой Штейнера найдем момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси, проходящей через центр масс, если известен момент инерции относительно оси, проходящей через конец стержня. Учтём, что : . Получим: .