Инерционное звено первого порядка (апериодическое)

Уравнение динамики: , или .

Передаточная функция: .

Переходная характеристика может быть получена с помощью формулы Хевисайда:

 

,

где - корень уравнения D(p) = Tp + 1 = 0; D’(p₁) = T.

 

Переходная характеристика имеет вид экспоненты (рис.45), по которой можно определить передаточный коэффициент k, равный установившемуся значению h(t), и постоянную времени Т по времени t, соответствующему точке пересечения касательной к кривой в начале координат с ее асимптотой. При достаточно больших Т звено на начальном участке может рассматриваться как интегрирующее, при малых Т звено приближенно можно рассматривать как безынерционное.

Примеры апериодического звена: термопара, электродвигатель, четырехполюсник из сопротивления и емкости или сопротивления и индуктивности.

Инерционные звенья второго порядка

Его уравнение: .

Передаточная функция: .

Решение уравнения зависит от соотношения постоянных времени T₁ и T₂, которое определяет коэффициент затухания . Можно записать , где T = T₁.

Если r ≥1, то знаменатель W(p) имеет два вещественных корня p₁ и p₂ и раскладывается на два сомножителя:

T₂ p² + 2 r T p + 1 = T₂ (p - p₁).(p - p₂).

Такое звено можно разложить на два апериодических звена первого порядка, поэтому оно не является элементарным.

 

При r<1 корни полинома знаменателя W(p) комплексно сопряженные: p_1,2 = ± j . Переходная характеристика представляет собой выражение, характеризующее затухающий колебательный процесс с затуханием и частотой (рис.46). Такое звено называется колебательным. При r = 0 колебания носят незатухающий характер. Такое звено является частным случаем колебательного звена и называется консервативным.

Примерами колебательного звена могут служить пружина, имеющая успокоительное устройство, электрический колебательный контур с активным сопротивлением и т.п. Зная характеристики реального устройства можно определить его параметры как колебательного звена. Передаточный коэффициент k равен установившемуся значению переходной функции.

 

Дифференцирующее звено

Различают идеальное и реальное дифференцирующие звенья. Уравнение динамики идеального звена: , или y = k p x. Здесь выходная величина пропорциональна скорости изменения входной величины. Передаточная функция: W(p) = kp. При k = 1 звено осуществляет чистое дифференцирование W(p) = p. Переходная характеристика: h(t) = k 1’(t) = d(t).

Идеальное дифференцирующее звено реализовать невозможно, так как величина всплеска выходной величины при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия всегда ограничена. На практике используют реальные дифференцирующие звенья, осуществляющие приближенное дифференцирование входного сигнала.

Его уравнение: T p y + y = k T p x, или (T p + 1)y = k T p x

Передаточная функция: .

При малых Т звено можно рассматривать как идеальное дифференцирующее звено. Переходную характеристики можно вывести с помощью формулы Хевисайда:

,

здесь p₁ = - 1/T - корень характеристического уравнения D(p) = Tp + 1 = 0; кроме того, D’(p₁) = T.

При подаче на вход единичного ступенчатого воздействия выходная величина оказывается ограничена по величине и растянута во времени (рис.47). По переходной характеристике, имеющей вид экспоненты, можно определить передаточный коэффициент k и постоянную времени Т. Примерами таких звеньев могут являться четырехполюсник из сопротивления и емкости или сопротивления и индуктивности, демпфер и т.п. Дифференцирующие звенья являются главным средством, применяемым для улучшения динамических свойств САУ.

 

Кроме рассмотренных имеется еще ряд звеньев, на которых подробно останавливаться не будем. К ним можно отнести идеальное форсирующее звено (W(p) = Tp + 1, практически не реализуемо), реальное форсирующее звено (W(p) = , при T₁ >> T₂), запаздывающее звено (W(p) = e ^{- pT}), воспроизводящее входное воздействие с запаздыванием по времени и другие.

Контрольные вопросы

1. Что называется и какие Вы знаете типовые входные воздействия? Для чего они нужны?
2. Что называется переходной характеристикой?
3. Что называется импульсной переходной характеристикой?
4. Что называется временными характеристиками?
5. Для чего служит формула Хевисайда?
6. Как получить кривую переходного процесса при сложной форме входного воздействия, если известна переходная характеристика звена?
7. Что называется безынерционным звеном, его уравнение динамики, передаточная функция, вид переходной характеристики?
8. Что называется интегрирующим звеном, его уравнение динамики, передаточная функция, вид переходной характеристики?
9. Что называется апериодическим звеном, его уравнение динамики, передаточная функция, вид переходной характеристики?
10. Что называется колебательным звеном, его уравнение динамики, передаточная функция, вид переходной характеристики?
11. Что называется консервативным звеном, его уравнение динамики, передаточная функция, вид переходной характеристики?
12. Почему не являются элементарными инерционные звенья второго порядка с коэффициентом затухания большим или равным единице?
13. Что называется идеальным дифференцирующим звеном? Почему его нельзя реализовать?
14. Что называется реальным дифференцирующим звеном, его уравнение динамики, передаточная функция, вид переходной характеристики?