Методика применения теоремы.

Дано:

Шар, e_ш ¹ 0, e_ш>0, e_ш=e, e_cp=1, r =const, R - радиус шара 1) r>R (вне шара)

2) r<R (внутри)

Найти Е и D вне и внутри шара).

 

ОА=r

1) Наход. картину линий поля.

2) Выбор замкнутой поверхности удобной для реш. задач.

Во всех точках поверх. или к части точек cosa=1.

3) Это замкнутая поверхность должна проходить через исслед. точку.

4) К построенной поверхности строят нормаль. Очевидно что для всех точек поверх a=0 D=const.

5) Вычисляем формально поток (левую часть формулы Гаусса) _ _ _n

ѓDdS=Sq_i

^{S i=1}

_ _

ѓDdS=DѓdS=D´S=D´4pr² (1)

^{S S}

6) Вычисляем алгебраич. сумму зар. попавших внутрь поверх. (прав. часть форм.)

Sq_i= r V= r (4/3)´pr³ (2)

7) Приравниваем (1) и (2)

D´4pr²= r (4/3)´pr³

D=((r R³)/3)´1/r² D~1/r²

q= r (4/3)´pr³ D=q/4pr²

Электрич. смещение D и напр. поля Е в люб. точке. вне шара. определ. по тем же формулам что и для точечн. заряда.

Рассм. точку внутри шара.

 

1) _ _

ѓDdS=DѓdS=D´S=D´4pr²

^{S S}

2) Sq_i= r V= r (4/3)´pr³

D=4pr²= r (4/3)´pr³

D= r /3´r D~r

Постр. граф. завис. D(r).

 

 

D_{в диэлектр} и D_{в вакууме} - одинаков.

Для напр. поля но основ. получ. формулы для D и на основ. связи D= r /3´r

E=D/ee₀

для А E=(q/4pe₀r²)=k(q/r²) b)

для С E=(r /3ee₀)´r a)

Найдем знач. Е в точках на поверхности. Воспользуемся а) и b) и подходом к поверхности снаружи и изнутри.

6) E_R=q/4pe₀R² r=R

Подходим к поверх. изнутри.

7) E_R=(r /3ee₀)´R

E=(r 4pR³)/(3´4pe₀R²)

8) E=(r /3e₀)´R

Сравнивая 7) и 8) видим что напр. поля не равны.

E_R¹E_R E_R>E_R (скачок)

^{вн сн вн сн}

Завис. Е(r)

 

 

При e_ср<e_ш

Методика применения теор. Гаусса универсальна и применима для реш. любой задачи.

Применение теор. Гаусса к расчету некоторых электростатических полей в вакууме.

1)Поле равномерно заряж. бескон. плоскости:

Бесконечная плоск. заряжена с постоянной поверхностной плотностью +s (s = dQ/dS - заряд приходящийся на единицу поверхности). Линия напряженности перпендикуляр.

плоскости и направленный в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр,

основание параллельно плоскости.

 

Полный поток сквозь цилиндр

равен сумму потоков сквозь его основания, т.е. равен 2ЕS. Заряд заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности равен sS. Согласно теор. Гаусса 2ЕS=sS/e₀ ,

откуда Е=sS/2e₀. Из формулы видно, что Е не зависит от расстояния.

2) Поле двух бесконечн. параллельных разноименных заряженных пластин.

Слева и справа от плоскостей по суперпозиции напряженности равна нулю. А внутри между пластин Е=s/e₀.

3) Поле равномерно заряженной сферической поверхности.

 

 

Сфера радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью +s. Если r>R, то внутрь поверхности попадает

весь заряд и по теор. Гаусса

4pr²E=Q/e₀ , откуда

E=(1/4pe₀)´Q/r² (r ³ R)

Если r¢<R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри сферы электростатич. поле отсутствует, т.е. Е=0.

 

 

4) Поле объемно заряженного шара.

Шар радиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно с объемной плотностью r (r =dQ/dV - заряд приходящийся на единицу объема). Напряженность вне шара будет как и в 4) т.е. Е=(1/4pe₀)´Q/r²

Внутри же будет другая.

Сфера радиуса r¢<R охватывает заряд Q¢=(4/3)p(r¢)³q. Поэтому по теор. Гаусса: 4p(r¢)²Е= Q¢/e₀=(4/3)p(r¢)³´ r e₀

, получим: E=(1/4pe₀)´(Q/R³)r¢ (r¢£ R).

5) Поле равномерно зар. без-

кон. цилиндра.

Безкон. цилиндр радиуса R заряжен равномерно с линейной плотностью t (t=dQ/dl - заряд, приходящийся на единицу длины). Поток сквозь торцы цилиндра равен 0, а сквозь боковую поверхность 2prlЕ, где l -высота. По теореме Гаусса, для r>R

2plЕ=t(l/e₀₎ , от сюда Е=(1/2pe₀)(t /r) (r ³ R).

Если r<R, Е=0.

Теор. Гаусса в дифференциальной форме.

В случаях неравномер. распред. заряда и не симметр. конфигурациях заряженных тел теор. Гаусса в интегр. форме применять затруднительно. В этих случаях легко реш. задачи с помощью дифференц. формы теор. Гаусса.

Пусть заряды в пространстве распред. неравномерно r ¹const

В общем случае r =f(x,y,z)

 

Рассм. т. А(x,y,z). В этой т. r (x,y,z). В т. А D(x,y,z) D - смещение в т. А.

Для получ. теор. Гаусса в нов. форме воспольз. теор. Гаусса в интегр. форме. для некотор. элементар. обьемного пространства в окрестностях т. А. В виде куба стор. котор. параллельны осям.

Предполагаем что внутри DV в окрестностях т. А. r =const

_ _

1) ѓDdS= r DV DV®0

^S

Нах. предел отношения потока через поверхность куба. на DV при DV®0.

_ _

2) lim (ѓDdS/DV)= r (в т. А)

^{DV®0 S}

_ _ _

lim (ѓDdS/DV)=div D

^{DV®0 S} (дивергенция)

 

В математике показ. что

_

div D=(¶Dx/¶x)+(¶Dy/¶y)+

+(¶Dz/¶z)

_ _ _ _ _

D=iDx+jDy+kDz divD - скалярная вел.

Перепишем 2) в окончательном виде.

_

3) div D= r - теор. Гаусса в дифр. форме.

Дивергенция электрическ. смещ. в данной т. поля равна объемной плотности заряда в этой точке.

Из 3) очевидно если r >0

_

(+ зар) div D>0 - исток расхождения. Если r <0 (- зар)

_

div D<0 вхождение линий.

Из3) важное следствие:

Источником поля явл. электрич. заряд.

Теор. Остроградскрго Гаусса.

Ур. 3) домножим лев. и прав. часть на dV.

 

 

_

4) div DdV= r dV

проинтегрируем 4) по объему

_

5) òdiv DdV=ò r dV

^{v v}

_ _

ò r dV=òDdS

^{v s}

_ _ _

6)òdiv DdV=ѓDdS- Остр. Г.

^{v s}

^{согласован «}

В теор. Остр. Гаусса содерж. связь между дивергенцией и потоком одного и того же вектора.

Работа сил. электростатич. поля.

Потенциал поля.

Силы электростатич. поля перемещая электрич. зар. соверш. работу.

Вычислим работу сил электростатич. поля для перемещения зар. по произвольной траектории.

 

 

q - созд. поле.

+q₀ -перемещ. в поле заряда q.

Рассмотрим перемещение заряда на элементар. кчастке dl.

0) dA=F_ldl =Fcos adl =Fdr

r - тек. расст. между q иq₀.

Найдем полную работу.

_{2 2}

А=òdA=òFdr

^{1 1}

Поскольку F­­dr cosa¢=1

_ _

Fdr=Fdr

_{r 2}_ _

1) A=òFdr

^{r 1}

Воспользуемся для получ. втор. формулы связью между

_ _ _ _ _ _

Е и F. E=F/q₀ E=q₀E

_ _

2) dA=q₀E_ldl =q₀Edl =

=q₀Ecos adl

интегрируем 2) лев. и прав. часть

₂ _ _

3) A=q₀òEdl

¹

Получим еще одну формулу.

Воспольз. 1) в котор. подставим ур. F_кл.

_r2

A=òk(q₀´q/r²)dr

^r1

A=q₀((kq/r₁) - (kq/r₂))

Из 4)

5) A=q₀(j₁ - j₂)

Работа при перемещении зар. q₀ электростатич. силами равно произв. вел. этого заряда на разность потенциала в начальной и конечной точке.

Из 4) след. что работа сил поля независ. от формы траектор. Силы электростатич. явл. консервативными, поле электростатическое явл. потенциальным полем.

Используя 5) дадим второе опред. потенциала. Для этого рассм. перемещение полож. заряда q₀ из данной т. в котор.

j₁ = j в бесконечность j₂=j_¥=0.

Из 5) А_¥=q₀j

6) j = А_¥/q₀

Потенциал. поле в данн. т. числ. =работе соверш. сила электростатич. поле при перемещении единичного полож. заряда из данной т. в бесконечность. Потенц. скаляр. характеристика. Дж/Км=В

Теор. о циркуляции вектора напр.электростатич. поля.

Потенциальный характер поля.

Рассм. перемещ. зар. q₀ в поле заряда q вдоль произвольной замкнутой траектор. А = 0.

Возмем для работы форм. 3)

_ _

q₀ѓE_ldl=q₀ѓEdl =0

^{L L}

q₀ ¹ 0

 

 

_

1) ѓE_ldl=0 - циркуляция Е

^L _

Циркул. Е в доль произвольн. формы замкн. контура=0.

Теор. о циркул. свидетельствует о том что электростатич. поле - потенциальное.

Если циркул. не =0 то поле не потенциально.

Физ. смысл. циркул. численно равен работе по перемещ. единичн. полож. зар. по замкн. траектории.

Лекция.

Вычисление разности потенциала по напряж. поля.

₂

1)A=q₀òE_ldl

¹

2)A=q₀(j₁ - j₂)

₂

j₁ - j₂=òE_ldl Связь между

¹ разностью потенциала и напряженностью поля.

Вычислим разность потенциала для бесконеч., равномер. заряженной нити с линейной плотностью t.

Пример:

t =dq/dl [ Кл/м]

t₁, t₂ e=1

(j₁ - j₂) -?

 

E_l=Er dl=dr

_{r2 r2}

j₁ - j₂=òErdr=òEdr

^{r1 r1}

E=(t/2pe₀r) напряженность поля в точке на расст. r от нити. ₂

j₁ - j₂=(t/2pe₀)òdr/r

¹

j₁ - j₂=(t/2pe₀)´ln(r₂/r₁)

Пример 2:

Вычисл. разности потенциала для равномер. заряж. сферы (проводящий шар).

Сфера R, q=1

1) r<R 2) r>R

 

 

Для точек вне сферы (r>R) из теор. Гаусса напряженность Е вычисляется Е=1/2pe₀=q/r²

Внутри (r<R)

Е=0

_{r2 r2}

j₁ - j₂=òErdr=òEdr=

^{r1 r1}

=(q/4pe₀)òdr/r²=(1/4pe₀)(q/r₁) -

- (1/4pe₀)(q/r₂)

из последнего выражения следует что потенц. поля не определ. как и у точечного зар. котор. нах. внутри.

r>R j =(1/4pe₀)(q/r)

Внутри напряженность поля =0

поэтому j₁ - j₂=0

j₁=j₂=j_R=(1/4pe₀)(q/R)

j =const

Нарис. графики.

 

Связь между напряженностью поля и потенциалом в диффер. форме.

Градиент потенциал.

Для получения связи между Е и j в одной точке воспользуемся выраж. для элементарн. работы при перемещении q₀ на dl по произвол. траектории.

dA=q₀E_ldl

В силу потенциального характера сил электростатического поля эта работа соверш. за счет убыли потенциальной энергии.

dA= - q₀ dj = - П

E_ldl = - dj

3) E_l= - (dj /dl)

Проэкция вектора напряж. поля на произвольном направлении (l) равна взятой с обратным знаком производной по этому направлению.

4) E_x= - (dj /dx)

E_y= - (dj /dy) E_z= - (dj /dz)

_ _ _

E= - (i (¶/¶x)+j (¶/¶y)+

_

+k (¶/¶z))´j

_

E= -grad Напряженность

поля в данной т. равна взятому с обр. знаком градиенту потенцеала в этой точке.

Градиент сколяр. фукции явл. вектором.

Градиент показывает быстроту изменения потенцеала и направлен в стор. увелич потенцеала.

Напряж. поля всегда перпендикулярна к эквпотенцеальным линиям.

Пусть точечный заряд q₀ перемещается в доль эквипотенцеала j =const, dl - на эквипотенцеали.

dA=q₀E_ldl dA=0 т.к. Dj =0

E_l=Ecosa q₀Ecosa dl =0

q₀¹0 E¹0 dl¹0 cosa=0 a=90⁰