Зак. Куллона (в другом виде)

F=(1/4pe₀)´çq₁q₂ç/r²

вакуум e=1

F=(1/4pe₀)´çq₁q₂ç/er²

для среды e¹1

Если точечн. заряд поместитьв однородн. безгранич.среду куллоновская сила уменьшится в e раз по сравнению с вакуумом. e - диэлектр. проницаемость среды.

У любой среды кроме вакуума e>1.

Зак. Куллона в векторной форме.

Для этого воспользуемся единичным ортом по направлению вдоль расстояния между двумя зарядами.

_ _ _ _

e_r=r/r r =e_r´r

 

_ _

F=(1/4pe₀)´(çq₁q₂ç´r)/r³ векторная форма

В Си - сист единица заряда 1Кл=1А´с

1Куллон - это заряд, протекаемый за 1 с через все поперечное сечение проводника, по которому течет

то А с силой 1А.

Зак.Куллона может быть применен для тел значительных размеров если их разбить

на точечные заряды.

Кулл. силы - центральные, т.е. они направлены по линии соед. центр зарядов.

Зак. Куллона справедлив для очень больших расстояний до десятков километров. При уменьш. расст. до 10^-15 м справедлив, при меньших несправедлив.

Электростатич. поле.

Хар. электростатич.поля.

_ _

(Е, D, j)

В пространстве вокруг эл. зарядов возникает электростатическое поле (заряды не подвиж.).

Принято считать, что электростатическое поле является объективной реальностью. Обнаружить поле можно с помощью пробных электрических зарядов.

Пробн., полож., точечный заряд должен быть таким, чтобы он не искажал картины иследуемого поля.

Напр. электростатич. поля.

_

Е - напряженность электростатического поля. Напряженность электростатического поля является силовой характеристикой.

_ Напр. поля в данной

Е=F/q₀ точке пространства

явл. физ. вел. численно равная силе (куллоновск.)

действ. в данной точке на единичный неподвижный пробный заряд.

[E]=H/Кл [E]=В/м

Силовая линия - линия, в каждой точке которой напр. поля Е направлена по касательной.

Силовые линии строят с опред.

густотой соответствующей модулю напр. поля: через площадку 1 м² проводят количество линий Е равное модулю Е.

При графическом представлении видно, что в местах с более

густым располож. Е напр. больше.

Вывод формул для напр. поля точечн. заряда.

q - заряд создающий поле.

q₀ - пробн. заряд.

Е=(1/4pe₀)´(q´q₀)/(r²´q₀)

E=(1/4pe₀)´q/r²

Из E=(1/4pe₀)´q/r² следует что Е зависет прямопропорцианально величине заряда и обратнопропорц. расст. от заряда до т. исследов.

В однородн. безгр. среде с e¹1

(e>1) напр. поля уменьш. в e раз.

E=(1/4pe₀)´q/er²

_

E=(1/4pe₀)´q²/r³

Электрическое смещение.

_

Опред. формулой для D явл. следущее в данной т. среды электрическое смещение численно равно произвед. диэлектр. проницаемости, эл. постоянн. и напр. поля.

_

D­ ­E D=ee₀E

[D]=Кл/м²

Напр. эл. поля завсет от e среды поэтому при наличии несколбких граничащих диэлектриков на границе разрыва двух сред напр. поля меняется скачком (линии

 

_

вектора Е терпят разрыв).

_

Вектор D не завис. от e среды т.е. явл. однаков. по величине

_

во всех средах т.е. скачка D нет, разрыва нет.

_

Покажем что D независ от e.

D=ee₀´(kq)/(e₀´r²)

D=(1/4p)´q/(e´r²)

Потенцеал поля.

Силы электростатич. поля консервативные т.е. независ. от траэктории движения заряда.

_

F=- gradП

F_x= -¶П/¶x аналогич F_y и F_z

1) F= - dП/dr

Для электростатич. сил F=f(r).

Воспользуемся этой зависемостью для введения третей характеристики поля - потенцеала.

Преобр. 1)

2) dП= - Fdr F - куллоновская сила взаимодействия между двумя точечн. зарядами q и q₀.

F=k(÷qq₀÷/r²) Подставим F в 2) и проинтегрируем лев. и прав. часть.

3) òdП=ò -k(÷qq₀÷/r²)dr из 3)

П= -k÷qq₀÷òdr/r²=

=k÷qq₀÷´(1/r)+C

Разделим лев. и прав. часть 4) на q₀.

5) j=П/q₀=(1/4pe₀ )´(q/r)+C

6) j=П/q₀ Потенцеал поля в данной точке численно равен потенцеальной энерии пробного заряда помещенного в данную точку.

[j]=B=Дж/К

7) j=(1/4pe₀ )´(q/r) при j=0 r®¥, j ~ d при r=const,

j ~1/r при q=const

При q>0 j>0 +

При q<0 j<0 -

Потенцеал поля принято изображать на рис. эквипотенцеальными линиями или поверх.

Эквипотенцеал - геом. место точек равного потенцеала поля.

Принято эквипотенцеал проводить при Dj =const

Dj=j₂ - j₁ - разность между двумя ближайшеми эквипотенцеалами.

Вывод:

_ _ _ _

D=e₀E D­­E

E=(1/4pe₀ )´(q/r²) D=q/4pr²

Картина линий Е эквипотенц. поля точечн. заряда.

(для ваку-ума)

_ _

Е или D Dj=const

_ _

¾ линии D или Е

--- экви.

_ _

Нарисуем линии E и D при наличии диэлектрика.

Диэлектрк окружен вакуумом.

В диэл. e>1 E_д<E_в поскольку

e_д<e_в

_

Для D линий разрыв. нет т.е. D

чертят сплошной линией.

Принцип суперпозиции

Электростатич. полей.

_

Принцип суперпоз. для Е.

Пусть в пространстве имеется несколько точечн. зарядов q₁, q₂,..., q_i,..., q_n внесем в это поле пробный заряд q₀ найдем силу действия наq₀.

Согласнопринципу независемости действия сил результ. сила F действ. но q₀ равна геом. сумме всех куллоновских сил действ. на q₀ со стор. других зарядов.

_ _n _

F= S F_i 1)

ⁱ⁼¹

Разделим лев. и прав. часть 1) на q₀.

_ _n _ _ _

F/q0= S F_i/q₀ E=F/q₀

ⁱ⁼¹

 

_ _n _

F/q0= S E матем запись прин-

ⁱ⁼¹ ципа супер. для Е.

Напряженность результ. поля созд несколькими точечн. зарядами = геом. сумме напр. полей созд. в этойже точке отдельными зарядами.

_

Принцип суперпоз. для D.

_ _n _

D=S D_i 3) (аналог 2))

ⁱ⁼¹

Для потенцеала.

_n

j =Sj _i

ⁱ⁼¹

Потенцеал результ. поля в данной точке = алгебр. сумме потонц. полей созд. отдельными зарядами.

Поля диполя.

Эл. диполем - назв. систему двух равных по модулю разноименн. точечн. зар. наход на расст. l друг от лруга значительно < расст. r до исслед. точки. (l <<r)

Диполь характеризуется плечом диполя и электрич. моментом.

Плечо диполя - расст. между зарядами.

Элекрич. момент - произв. вел. заряда на плечо. [p]=Кл´м

Вычислим поле в т. А на оси диполя.

 

 

e=1, q₊=q_{_}=q, l, p=ql, E -?

_ _

E=SE_i

ⁱ _ _

E=E_{_}- E₊ E­­E_{_}

E=k(q/(r+l/2)²)

E=k(q/(r - l/2)²)

E=kq[(1/(r - l/2)²) -1/(r+l/2)²)]

E=[kq(r²+rl+l²/4 - r²+

+rl - l²/4)]/

/r⁴=(пренебрег. l/2 т.к. r>>l, r>>l/2)=(kq2rl)/r⁴=k(qp/r³)

E=k(2p/r³) E~1/r³

Поле в т. С на перпендик. оси диполя.

 

 

k, q, l, r>>l, p=ql, e=1, r=OC

E -?

_

÷E÷=2П_р.Е₊

Е₊=Е_{_} в силу симметрии зар.

Е₊=Е_{_}=k(q/(r¢)²)

E₊/E_{_}=cosa=l /2r¢

П_р.Е₊=П_р.Е_{_}=Е(l /2)

E=2П_р.Е₊=2П_р.Е

П_р.Е₊=Е₊сosa=(kq/(r¢)²)´

´l/2r¢

_

П_р.Е₊/E₊=cos aE₊

r¢~r при r>>l

E=2(kq/(r¢)²)´l=kql /(r¢)³=

=kp/r³

(неправильно)

E=k(p/r³)

_ _

Потоки D и Е.

Пусть электростатическое поле будет однородно т.е. такое

_

поле у котор. D=const и все линии поля ïï по направлению, введ. в это поле плоск. поверхность площадью S, строем нормаль.

 

 

_

П_р.D=D_ncosa

_

поток D F_D=Dcosa´S

1) F_D=D_ncosa

_ _

Потоком D или E назв. физ. вел. числ. = кол - ву. линий

_ _

D или Е пронизывающих исследуемую поверхность при

_ _

условии D или Е ^ поверхности.

F_Е=Е_nS 2)

[F_D]=Кл [F_Е]=В´м

Поток характеристика скалярная, алгебраическая.

При a<90⁰ cosa (+) F_D>0

При a<90⁰ cosa (-) F_D<0

Запишем общую формулу в случ. когда S имеет произв. форму.

 

 

В током случае на поверх S наход. участок площадью dS котор. можно считать плоским, тогда dF_D=D_n´dS

F_D=òD_ndS

^S

Площадке dS припис. векторные свойства.

_ _

dS=dS´n

_ _

F_D=ò D_ndS

^S

Теор. Гаусса (интегральная форма).

В ряде случаев принцип суперпоз. для вычисления напр. поля применять трудно, в таких случ. напряженность электростатич. поля вычисляют с помощью теор. Гаусса.

Теор. Гаусса позволяет легко вычислять Е и D при симметричных расположениях заряда.

Поток вектора электрич. _

смещения D cквозь произвольн. замкн. поверх. S равен алгебраич. сумме зарядов заключ. внутри поверх.

Замкнутая поверх - такая вкотор нет отверстий.

Алгебр. сумма - сумма заряда с учетом их знаков.

_ _ _n

ѓDdS=Sq_i 1)

^{S i=1}

_ _

ѓEdS=(1/e₀)Sq_i 2)(для вакуума)

^{S i}

Док - во.

1. Пусть имеется полож. точечн. заряд. q.

 

 

_ _

ѓDdS=ѓDdS

^{S S}

_ _

D­­n a=0 D_n=D

Вынесем за знак интегр.

DѓdS=D4pr²=(q/4pr²)´4pr²=q

^S

_ _

3) ѓDdS=q

^S

Очевидно если точечн. зар. расп. не в центре а в люб. т внутри поверх. S колич. линий

_

D прониз. поверх. не измен., т.е. для люб. положения точечн. заряда q внутри сферы формула 3) справедлива.

Поток сквозь поверх. другой формы (произвол.) при прежнем заряде q не изменится и 3) справедлива.

Внутри замкн. сферы нах. несколько зарядов q₁, q₂,q₃,...,q_i,...q_n 1£ i £n

Докажем что в этом случ. теор. Гаусса верна.

На основ. 1)

для кажд

зар. теор.

справедлива.

 

_ _

4) ѓD_idS=qi

^S

в 4) просуммируем левую и правую часть.

_ _

SѓD_idS=Sq_i

^{i i}

_ _

ѓ(SD_i)dS=Sq_i

^{s i i}

_ _ _n

ѓDdS=Sq_i 5)

^{s i}

Форма записи 5) имеет назв. интегральной формы записи.

Интегр. форм. - обознач. что в формуле характеристики слева и справа относятся к разным точкам пространства.

r - об. плотность.

r =dq/dv (Кл/м₃)

6)Sq_i=ò r dv

^{i v}

_ _

ѓDdS=ò r dv S и V -

^v согласо-

ванны.

Практич. применение теор. Гаусса.