Общие сведения об открытой многоканальной смо смешанного типа с ограничением по длине очереди

 

Для такой СМО (рисунок 4.6) заявка, заставшая все п каналов занятыми, становится в очередь, только если в ней находится менее т заявок; если же число заявок в очереди равно т (больше т оно быть не может), то последняя прибывшая заявка в очередь не становится и покидает систему не обслуженной. Остальные допущения – о простейшем потоке заявок и о показательном распределении времени обслуживания – оставим прежними.

Рисунок 4.6 – Граф переходов многоканальной СМО смешанного типа с ограничением по длине очереди, изображённый в виде схемы гибели и размножения

В данном случае число состояний системы будет конечно, так как общее число заявок, связанных с системой, не может превышать (п + т)(п обслуживаемых и т стоящих в очереди). Расчёт проводим по методике, изложенной в пункте 4.2.3 для открытой одноканальной СМО с ожиданием. Не останавливаясь на этом решении, приведем только окончательные формулы для определения вероятностей P_k состояний k, когда очередь отсутствует, и вероятностей P_{n + s} состояний (n + s), когда имеется очередь [32].

; 0 £ k £ n; (4.39)

; 1 £ s £ m. (4.40)

Вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной (формула (4.40)), равна вероятности Р_{п + т} того, что в очереди уже стоят т заявок.

Относительная пропускная способность системы:

q = 1 – Р_{п + т} . (4.41)

Абсолютная пропускная способность:

М = λ× q. (4.42)

Средняя доля времени, которое система будет простаивать, равна вероятности Р ₀(формула (4.34)).

Характеристики открытой многоканальной СМО с отказами можно определить по формуле (4.39) при т = 0 и формулам (4.41), (4.42).

 

4.2.6 Индивидуальные задания для расчета в лабораторной работе характеристик технического обслуживания открытых многоканальных СМО с ожиданием и с отказами

 

Задание 1

Дана открытая система массового обслуживания смешанного типа с ограниченным ожиданием, имеющая п каналов обслуживания. Интенсивность потока заявок на обслуживание, поступающих в СМО, равна λ [ч^-1]. Интенсивность выполнения заявок (интенсивность восстановления) равна μ [ч^-1], а отношение λ/μ < п. Значения п, λ [ч^-1], μ [ч^-1] и ν [ч^-1] приведены в таблице 4.2 и зависят от номера варианта, представляющего трёхзначное число. Определить следующие статистические характеристики СМО для трёх значений средней длительности ожидания Т _ОЖ: когда 0 < Т _ОЖ = 1/ ν < ∞; когда Т _ОЖ = 0 (чистая СМО с отказами) и когда Т _ОЖ = ∞ (чистая СМО с ожиданием):

- вероятность Р ₀ простоя СМО из-за отсутствия заявок на обслуживание;

- вероятность наличия очереди на обслуживание ;

- среднее число занятых каналов;

- среднее число заявок N _ОЖ, находящихся в очереди на обслуживание;

- абсолютную пропускную способность;

- относительную пропускную способность.

Расчёты провести с использованием программного комплекса MathCAD.

 

Таблица 4.2 – Численные значения исходных величин для расчёта индивидуального задания №1 с использованием программного комплекса MathCAD

Первая цифра номера варианта
λ, ч^-1 μ, ч^-1		2.3	7 1.5	2.5	1.8		1.9
Вторая цифра номера варианта
п
Третья цифра номера варианта
ν, ч^-1	3.5^-^1	4^-^1	5^-^1	6^-^1	5^-^1	7^-^1	6.5^-^1	5.5^-^1	4.5^-^1	4^-^1

Задание 2

Дана открытая система массового обслуживания смешанного типа с ограничением по длине очереди. Число каналов СМО п, максимальное число заявок в очереди т, поток заявок простейший, время обслуживания распределено по показательному закону. Интенсивность потока заявок λ [ч^-1], а средняя длительность обслуживания заявок Т _ОБС. Значения λ [ч^-1], Т _ОБС [ч], п и т приведены в таблице 4.3 и зависят от номера варианта, представляющего трёхзначное число. Определить следующие статистические характеристики СМО для случая, когда все каналы обслуживания исправно работают и для случая, когда один из каналов не работает:

- вероятность Р ₀ простоя СМО из-за отсутствия заявок на обслуживание;

- вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной;

- абсолютную пропускную способность;

- относительную пропускную способность.

Определить эти же характеристики, но для открытой многоканальной СМО с отказами (при т = 0).

Расчёты провести с использованием программного комплекса MathCAD.

 

Таблица 4.3 – Численные значения исходных величин для расчёта индивидуального задания №2 с использованием программного комплекса MathCAD

Первая цифра номера варианта
λ, ч^-1 Т ОБС, ч		1.5	2 2.8		2.5	3.5	2.2	4.5	1.8
Вторая цифра номера варианта
п
Третья цифра номера варианта
т