Многоканальной смо с ожиданием

Под термином техническоесостояние Е_k понимают совокупность подверженных изменению в процессе производства или эксплуатации свойств объекта, характеризуемую в определённый момент признаками, установленными технической документацией.

На рисунке 4.1 введены следующие обозначения:

- Е_k – техническоесостояние СМО, при котором k из n работающих приборов находятся в состоянии неработоспособности;

- r − число каналов обслуживания;

- λ [ч^-1] − интенсивность поступления заявок, равная интенсивности отказов одного прибора;

- μ [ч^-1] − интенсивность обслуживания (восстановления или ремонта) в одном канале.

Указанная СМО может использоваться как система технического обслуживания не только приборов, но и транспорта (парки самолетов, автомобилей и т.п.).

Академик А.Н.Колмогоров сформулировал инженерное правило составления дифференциальных уравнений по виду графа или по виду схемы состояний [1, 4]:

«Производная от вероятности пребывания системы в любой момент времени в состоянии k равна алгебраической сумме произведений интенсивностей переходов в k -ое состояние (или из k -ого состояния) на вероятность того состояния, откуда совершается переход в k- ое состояние. Причем, тем слагаемым, которым соответствуют уходящие стрелки из k -ого состояния, приписывается знак «минус», а входящим – «плюс».

Анализ графа (рисунок 4.1) позволяет вывести дифференциальное уравнение для вероятностей состояний:

. (4.3)

Для установившегося режима , так как P_k в этом случае не меняется во времени, и уравнение для вероятности состояний примет вид:

(n – k + 1)×λ× P_{k -1} + [(n – k)×λ + k ×μ]× P_k + (k + 1)×μ× P_{k +1} = 0. (4.4)

Решение уравнения для вероятностей в этом случае дает результат:

P_k = A_k × P ₀, (4.5)

где P ₀ − вероятность того, что работают все приборы.

; (4.6)

. (4.7)

Для проверки правильности расчета P_k используется нормировочное отношение:

. (4.8)

Суммарная погрешность расчета P_k находится из выражения:

. (4.9)

Полученные выражения для P_k (вероятностей пребывание системы в состоянии k) позволяют с помощью схемы для определения статических характеристик СМО, изображенной на рисунке 4.2, определять эти характеристики [1]:

Рисунок 4.2 – Схема определения статических характеристик СМО

 

а) среднее количество заявок в каналах обслуживания, то есть среднее количество каналов занятых на ремонте:

, (4.10)

где первое слагаемое характеризует отсутствие очереди, а второе – очередь;

б) пропускная способность:

, (4.11)

где Т _В− среднее время восстановления одного прибора, величина обратная интенсивности восстановления;

в) среднее число заявок, находящихся в СМО (как в каналах обслуживания, так и в очереди на обслуживание):

; (4.12)

г) среднее число заявок, находящихся в очереди на обслуживание:

; (4.13)

д) среднее число простаивающих каналов обслуживания из-за отсутствия заявок:

; (4.14)

е) среднее относительное время простоя каждого канала СМО из-за отсутствия заявок:

при r > 1; (4.15)

ж) среднее относительное значение времени пребывания заявок в очереди на обслуживание:

; (4.16)

з) среднее относительное значение времени пребывание заявок в очереди и в канале обслуживания:

; (4.17)

и) при определении минимального количества каналов обслуживания r _min, обеспечивающего отсутствие очереди на обслуживание, используют неравенство:

, (4.18)

где К _П и К _Г – коэффициенты простоя и готовности, соответственно.

 

Пример использования ТМО для расчета характеристик технического обслуживания замкнутой многоканальной СМО с ожиданием

 

Дана СМО, состоящая из n = 9 работающих приборов и r = 3 каналов обслуживания. Интенсивность поступления заявок, равная интенсивности отказов одного прибора, λ = 0.1671 [ч^-1], а интенсивность обслуживания (восстановления или ремонта) в одном канале μ = 0.3 [ч^-1]. Требуется определить:

а) среднее количество заявок , занятых в каналах обслуживания, то есть занятых каналов на ремонте;

б) пропускную способность M;

в) среднее число заявок K, находящихся в СМО (как в каналах обслуживания, так и стоящих в очереди на обслуживание);

г) среднее число заявок N _ОЖ, находящихся в очереди на обслуживание;

д) среднее число простаивающих каналов обслуживания из-за отсутствия заявок R _ПР;

е) среднее относительное время простоя каждого канала обслуживания из-за отсутствия заявок Т _ПР;

ж) среднее относительное значение времени пребывания заявки в очереди на обслуживание Т _ОЖ;

з) среднее относительное значение времени пребывания заявки в очереди и в канале обслуживания Т _ОБС;

и) потребное количество каналов, обеспечивающее отсутствие очереди r _ОПТ.

Решение:

а) находим вспомогательные коэффициенты А_к при 1 £ k £ n:

;

А ₁ = 7.52; А ₂ = 11.169; А ₃ = 14.516; А ₄ = 16.171;

А ₅ = 15.012; А ₆ = 11.149; А ₇ = 6.21; А ₈ = 2.306; А ₉ = 0.428;

б) определим вспомогательную величину Р ₀ (вероятность того, что в системе исправно работают все приборы):

;

в) находим вероятность нахождения системы в k -ом состоянии, т.е. в состоянии, когда k приборов отказали (1 £ k £ n):

P_k = A_k × P ₀;

P ₁ = 0.088; P ₂ = 0.131; P ₃ = 0.17; P ₄ = 0.189;

P ₅ = 0.176; P ₆ = 0.13; P ₇ = 0.073; P ₈ = 0.027; P ₉ = 5.009·10^-3.

Проверка правильности решения:

;

г) находим среднее количество заявок в каналах обслуживания:

; ;

д) находим пропускную способность M:

; M = 0.797;

е) находим среднее количество заявок находящихся в СМО (в каналах и в очереди):

; K = 4.227;

ж) находим среднее количество заявок, находящихся в очереди на обслуживание:

; N _ОЖ = 1.569;

з) находим среднее количество простаивающих каналов из-за отсутствия заявок:

; R _ПР = 0.343;

и) находим среднее относительное время простоя из-за отсутствия заявок:

; Т _ПР = 0.114;

к) находим среднее относительное значение времени пребывания заявки в очереди:

; Т _ОЖ = 0.174;

л) находим среднее относительное значение времени пребывания заявки в СМО:

; Т _ОБС = 0.47;

м) определяем коэффициент готовности:

; К _Г = 0.642;

н) находим потребное количество каналов, необходимых для обеспечения отсутствия очереди:

; r _ОПТ ³ 3.22.

Принимаем r _ОПТ= 4, то есть равным ближайшему целому числу большему 3.22.

 

4.1.4 Индивидуальные задания для расчета в лабораторной работе характеристик технического обслуживания замкнутой многоканальной СМО с ожиданием

 

Дана СМО, состоящая из n работающих приборов и r каналов обслуживания. Интенсивность поступления заявок (интенсивность отказов одного прибора) равна λ, а интенсивность обслуживания (восстановления или ремонта) в одном канале равна μ.

Определить:

а) среднее количество заявок , занятых в каналах обслуживания, то есть занятых каналов на ремонте;

б) пропускную способность M;

в) среднее число заявок K, находящихся в СМО (как в каналах обслуживания, так и стоящих в очереди на обслуживание);

г) среднее число заявок N _ОЖ, находящихся в очереди на обслуживание;

д) среднее число простаивающих каналов обслуживания из-за отсутствия заявок R _ПР;

е) среднее относительное время простоя каждого канала обслуживания из-за отсутствия заявок Т _ПР;

ж) среднее относительное значение времени пребывания заявки в очереди на обслуживание Т _ОЖ;

з) среднее относительное значение времени пребывания заявки в очереди и в канале обслуживания Т _ОБС;

и) потребное количество каналов, обеспечивающее отсутствие очереди r _ОПТ.

Численные значения исходных величин для расчёта индивидуальных заданий даны в таблице 4.1 и зависит от номера варианта.

 

Таблица 4.1 – Численные значения исходных величин для расчёта индивидуальных заданий с использованием программного комплекса MathCAD

Первая цифра номера варианта
n
r
Вторая цифра номера варианта
μ, [ч^-^1]		0.9	0.8	0.7	0.6	0.5	0.4	0.3	0.2	0.6
Третья цифра номера варианта
Выражение для определения λ:	0.5	0.55	0.6	0.65	0.7	0.75	0.8	0.85	0.9	0.75