Закон подвійного заперечення

Закон подвійного заперечення: логічний закон, згідно з яким заперечення заперечення дає твердження, із твердження випливає його подвійне заперечення, а подвійне заперечення рівносильне твердженню.

“Закон подвійного заперечення” розглядають і як назву кількох законів, які, хоч і відрізняються один від одного, та разом з тим перебувають в органічному взаємозв’язку.

Закон зняття подвійного заперечення: подвійне заперечення дає твердження.

Цей закон дозволяє відкидати подвійне заперечення. Наприклад: “Ці друзі не належать до ненадійних. Отже, вони належать до надійних.”.

Схема цього закону записується так:

~А → А

Читається: “Якщо неправильно, що не-А, тоді А”.

Закон введення подвійного заперечення: із твердження випливає його подвійне заперечення.

Цей закон дозволяє вводити подвійне заперечення.

Наприклад: “М.Шолохов – автор “Тихого Дону”. ”Отже, М.Шолохов не є неавтором “Тихого Дону”.

Схема цього закону записується так:

А→ ~А

Читається: “Якщо А, то хибно, ніби не-А”.

Повний закон подвійного заперечення: подвійне заперечення рівносильне відповідному твердженню.

Наприклад: “ Це число не є непростим тоді і тільки тоді, коли воно просте”.

Схема цього закону записується так:

~А ↔ А

Читається: “Хибно, що не-А тоді і тільки тоді, коли А”.

Закон ідемпотентності

Закон ідемпотентності – логічний закон, який стверджує, що повторення будь-якого висловлювання через “ і” (кон’юнкцію) чи “або” (диз’юнкцію) рівнозначне самому висловлюванню.

Цей закон дозволяє виключати з міркування повторення одного й того ж висловлювання.

Закон ідемпотентності для кон’юнкції: повторення висловлювання через “і” (кон’юнкцію) рівнозначне самому висловлюванню.

Наприклад: Висловлювання “Квадрати мають прямі кути” і “квадрати мають прямі кути” рівнозначне висловлюванню “квадрати мають прямі кути”.

Схема цього закону записується так:

(А _^ А) ↔ А

Читається: “А і А тоді і тільки тоді, коли А”.

Закон ідемпотентності для диз’юнкці: повторення висловлювання через “або” (диз’юнкцію) рівнозначне самому висловлюванню.

Схема цього закону записується так:

(А v А) ↔ А

Читається: “А або А тоді і тільки тоді, коли А”.

Закон комутативності

Закон комутативності – логічний закон, який дозволяє міняти місцями висловлювання, зв’язані логічними сполучниками “і” (кон’юнкція) та “або” (диз’юнкція).

Закон комутативності для кон’юнкції: висловлювання, зв’язані логічним сполучником “і” (кон’юнкція), можна міняти місцями.

Наприклад, висловлювання “Ознаки є істотними і загальними” рівнозначне висловлюванню “Ознаки є загальними і істотними”.

Схема цього закону записується так:

(А _^ В) ↔ (В _^ А)

Читається: “А і В тоді і тільки тоді, коли В і А”.

Закон комутативності для диз’юнкції: висловлювання, зв’язані логічним сполучником “або” (диз’юнкція), можна міняти місцями.

Наприклад, висловлювання “Міркування є правильним або неправильним” адекватне висловлюванню “Міркування є неправильним або правильним”.

Схема цього закону записується так:

(А v В) ↔ (В v А)

Читається :“А або В тоді і тільки тоді, коли В або А”.

Закон контрапозиції

Закон контрапозиції – логічний закон, який дозволяє з допомогою заперечення міняти місцями антецедент і консеквент.

Розрізняють закони простої контрапозиції і складної контрапозиції.

Перший закон простої контрапозиції: якщо з першого висловлювання випливає друге висловлювання, то із заперечення другого висловлювання випливає заперечення першого висловлювання.

Наприклад: “Коли відомо, що якщо сума цифр числа ділиться на “3”, то це число ділиться на “3”, тоді істинно, що якщо число не ділиться на “3”, то сума його цифр теж не ділиться на “3”.

Схема цього закону записується так:

(А → В) → (~В → ~А)

Читається :“Коли відомо, що якщо А, то В, тоді якщо не-В, то не-А”.

Другий закон простої контрапозиції: якщо із заперечення першого висловлювання випливає заперечення другого, то з другого висловлювання випливає перше висловлювання.

Наприклад: “Коли відомо, що якщо сума цифр числа не ділиться на “3”, то й це число не ділиться на “3”, тоді істинно, що якщо це число ділиться на “3”, то й сума його цифр ділиться на “3”.

Схема цього закону записується так:

(~А → ~В) → (В → А)

Читається :“Коли відомо, що якщо не-А, то не-В, тоді якщо В, то А”.

Третій закон простої контрапозиції: якщо з першого висловлювання випливає заперечення другого висловлювання, то з другого висловлювання випливає заперечення першого висловлювання.

Наприклад: “Коли відомо, що якщо ромб має два гострі кути, що він не є квадратом, то якщо ромб є квадратом, то він не має двох гострих кутів”.

Схема цього закону записується так:

(А → ~В) → (В → ~А)

Читається :“Коли відомо, що якщо А, то не-В, тоді якщо В, то не-А”.

Четвертий закон простої контрапозиції: якщо із заперечення першого висловлювання випливає друге висловлювання, то із заперечення другого висловлювання випливає перше висловлювання.

Наприклад: “Якщо відомо, що коли число не ділиться на 2, то воно просте, то якщо число не є простим, то воно ділиться на 2”.

Схема цього закону записується так:

(~А → В) → (~В → А)

Читається :“Коли відомо, що якщо не-А, то В, тоді якщо не-В, то А”.

Закон складної контропозиції

Перший закон складної контропозиції: з першого і другого висловлювань випливає третє висловлювання тоді і тільки тоді, коли з першого висловлювання і заперечення третього висловлювання випливає заперечення другого висловлювання.

Схема цього закону записується так:

((А _^ В) → С) ↔ (А _^ ~С) → ~В)

Читається :“Коли відомо, що з А і В випливає С, то тоді і тільки тоді з А і не-С випливає не-В”.

Другий законскладної контропозиції: з першого висловлювання випливає друге або третє висловлювання тоді і тільки тоді, коли із заперечення другого висловлювання випливає заперечення першого висловлювання або третє висловлювання.

Схема цього закону записується так:

(А → (В v С) ↔ (~В → (~А v С))

Читається :“Коли відомо, що якщо А, то В або С, то тоді і тільки тоді з не-В випливає не-А або С”.

Закон асоціативності

Закон асоціативності – логічний закон, який дозволяє по-різному поєднувати висловлювання, з’єднані з допомогою логічних сполучників “і” (кон’юнкція), “або” (диз’юнкція) тощо.

Закон асоціативності для кон’юнкції: висловлювання, з’єднані логічним сполучником “і” (кон’юнкція), можна поєднувати з допомогою дужок по-різному.

Схема закону записується так:

((А _^ В) _^ С) ↔ (А _^ (В _^ С))

Читається :“(А і В) і С, тоді і тільки тоді, коли А і (В і С)”.

Закон асоціативності для диз’юнкції: висловлювання, з’єднані логічним сполучником “або” (диз’юнкція), можна поєднувати з допомогою дужок по-різному.

Схема закону записується так:

((А v В) v С) ↔ (А v (В v С))

Читається :“(А або В) або С, тоді і тільки тоді, коли А або (В або С)”.

Закон дистрибутивності

Закон дистрибутивності – логічний закон, який дозволяє розподіляти один логічний сполучник стосовно іншого.

Закон дистрибутивності кон’юнкції стосовно диз’юнкції: у формулах можна розподіляти кон’юнкції стосовно диз’юнкції.

Схема закону записується так:

(А _^ (В v С) ↔ ((А _^ В) v (А _^ С))

Читається :“А і (В або С), якщо і тільки якщо (А і В) або (А і С)”.

Закон дистрибутивності диз’юнкції стосовно кон’юнкції: у формулах можна розподіляти диз’юнкцію стосовно кон’юнкції.

Схема закону записується так:

(А v (В _^ С) ↔ ((А v В) _^ (А v С))

Читається :“А або (В і С), якщо і тільки якщо (А або В) і (А або С)”.

Закони де Моргана

Закони де Моргана – логічні закони, які пов’язують заперечення, кон’юнкцію і диз’юнкцію.

Перший закон де Моргана: заперечення кон’юнкції еквівалентне диз’юнкції заперечень.

Схема закону записується так:

~ (А _^ В) ↔ (~А v ~В)

Читається :“Хибно, що А і В тоді і тільки тоді, коли хибно, що А, або хибно, що В”.

Другий закон де Моргана: заперечення диз’юнкції еквівалентне кон’юнкції заперечень.

Схема закону записується так:

~ (А v В) ↔ (~А _^ ~В)

Читається :“Хибно, що А або В тоді і тільки тоді, коли хибно, що А і хибно, що В”.

Питання для самоконтролю та практичні завдання з теми:

1. Охарактеризуйте відомі вам закони логіки.

2. Наведіть приклади законів логіки висловлювань.

3. Встановіть, чи будуть наведені міркування правильними.

· “Я піду додому або залишусь тут і вип’ю кави. Я не піду додому. Отже я залишусь тут і вип’ю чашку кави”.

· “Борис або перевтомлений, або хворий. Якщо він перевтомлений, то він роздратований. Він не роздратований. Отже він хворий”.

· “Якщо ціни високі, то і заробітна плата висока. Ціни високі або застосовується регулювання цін. Якщо застосовується регулювання цін, то інфляція відсутня. Інфляція наявна. Отже, заробітна плата висока”.

· “Якщо я піду завтра на перший урок, то я буду вимушений вставати рано, а якщо я піду увечері до театру, то лягатиму спати пізно. Якщо я ляжу спати пізно, а встану рано, то я вимушений буду обмежитись п’ятигодинним сном. Я не в змозі обмежитись п’ятигодинним сном. Отже, я повинен або пропустити завтра перший урок, або не йти до театру”.

· "Якщо б не світило Сонце, то прийшлося б палити свічки і гас. Якщо б прийшлося палити свічки і гас, то чиновникам не вистачало б їхньої платні і вони були б вимушені брати хабарі. Отже, чиновники не беруть хабарі тому, що світить Сонце".

· Колись халіф Омар замірився спалити Олександрійську бібліотеку. Правоту свого наміру він обґрун­товував так: "Якщо зміст книг узгоджується з Кораном, то вони зайві. Якщо ж зміст книг не узгоджується з Ко­раном, то вони шкідливі. Зайві або шкідливі книги не­обхідно знищувати. Отже, книги Олександрійської бібліотеки необхідно знищити".

· "Якщо я поїду на автобусі і автобус запізниться, то я пропущу лекцію з логіки. Якщо я пропущу лекцію з логіки і почну сумувати, то мені не варто їхати додому. Якщо я не складу сесію, то я почну сумувати і мені варто поїхати додому. Отже, якщо я поїду на автобусі і автобус запізниться, то я складу сесію".

· "Зарплата зросте лише тоді, коли буде інфляція. Якщо буде інфляція, то подорожчають продукти харчу­вання. Заробітна плата зросте. Отже, продукти харчуван­ня подорожчають".

· "Якщо Сем живе в Манхетені, то він не має маши­ни. Сем машину має. Отже, Сем не живе в Манхетені".

· "Якщо результат перегонів буде визначений напе­ред або в гральних будинках будуть орудувати шахраї, то прибутки від туризму впадуть і місто постраждає. Якщо прибутки від туризму впадуть, поліція буде задоволеною. Поліцій ніколи не буває задоволеною. Отже, результат перегонів не є визначеним наперед".

· "Якщо федеральні витрати збільшуються, а податки не зростають, тоді буде інфляція. Якщо наявна інфляція, то багато конгресменів програють на наступних виборах. Отже, якщо податки зростають, небагато конгресменів програють на наступних виборах".

· "Якщо генеральний прокурор — злочинець, тоді, якщо начальник поштової служби — розкрадач, то прези­дент — телепень. Отже, якщо начальник поштової служби — розкрадач, а президент — не телепень, тоді генераль­ний прокурор — не злочинець".

· “Сьогодні або субота, або неділя. Якщо сьогодні неділя, то поштові відправлення не надходять. Тому, якщо сьогодні поштові відправлення надходять, то сьогодні – субота”.