Тема 2.1 Ухвалення рішень в умовах невизначеності. Елементи теорії корисності

Невизначеність істотно коригує наші уявлення про ефективність наших рішень і проектів. Основну увагу в даному питанні варто приділити визначення корисності того чи іншого результату рішення.

Основи теорії сподіваної корисності заклали Джон фон Нейман та Оскар Моргенштейн. Головне її завдання – дати оцінку ефективності (корисності) тієї чи іншої дії особи за умови невизначеності.

Відповідно до розповсюдженого означення – корисність – це властивість речовини, матерії, інформації, довкілля, товару, послуги задовольняти потреби людини.

Необхідно обов’язково наголосити на тому, що в теорії корисності розрізняють ординальну та кардинальну корисність. Ординальною корисністю називають впорядкованість за ступенем привабливості для людини наборів товарів, послуг, умов життя тощо. Кардинальна корисність – це вимірність її числом.

Існує також пряма, непряма та повна корисність. Пряма корисність існує за умови, коли товар чи послуга безпосередньо впливають на умови життя людини. Непряма корисність існує за умови, коли товар чи послуга безпосередньо не впливають на добробут людини, але використовуються для виготовлення товарів, які мають пряму корисність. Повна корисність – це сукупність прямої та непрямої корисностей.

Якщо товар або послуга підвищують добробут людини, то говорять що вони мають позитивну корисність, або є благами. Якщо ж вони шкодять людині, то вони є антиблагами, тобто мають від’ємну корисність.

Виходячи з вподобань, існують загальні типові закономірності в поведінці людей, достатні для того, щоб зрозуміти їх вибір. Наприклад, існує сукупність благ. Кожен набір благ описується набором чисел, кожне з яких означає кількість благ, що надходять у розпорядження індивіда і можуть використовуватись ним. Якщо набори благ позначити літерами , то:

 

2.14

 

Необхідно також визначити аксіоматику теорії корисності.

Аксіома порівнянності твердить, про здатність людини серед пари наборів благ обрати для себе обрати більш привабливий набір або вказати на їх еквівалентність з її точки зору.

 

2.15

 

Аксіома транзитивності передбачає, що, коли набір благ є більш привабливим порівняно з набором , який, у свою чергу, за ступенем привабливості переважає набір , то набір буде більш привабливим порівняно з набором .

2.16

 

 

Аксіома монотонності твердить, що збільшення певного блага в наборі благ робить цей набір більш привабливим, а збільшення анти блага – менш привабливим.

Якщо і – благо, то

 

2.17

 

якщо і – антиблаго, то

 

2.18

 

Зручною графічною моделлю вподобань є так звані криві (поверхні) байдужості.

Необхідно звернути увагу не те, що вигляд функції корисності може лати інформацію про ставлення до ризику особи, яка приймає рішення. Особу, яка приймає рішення, називають несхильною до ризику, коли для неї пріоритетнішою є можливість одержати гарантовано сподіваний виграш у лотереї, аніж брати у ній участь.

Особу, яка приймає рішення, називають схильною до ризику, якщо для неї пріоритетнішою є участь у лотереї, ніж одержати гарантований сподіваний виграш.

Проміжне значення між схильністю та несхильністю до ризику є нейтральність (байдужість) до ризику. Вона визначається байдужістю особи у виборі між отриманням гарантованої суми, яка збігається зі сподіваним виграшем, та участю у лотереї.

Корисність за Нейманом-Моргенштейном події називається імовірність , за якої лотерея була б еквівалентною події , яка здійснюється непевне.

В даному випадку розглядається ряд подій Певна особа в стані проранжувати їх за ступенем привабливості для себе. Нехай - найменш приваблива, - найбільш приваблива. Під подією можна розуміти отримання певного набору благ, проживання в певній місцевості.

Простою лотереєю за Нейманом-Моргенштейном називається гра (ситуація), в якій особа може отримати один і лише один із двох виграшів та , згідно з імовірностями та . Важливою характеристикою лотереї за Нейманом-Моргенштейном є середній (сподіваний) виграш.

Середнім (сподіваним) виграшем лотереї (якщо та вимірюються однаковими вимірниками, наприклад, у грошові формі) називається грошове сподівання виграшу. Згідно з означенням математичного сподівання, середній виграш лотереї .

Варто знати аксіоми теорії корисності.

Аксіома впорядкованості. Для кожної пари простих лотерей та особа, що приймає рішення (ОПР) може вказати більш привабливу, або погодитися з тим, що вони еквівалентні для неї. Тобто можливий один і лише один із трьох випадків:

 

2.19

 

Аксіома транзитивності. Якщо лотерея більш приваблива порівняно з , яка, в свою чергу, привабливіша, ніж , то лотерея більш приваблива ніж , або:

2.20

 

Аксіома монотонності за імовірністю. Серед двох простих лотерей та більш привабливою є та, для імовірність отримання більшого виграшу є більшою, або:

 

	2.21
	2.22

 

Аксіома існування детермінованого еквіваленту. Для кожної простої лотереї особа, яка приймає рішення, може вказати детермінований еквівалент, або:

2.23

 

Аксіома існування раціонального еквіваленту. Розглядається складена лотерея з простих базисних лотерей тобто двоетапна лотерея.

2.24

 

раціональним еквівалентним складеної двоетапної лотереї називається проста лотерея

2.25

 

Аксіома незалежності. У лотереї можна замінити виграші на інші лотереї, у яких виграші будуть детермінованими еквівалентами.

Якщо

,

2.26

 

де - двоетапна лотерея: на першому етапі розігрується відповідно до імовірностей та , в якій з лотереї другого етапу або братиме участь особа, яка приймає рішення.